《4.3平面向量的数量积及平面向量的应用》学案.doc

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1、平面向量的数量积及平面向量的应用适用学科数学适用年级高三适用区域新课标课时时长60分钟知识点平面向量数量积的概念及几何意义；平面向量数量积的性质；平面向量数量积的运算律平面向量数量积的坐标表示；平面向量模的坐标表示；平面向量平行的坐标表示平面向量垂直的坐标表示;平面向量的应用学习目标1。理解平面向量数量积的含义及其物理意义．了解平面向量的数量积与向量投影的关系．2。掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算．3。能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系．4.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题．会用

2、向量方法解决简单的力学问题与其他一些实际问题.学习重点平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系学习难点平面向量的数量积的有关运算，利用数量积求解平面向量的夹角、模，以及两向量的垂直关系学习过程课堂导入一只猴子捡到一把钝刀，连小树也砍不断．于是它向砍柴人请教，砍柴人说“把刀放到石头上磨一磨”．于是猴子高兴地飞奔回去，立刻把刀放在一块石头上拼命地磨．直到它发现刀口和刀背差不多厚了，便停下来……结果当然是失败的．难道猴子没有做功吗？不！难道猴子没有用心吗？不!但是做功≠成功．物理学当中的做功在数学中叫

3、做什么？是如何表示的呢？复习预习1.两个向量的夹角概念及求法2.平面向量基本定理及其坐标表示方法3.平面向量的坐标运算法则知识讲解考点1平面向量的数量积平面向量数量积的定义已知两个非零向量a和b,它们的夹角为θ，把数量｜a

4、｜b｜cosθ叫做a和b的数量积(或内积），记作a·b。即a·b＝｜a｜

5、b

6、cosθ，规定0·a＝0。考点2向量数量积的运算律（1）a·b＝b·a(2）(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb）(3)（a＋b）·c＝a·c＋b·c考点3平面向量数量积的有关结论已知非零向量a＝(x1,y1）,b＝(x2，y2）结论几何

7、表示坐标表示模

8、a｜＝

9、a

10、＝夹角cosθ＝cosθ＝a⊥b的充要条件a·b＝0x1x2＋y1y2＝0

11、a·b

12、与

13、a｜

14、b

15、的关系｜a·b｜≤

16、a｜｜b｜｜x1x2＋y1y2｜≤例题精析【例题1】【题干】如图，在矩形ABCD中，AB＝，BC＝2,点E为BC的中点，点F在边CD上，若·＝，则·的值是________．【答案】【解析】以A为坐标原点，AB，AD所在的直线分别为x，y轴建立直角坐标系，则B(，0)，E（，1），D（0，2）,C（，2)．设F（x，2）(0≤x≤)，由·＝⇒x＝⇒x＝1，所以F(1，2）,·＝(,1)·(1－，

17、2）＝.【例题2】【题干】（1)已知平面向量α,β，

18、α｜＝1，β＝(2,0），α⊥(α－2β),求

19、2α＋β

20、的值；(2)已知三个向量a、b、c两两所夹的角都为120°，

21、a

22、＝1，｜b｜＝2，｜c

23、＝3，求向量a＋b＋c与向量a的夹角．【解析】(1)∵β＝(2，0)，∴

24、β

25、＝2,又α⊥（α－2β)，∴α·（α－2β)＝α2－2α·β＝1－2α·β＝0。∴α·β＝。∴（2α＋β）2＝4α2＋β2＋4α·β＝4＋4＋2＝10.∴｜2α＋β｜＝。（2)由已知得(a＋b＋c)·a＝a2＋a·b＋a·c＝1＋2cos120°＋3cos120

26、°＝－，｜a＋b＋c｜＝＝＝＝.设向量a＋b＋c与向量a的夹角为θ，则cosθ＝＝＝－，即θ＝150°，故向量a＋b＋c与向量a的夹角为150°.【例题3】【题干】在直角三角形ABC中，已知＝（2，3),＝(1，k)，求k的值．【解析】(1）当A＝90°时，∵⊥，∴·＝0.∴2×1＋3k＝0,解得k＝－.(2)当B＝90°时，∵⊥，又＝－＝（1,k)－（2,3）＝(－1，k－3)，∴·＝2×（－1）＋3×（k－3)＝0，解得k＝.（3)当C＝90°时，∵⊥,∴1×（－1)＋k（k－3）＝0，即k2－3k－1＝0。∴k＝。综上可得k的值为

27、－或或.【例题4】【题干】在△ABC中，已知2·＝

28、

29、·｜

30、＝3｜｜2,求角A，B，C的大小．【解析】设BC＝a,AC＝b，AB＝c，∵由2·＝｜

31、·｜

32、得2bccosA＝bc,∴cosA＝，又∵A∈(0,π），∴A＝.由

33、｜·｜｜＝3

34、

35、2得bc＝a2，由正弦定理得sinC·sinB＝sin2A＝,∴sinC·sin＝，即sinC·＝,∴2sinC·cosC＋2sin2C＝，∴sin2C－cos2C＝0，∴sin＝0,由A＝知0

36、运用【基础】1．(2012·重庆高考）设x∈R,向量a＝（x,1)，b＝（1，－2)，且a⊥b,则｜a＋b｜＝(　　)A.　　　　　　　　　　B。C．2D．102．如图，在△ABC中，AD⊥AB，＝，

37、｜＝