2019版高考数学一轮复习 第4章 平面向量 4.3 平面向量的数量积及其应用学案 理

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1、4．3　平面向量的数量积及其应用[知识梳理]1．两个向量的夹角2．平面向量的数量积3．平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角，则(1)e·a＝a·e＝

2、a

3、cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝

4、a

5、

6、b

7、；当a与b反向时，a·b＝－

8、a

9、

10、b

11、.特别地，a·a＝

12、a

13、2或

14、a

15、＝.(4)cosθ＝.(5)

16、a·b

17、≤

18、a

19、

20、b

21、.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积有关性质的坐

22、标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则

23、a

24、2＝x2＋y2或

25、a

26、＝.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离

27、AB

28、＝

29、

30、＝.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(4)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cosθ＝.特别提醒：(1)a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不是一个概念，要加以区别．(2)对于两个非零向量a与b，由于当θ＝0°时，a·b>0，所以a·b>

31、0是两个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件；a·b＝0也不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.(3)在实数运算中，若a，b∈R，则

32、ab

33、＝

34、a

35、·

36、b

37、，若a·b＝b·c(b≠0)，则a＝c.但对于向量a，b却有

38、a·b

39、≤

40、a

41、·

42、b

43、；若a·b＝b·c(b≠0)，则a＝c不一定成立．例如a·b＝

44、a

45、

46、b

47、cosθ，当cosθ＝0时，a与c不一定相等．又如下图，向量a和c在b的方向上的投影相等，故a·b＝b·c，但a≠c.(4)两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0(实数)而0·a＝0.(5)数量积不满足结合律(a·b)·c≠a·(b·c)．(6)

48、a·b中的“·”不能省略．[诊断自测]1．概念辨析(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．(　　)(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．(　　)(3)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．(　　)(4)在△ABC中，A·B＝

49、A

50、·

51、B

52、cosB.(　　)答案　(1)√　(2)√　(3)×　(4)×2．教材衍化(1)(必修A4P108T3)已知a·b＝－12，

53、a

54、＝4，a和b的夹角为135°，则

55、b

56、为(　　)A．12B．6C．3D．3答案　B解析　a·b＝－12＝

57、a

58、

59、b

60、cos135°，

61、解得

62、b

63、＝6.故选B.(2)(必修A4P104例1)已知

64、a

65、＝5，

66、b

67、＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．答案　－2解析　由数量积的定义知，b在a方向上的投影为

68、b

69、cosθ＝4×cos120°＝－2.3．小题热身(1)(2017·包头质检)已知向量＝，＝，则∠ABC＝(　　)A．30°B．45°C．60°D．120°答案　A解析　cos∠ABC＝＝，所以∠ABC＝30°.故选A.(2)已知向量a，b的夹角为60°，

70、a

71、＝2,

72、b

73、＝1，则

74、a＋2b

75、＝________.答案　2解析　由题意知a·b＝

76、a

77、

78、b

79、cos60°＝

80、2×1×＝1，则

81、a＋2b

82、2＝(a＋2b)2＝

83、a

84、2＋4

85、b

86、2＋4a·b＝4＋4＋4＝12.所以

87、a＋2b

88、＝2.题型1　平面向量数量积的运算角度1　求数量积　　已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为(　　)A．－B.C.D.本题可采用向量坐标法．答案　B解析　建立平面直角坐标系，如图．则B，C，A，所以＝(1,0)．易知DE＝AC，则EF＝AC＝，因为∠FEC＝60°，所以点F的坐标为，所以＝，所以·＝·(1,0)＝.故选B.角度2　平面向量的夹角与垂直问题　　已知△ABC周长为6，a，b

89、，c分别为角A，B，C的对边，且a，b，c成等比数列，则·的取值范围为(　　)A．[2,18)B.C.D．(2,9－3)本题采用转化思想、向量法、余弦定理．答案　C解析　由题意可得a＋b＋c＝6，且b2＝ac，∴b＝≤＝，从而0

90、a－c

91、0.又b>0，解得b>，∴