高考一轮数学复习 25反函数 理 同步练习（名师解析）

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1、第2章第5节知能训练·提升考点一：求反函数1．(·高考四川卷)函数y＝ln(2x＋1)(x＞－)的反函数是(　　)A．y＝ex－1(x∈R)　　　B．y＝e2x－1(x∈R)C．y＝(ex－1)(x∈R)解析：由y＝ln(2x＋1)(x＞－)得2x＋1＝ex，x＝，因此函数y＝ln(2x＋1)(x＞－)的反函数是y＝(ex－1)(x∈R)，选C.答案：C2．函数y＝3x2－1(－1≤x≤0)的反函数为(　　)A．y＝B．y＝－C．y＝D．y＝－解析：解法一：由y＝3x2－1(－1≤x＜0)可知其反函数值域为[－1,0)，排除A、C，而y＝3x2－1(－1≤x＜0)的值域为，排除A.故

2、选D.解法二：由y＝3x2－1(－1≤x＜0)，∵－1≤x＜1.∴－1＜x2－1≤0，∴＜y≤1.又y＝3x2－1⇒x2－1＝log3y⇒x2＝1＋log3y，而－1≤x＜0，∴x＝－，∴f－1(x)＝－.故选D.答案：D考点二：互为反函数图象间的关系3．设函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则a＋b等于(　　)A．6B．5C．4D．3解析：函数f(x)＝loga(x＋b)(a＞0，a≠1)的图象过点(2,1)，其反函数的图象过点(2,8)，则∴a＝3或a＝－2(舍)，b＝1.∴a＋b＝4，选C.答案：C4．(·成都第

3、37中学)函数f(x)＝2x＋1的反函数y＝f－1(x)的图象是(　　)解析：本题主要考查指数函数、对数函数的图象和图象的平移变换以及反函数的概念．由于f(x)＝2x＋1，所以y＝f－1(x)＝log2x－1，它的图象是y＝log2x的图象向下平移一个单位得到，故选A.答案：A5．若函数f(x)＝的图象关于直线y＝x对称，则实数a＝________.解法一：由y＝，得(y－2)x＝1－ay.若y＝2，则1－2a＝0，a＝.此时y＝2，图象不关于直线y＝x对称，于是x＝(y≠2)．从而f－1(x)＝(x≠2)．由f(x)＝f－1(x)，得＝，整理得(a＋2)x2＋(a2－4)x－(a＋

4、2)＝0.于是a＋2＝0，且a2－4＝0，解得a＝－2.解法二：依题意得f(x)＝f－1(x)．因为f(x)与f－1(x)的图象关于直线y＝x对称，所以若点(a，b)在f(x)的图象上，则点(b，a)必在f－1(x)的图象上，从而点(b，a)也在f(x)的图象上．因f(x)的图象过点(－，0)，故点(0，－)也在f(x)的图象上，于是f(0)＝＝－，∴a＝－2.答案：－2考点三：反函数的综合问题6．(·郑州模拟)已知f(x)是R上的增函数，点A(－1,1)、B(1,3)在它的图象上，f－1(x)是它的反函数，那么不等式

5、f－1(log2x)

6、＜1的解集为________．解析：由题意

7、知f－1(x)在R上是增函数，且f－1(1)＝－1，f－1(3)＝1.又由

8、f－1(log2x)

9、＜1，得－1＜f－1(log2x)＜1，即1＜log2x＜3.∴2＜x＜8.答案：(2,8)7．(·黄冈质检)已知函数f(x)＝的反函数是f－1(x)，解不等式f－1(－x)＋x＞0.解：当－1＜x＜0时，由y＝得x＝－，0＜y＜1；当0≤x＜1时，由y＝2x－2得x＝log2(y＋2)，－1≤y＜0.∴f－1(x)＝∴f－1(－x)＝当－1＜x＜0时，f－1(－x)＋x＞0，即－＋x＞0无解；当0＜x≤1时，f－1(－x)＋x＞0，即log2(－x＋2)＋x＞0.又0＜x≤1，∴1≤2

10、－x＜2,0≤log2(－x＋2)＜1.∴log2(－x＋2)＋x＞0，恒成立．故f－1(－x)＋x＞0的解集为{x

11、0＜x≤1}．8．设f(x)＝是R上的奇函数．(1)求a的值；(2)求f(x)的反函数f－1(x)；(3)对任意给的k＞0，解不等式f－1(x)＞log2.解：(1)由题意知f(－x)＝－f(x)，x∈R.即＝－，即(a－1)(2x＋1)＝0，∴a＝1.(2)由(1)知f(x)＝，由y＝得2x＝，x＝log2，且由2x＞0，即＞0知－1＜y＜1，∴f－1(x)＝log2(－1＜x＜1)．(3)f－1(x)＞log2可变为log2＞log2，即而k＞0，－1＜x＜1，∴

12、∴k＞2时，－1＜x＜1；0＜k≤2时，1－k＜x＜1.因此当k＞2时，不等式的解集为{x

13、－1＜x＜1}；当0＜k≤2时，不等式的解集为{x

14、1－k＜x＜1}.1.(·全国Ⅰ)若函数y＝f(x－1)的图象与函数y＝ln＋1的图象关于直线y＝x对称，则f(x)＝(　　)A．e2x－1B．e2xC．e2x＋1D．e2x＋2解析：∵函数y＝ln＋1的反函数为y＝e2(x－1)，即f(x－1)＝e2(x－1)，∴f(x)＝e2x.故选B.答案：B2．(·湖北)设