2014高考数学一轮汇总训练《平面向量的数量积及平面向量的应用》理新人教a版

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1、第三节　平面向量的数量积及平面向量的应用[备考方向要明了]考什么怎么考1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．3.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.近年来的新课标高考对平面向量的数量积的考查，主要以选择题、填空题的形式出现：(1)直接利用数量积进行平面向量的运算，如2012年北京T13，上海T

2、12等．(2)利用平面向量的数量积计算及两个向量的夹角问题，如2012年新课标全国T13，江西T7等.(3)利用平面向量的数量积解决垂直问题．如2012年安徽T11等.[归纳·知识整合]1．平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，把数量

3、a

4、

5、b

6、cosθ叫做a和b的数量积(或内积)，记作a·b.即a·b＝

7、a

8、

9、b

10、cosθ，规定0·a＝0.2．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c[探究]　根据

11、数量积的运算律，判断下列结论是否成立．(1)a·b＝a·c，则b＝c吗？(2)(a·b)c＝a(b·c)吗？18提示：(1)不一定，a＝0时不成立，另外a≠0时，a·b＝a·c.由数量积概念可知b与c不能确定；(2)(a·b)c＝a(b·c)不一定相等．(a·b)c是c方向上的向量，而a(b·c)是a方向上的向量，当a与c不共线时它们必不相等．3．平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)结论几何表示坐标表示模

12、a

13、＝

14、a

15、＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2

16、＋y1y2＝0

17、a·b

18、与

19、a

20、

21、b

22、的关系

23、a·b

24、≤

25、a

26、

27、b

28、

29、x1x2＋y1y2

30、≤[自测·牛刀小试]1．(教材习题改编)已知

31、a

32、＝5，

33、b

34、＝4，a·b＝－10，则a与b的夹角为(　　)A.　　　　　　　　B.πC.D.π解析：选B　设a与b的夹角为θ，则a·b＝

35、a

36、

37、b

38、cosθ＝5×4cosθ＝－10，即cosθ＝－.又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π.2．(教材习题改编)等边三角形ABC的边长为1，＝a，＝b，＝c，那么a·b＋b·c＋c·a等于(　　)A．3B．－3C.D．－18解析：选D　由题意知

39、

40、a

41、＝

42、b

43、＝

44、c

45、＝1，且a与b的夹角为120°，b与c的夹角为120°，c与a的夹角也为120°.故a·b＋b·c＋c·a＝－.3．设向量a，b满足

46、a

47、＝

48、b

49、＝1，a·b＝－，则

50、a＋2b

51、＝(　　)A.B.C.D.解析：选B　

52、a＋2b

53、＝＝＝＝.4．(教材习题改编)已知

54、a

55、＝3，

56、b

57、＝4，且a与b不共线，若向量a＋kb与a－kb垂直，则k＝________.解析：∵(a＋kb)⊥(a－kb)，∴(a＋kb)·(a－kb)＝0，即

58、a

59、2－k2

60、b

61、2＝0.又∵

62、a

63、＝3，

64、b

65、＝4，∴k2＝，即k

66、＝±.答案：±5．若向量a＝(1,1)，b＝(2,5)，c＝(3，x)满足条件(8a－b)·c＝30，则x＝________.解析：由题意可得8a－b＝(6,3)，又(8a－b)·c＝30，c＝(3，x)，则18＋3x＝30，解得x＝4.答案：4平面向量数量积的运算[例1]　(1)(2012·天津高考)已知△ABC为等边三角形，AB＝2.设点P，Q满足＝λ，＝(1－λ)，λ∈R，若·＝－，则λ＝(　　)A.　　　　　　　　　　B.18C.D.(2)(2012·上海高考)在平行四边形ABCD中，∠A＝，边AB、AD的

67、长分别为2、1.若M、N分别是边BC、CD上的点，且满足＝，则·的取值范围是________．[自主解答]　(1)以点A为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则B(2,0)，C(1，)，由＝λ，得P(2λ，0)，由＝(1－λ)，得Q(1－λ，(1－λ))，所以·＝(－λ－1，(1－λ))·(2λ－1，－)＝－(λ＋1)·(2λ－1)－×(1－λ)＝－，解得λ＝.(2)建立平面直角坐标系，如图．则B(2,0)，C，D.令＝＝λ，则M，N.∴·＝·＋λ＝－λ2－2λ＋5＝－(λ＋1)2＋6.∵0≤λ≤1，∴

68、·∈[2,5]．[答案]　(1)A　(2)[2,5]———————————————————平面向量数量积的类型及求法(1)向量数量积有两种计算公式：一是夹角公式a·b＝

69、a

70、

71、b

72、cosθ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2.(2)求较复杂的向量数量积的运算时，可先利用向量数量积的运算律或相关公式进行化简．注意以下两个重要结论的应用：①(a＋b)2＝a2