4.3平面向量数量积 (恢复)

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1、平面向量数量积及应用1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义.2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系.3.掌握数量积的坐标表达式,会进行平面向量数量积的坐标运算.4.能运用数量积表示两个向量的夹角,会用数量积判断两个平面向量的垂直关系.5.会用向量方法解决某些简单的平面几何问题.(2)a与b的数量积已知两个非零向量a和b，它们的夹角为θ，我们把数量叫做a与b的数量积(或内积)，记作a·b，并规定零向量与任一向量的数量积为0.

2、a

3、

4、b

5、cosθ

6、b

7、·cosθ当θ为锐角时，如图(甲)，它是正值；当θ为钝角时，如图(乙)，它是负值；当θ为直角时，如图(丙

8、)，它是0；当θ为0°时，它是

9、b

10、；当θ为180°时，它是－

11、b

12、.(4)平面向量数量积的几何意义数量积a·b等于a的长度

13、a

14、与b在a方向上的投影

15、b

16、cosθ的乘积．

17、a

18、

19、b

20、－

21、a

22、

23、b

24、3．向量数量积的运算律(1)a·b＝b·a(交换律)．(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)．(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c.4．平面向量数量积的坐标表示(1)若a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，则a·b＝.(2)设a＝(x，y)，则

25、a

26、＝.(3)若向量a的起点坐标和终点坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)，则

27、a

28、＝，(4)设a＝(

29、x1，y1)，b＝(x2，y2)，且a、b都是非零向量，则a⊥b⇔a·b＝0⇔.x1x2＋y1y2x1x2＋y1y2＝0二、平面向量的应用用向量法证明几何问题的基本思想是：将问题中有关的线段表示为向量，然后根据图形的性质和特点，应用向量的运算性质、法则，推出所要求证的结论．要注意挖掘题目中，特别是几何图形中的隐含条件．5．平面向量与三角函数整合的题目，大多数本质仍是三角函数问题，只是同时兼顾平面向量的“共线”、“数量积”等基本概念与基本运算，解题时依据向量的有关概念与运算去掉向量外衣后，就是纯粹三角问题了．6．平面向量与解析几何整合的题目，注意将题目中的

30、条件和要解决的问题，通过“点”加以向量化，然后运用向量的运算来解决．误区警示1．若a·b＝0，a≠0不一定有b＝0，因为当a⊥b时，总有a·b＝0.2．对于实数a、b、c，当b≠0时，若ab＝bc，则a＝c.但对于向量a，b，c，当b≠0时，由a·b＝b·c却推不出a＝c.因为由a·b＝b·c得b·(a－c)＝0，只要a－c与b垂直即可．3．数量积不满足结合律，即对于向量a、b、c，(a·b)·c＝a·(b·c)一般不成立，这是因为a·b与b·c都是实数．(a·b)·c与c共线，a·(b·c)与a共线，而c与a却未必共线．平面向量数量积的运算1.(密码改

31、编)已知下列各式①a2=

32、a

33、2②=③(a·b)2=a2·b2④(a-b)2=a2-2a·b+b2⑤若a2=a·b,则a=b,其中正确的个数有()A.4个B.3个C.2个D.1个解析:对②= ,而 这种运算无意义,∴②错误.对③(a·b)2=

34、a

35、2

36、b

37、2cos2θ,而a2·b2=

38、a

39、2·

40、b

41、2,∴③错误,对⑤a2=a·b,∴a2-a·b=0,即a·(a-b)=0,得a⊥(a-b),不一定a=b.∴⑤错误.①④正确.考点一2.设e1,e2是两个单位向量,它们的夹角是60°,则(2e1-e2)·(-3e1+2e2)等于(     )A.-8B.C.-

42、D.8解析:由已知

43、e1

44、=

45、e2

46、=1,e1·e2=

47、e1

48、

49、e2

50、cos60°= .∴(2e1-e2)·(-3e1+2e2)=-6 +7e1·e2-2 =-8+ =-.3.(2011·辽宁高考文,3)已知向量a=(2,1),b=(-1,k),a·(2a-b)=0,则k等于()A.-12B.-6C.6D.12解析:由已知2a-b=(5,2-k),∴a·(2a-b)=12-k=0,∴k=12.答案:D[答案]D两平面向量的夹角与垂直考点二1.求向量的夹角时要注意:数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角,数量积等于0说明两向量的夹角为直角,数量积小于0

51、且两向量不共线时两向量的夹角就是钝角.2.当a,b是非坐标形式时,求a与b的夹角,需求得a·b及

52、a

53、,

54、b

55、或得出它们的关系.3.若已知a与b的坐标,则可直接利用公式4.注意函数思想与方程思想及数形结合思想的应用.平面向量的模1.平面向量a与b的夹角为60°,a=(2,0),

56、b

57、=1,则

58、a+2b

59、等于()考点三利用数量积求长度问题是数量积的重要应用,要掌握此类问题的处理方法:1.

60、a

61、2=a2=a·a;2.

62、a±b

63、2=(a±b)2=a2±2a·b+b2;3.若a=(x,y),则

64、a

65、= .平面向量数量积的应用考点四练习能力训练