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《2019版高考数学一轮复习 第4章 平面向量 4.3 平面向量的数量积及其应用学案 文.doc》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、4．3 平面向量的数量积及其应用[知识梳理]1．两个向量的夹角2．平面向量的数量积3．平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量，θ为a与b(或e)的夹角，则(1)e·a＝a·e＝
2、a
3、cosθ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a与b同向时，a·b＝
4、a
5、
6、b
7、；当a与b反向时，a·b＝－
8、a
9、
10、b
11、.特别地，a·a＝
12、a
13、2或
14、a
15、＝.(4)cosθ＝.(5)
16、a·b
17、≤
18、a
19、
20、b
21、.4．平面向量数量积满足的运算律(1)a·b＝b·a；(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(λ为实数)；(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.5．平面向量数量积
22、有关性质的坐标表示设向量a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝x1x2＋y1y2，由此得到(1)若a＝(x，y)，则
23、a
24、2＝x2＋y2或
25、a
26、＝.(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则A，B两点间的距离
27、AB
28、＝
29、
30、＝.(3)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a⊥b⇔x1x2＋y1y2＝0.(4)设两个非零向量a，b，a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，θ是a与b的夹角，则cosθ＝.特别提醒：(1)a在b方向上的投影与b在a方向上的投影不是一个概念，要加以区别．(2)对于两个非零向量a与b，由于当θ＝0°时，
31、a·b>0，所以a·b>0是两个向量a，b夹角为锐角的必要而不充分条件；a·b＝0也不能推出a＝0或b＝0，因为a·b＝0时，有可能a⊥b.(3)在实数运算中，若a，b∈R，则
32、ab
33、＝
34、a
35、·
36、b
37、，若a·b＝b·c(b≠0)，则a＝c.但对于向量a，b却有
38、a·b
39、≤
40、a
41、·
42、b
43、；若a·b＝b·c(b≠0)，则a＝c不一定成立．例如a·b＝
44、a
45、
46、b
47、cosθ，当cosθ＝0时，a与c不一定相等．又如下图，向量a和c在b的方向上的投影相等，故a·b＝b·c，但a≠c.(4)两个向量的数量积是一个实数．∴0·a＝0(实数)而0·a＝0.(5)数量积不满足结合律(
48、a·b)·c≠a·(b·c)．(6)a·b中的“·”不能省略．[诊断自测]1．概念辨析(1)一个向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量．( )(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的结果是向量．( )(3)若a·b>0，则a和b的夹角为锐角；若a·b<0，则a和b的夹角为钝角．( )(4)在△ABC中，A·B＝
49、A
50、·
51、B
52、cosB.( )答案 (1)√ (2)√ (3)× (4)×2．教材衍化(1)(必修A4P108T3)已知a·b＝－12，
53、a
54、＝4，a和b的夹角为135°，则
55、b
56、为( )A．12B．6C．3D．3答案 B解
57、析 a·b＝－12＝
58、a
59、
60、b
61、cos135°，解得
62、b
63、＝6.故选B.(2)(必修A4P104例1)已知
64、a
65、＝5，
66、b
67、＝4，a与b的夹角θ＝120°，则向量b在向量a方向上的投影为________．答案 －2解析 由数量积的定义知，b在a方向上的投影为
68、b
69、cosθ＝4×cos120°＝－2.3．小题热身(1)(2017·包头质检)已知向量＝，＝，则∠ABC＝( )A．30°B．45°C．60°D．120°答案 A解析 cos∠ABC＝＝，所以∠ABC＝30°.故选A.(2)已知向量a，b的夹角为60°，
70、a
71、＝2,
72、b
73、＝1，则
74、a＋2b
75、＝_______
76、_.答案 2解析 由题意知a·b＝
77、a
78、
79、b
80、cos60°＝2×1×＝1，则
81、a＋2b
82、2＝(a＋2b)2＝
83、a
84、2＋4
85、b
86、2＋4a·b＝4＋4＋4＝12.所以
87、a＋2b
88、＝2.题型1 平面向量数量积的运算角度1 求数量积 已知△ABC是边长为1的等边三角形，点D，E分别是边AB，BC的中点，连接DE并延长到点F，使得DE＝2EF，则·的值为( )A．－B.C.D.本题可采用向量基底法、坐标法．答案 B解析 解法一：如图，·＝(＋)·＝·＝·＝·＝·＝－·＋2＝－×1×1×cos60°＋×12＝.故选B.解法二：建立平面直角坐标系，如图．则B，C，A，所以＝(
89、1,0)．易知DE＝AC，则EF＝AC＝，因为∠FEC＝60°，所以点F的坐标为，所以＝，所以·＝·(1,0)＝.故选B.方法技巧求两个向量的数量积的两种方法1．利用定义．2．利用向量的坐标运算．如典例．冲关针对训练1．若菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E，F分别在边BC，DC上，BE＝λBC，DF＝μDC.若·＝1，·＝－，则λ＋μ＝( )A.B.C.D.答案 C解析 以，为基向量，则·＝(＋λ)·(＋μ)＝μ2＋λ2＋(1＋λμ)·＝4(μ＋λ)－2(1＋λμ)＝1①.·＝(λ－1)·(μ－1)＝－2(λ－1)(μ－1)＝－②，由①②可得λ＋
