高考数学一轮总复习 4.3 平面向量的数量积及向量的应用教案 理 新人教a版

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1、4.3　平面向量的数量积及向量的应用典例精析题型一　利用平面向量数量积解决模、夹角问题【例1】已知a，b夹角为120°，且

2、a

3、＝4，

4、b

5、＝2，求：(1)

6、a＋b

7、；(2)(a＋2b)·(a＋b)；(3)a与(a＋b)的夹角θ.【解析】(1)(a＋b)2＝a2＋b2＋2a·b＝16＋4－2×4×2×＝12，所以

8、a＋b

9、＝2.(2)(a＋2b)·(a＋b)＝a2＋3a·b＋2b2＝16－3×4×2×＋2×4＝12.(3)a·(a＋b)＝a2＋a·b＝16－4×2×＝12.所以cosθ＝＝＝，所以θ＝.【点拨】利用向量数量积的

10、定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题.【变式训练1】已知向量a，b，c满足：

11、a

12、＝1，

13、b

14、＝2，c＝a＋b，且c⊥a，则a与b的夹角大小是　　　　.【解析】由c⊥a⇒c·a＝0⇒a2＋a·b＝0，所以cosθ＝－，所以θ＝120°.题型二　利用数量积来解决垂直与平行的问题【例2】在△ABC中，＝(2，3)，＝(1，k)，且△ABC的一个内角为直角，求k的值.【解析】①当∠A＝90°时，有·＝0，所以2×1＋3·k＝0，所以k＝－；②当∠B＝90°时，有·＝0，又＝－＝(1－2，k－3)＝(－1，k－3)，所以2×

15、(－1)＋3×(k－3)＝0⇒k＝；③当∠C＝90°时，有·＝0，所以－1＋k·(k－3)＝0，所以k2－3k－1＝0⇒k＝.所以k的取值为－，或.【点拨】因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨论.在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向及两向量的夹角.【变式训练2】△ABC中，AB＝4，BC＝5，AC＝6，求·＋·＋·.【解析】因为2·＋2·＋2·＝(·＋·)＋(·＋·)＋(·＋·)＝·(＋)＋·(＋)＋·(＋)＝·＋·＋·＝－42－62－52＝－77.所以·＋·＋·＝－.题型三　平面向量的数量积的综合问题【例3】数轴Ox，

16、Oy交于点O，且∠xOy＝，构成一个平面斜坐标系，e1，e2分别是与Ox，Oy同向的单位向量，设P为坐标平面内一点，且＝xe1＋ye2，则点P的坐标为(x，y)，已知Q(－1，2).(1)求

17、

18、的值及与Ox的夹角；(2)过点Q的直线l⊥OQ，求l的直线方程(在斜坐标系中).【解析】(1)依题意知，e1·e2＝，且＝－e1＋2e2，所以2＝(－e1＋2e2)2＝1＋4－4e1·e2＝3.所以

19、

20、＝.又·e1＝(－e1＋2e2)·e1＝－e＋2e1e2＝0.所以⊥e1，即与Ox成90°角.(2)设l上动点P(x，y)，即＝xe1＋

21、ye2，又⊥l，故⊥，即[(x＋1)e1＋(y－2)e2]·(－e1＋2e2)＝0.所以－(x＋1)＋(x＋1)－(y－2)·＋2(y－2)＝0，所以y＝2，即为所求直线l的方程.【点拨】综合利用向量线性运算与数量积的运算，并且与不等式、函数、方程、三角函数、数列、解析几何等相交汇，体现以能力立意的命题原则是近年来高考的命题趋势.【变式训练3】在平面直角坐标系xOy中，点A(5，0).对于某个正实数k，存在函数f(x)＝ax2(a＞0)，使得＝λ(＋)(λ为常数)，其中点P，Q的坐标分别为(1，f(1))，(k，f(k))，则

22、k的取值范围为(　　)A.(2，＋∞)B.(3，＋∞)C.(4，＋∞)D.(8，＋∞)【解析】如图所示，设＝，＝，＋＝，则＝λ.因为P(1，a)，Q(k，ak2)，＝(1，0)，＝(，)，＝(＋1，)，则直线OG的方程为y＝x，又＝λ，所以P(1，a)在直线OG上，所以a＝，所以a2＝1－.因为

23、

24、＝＞1，所以1－＞0，所以k＞2.故选A.总结提高1.本节是平面向量这一章的重要内容，要准确理解两个向量数量积的定义及几何意义，熟练掌握向量数量积的性质及运算律；数量积不满足结合律，即(a·b)·c≠a·(b·c)；数量积不满足消

25、去律，即a·b＝a·c推不出b＝c.2.通过向量的数量积，可以计算向量的长度，平面内两点间的距离，两个向量的夹角，判断两直线是否垂直.3.向量的线性运算、数量积运算是平面向量的最基本知识，在解决向量与不等式、函数、方程、数列、三角函数、解析几何等综合性问题时，往往要找到其内在的联系以获得正确的解题途径.