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《高考数学一轮汇总训练《平面向量的数量积及平面向量的应用》理新人教a》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。
1、第三节 平面向量的数量积及平面向量的应用[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.近年来的新课标高考对平面向量的数量积的考查，主要以选择题、填空题的形式出现：(1)直接利用数量积进行平面向量的运算，如2012年北京T13，上海T12等．(2)利用平面向量的数量
2、积计算及两个向量的夹角问题，如2012年新课标全国T13，江西T7等.(3)利用平面向量的数量积解决垂直问题．如2012年安徽T11等.[归纳·知识整合]1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量
3、a
4、
5、b
6、cosθ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝
7、a
8、
9、b
10、cosθ，规定0·a＝0.2．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c[探究] 根据数量积的运算律，判断下列结论是否成立．(1)a·b＝a·c，则b
11、＝c吗？(2)(a·b)c＝a(b·c)吗？18提示：(1)不一定，a＝0时不成立，另外a≠0时，a·b＝a·c.由数量积概念可知b与c不能确定；(2)(a·b)c＝a(b·c)不一定相等．(a·b)c是c方向上的向量，而a(b·c)是a方向上的向量，当a与c不共线时它们必不相等．3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)结论几何表示坐标表示模
12、a
13、＝
14、a
15、＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0
16、a·b
17、与
18、a
19、
20、b
21、的关系
22、a·b
23、≤
24、a
25、
26、b
27、
28、x1x2＋y1y2
29、≤[自
30、测·牛刀小试]1．(教材习题改编)已知
31、a
32、＝5，
33、b
34、＝4，a·b＝－10，则a与b的夹角为( )A. B.πC.D.π解析：选B 设a与b的夹角为θ，则a·b＝
35、a
36、
37、b
38、cosθ＝5×4cosθ＝－10，即cosθ＝－.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.2．(教材习题改编)等边三角形ABC的边长为1，＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a等于( )A．3B．－3C.D．－18解析：选D 由题意知
39、a
40、＝
41、b
42、＝
43、c
44、＝1，且a与b的夹角为120°，b与c的夹角为120°，c与a的夹角也为120°.故a·b＋b·c＋c·a
45、＝－.3．设向量a，b满足
46、a
47、＝
48、b
49、＝1，a·b＝－，则
50、a＋2b
51、＝( )A.B.C.D.解析：选B
52、a＋2b
53、＝＝＝＝.4．(教材习题改编)已知
54、a
55、＝3，
56、b
57、＝4，且a与b不共线，若向量a＋kb与a－kb垂直，则k＝________.解析：∵(a＋kb)⊥(a－kb)，∴(a＋kb)·(a－kb)＝0，即
58、a
59、2－k2
60、b
61、2＝0.又∵
62、a
63、＝3，
64、b
65、＝4，∴k2＝，即k＝±.答案：±5．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝________.解析：由题意可得8a－b＝(6,3
66、)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，则18＋3x＝30，解得x＝4.答案：4平面向量数量积的运算[例1] (1)(2012·天津高考)已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝( )A. B.18C.D.(2)(2012·上海高考)在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB、AD的长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．[自主解答] (1)以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1
67、，)，由＝λ，得P(2λ，0)，由＝(1－λ)，得Q(1－λ，(1－λ))，所以·＝(－λ－1，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－(λ＋1)·(2λ－1)－×(1－λ)＝－，解得λ＝.(2)建立平面直角坐标系，如图．则B(2,0)，C，D.令＝＝λ，则M，N.∴·＝·＋λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6.∵0≤λ≤1，∴·∈[2,5]．[答案] (1)A (2)[2,5]———————————————————平面向量数量积的类型及求法(1)向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a·b＝
68、a
69、
70、b
71、cosθ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1
72、y2.(2)求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．注意以下两个重要结论的应用：①(a＋b)2＝a2
