高考一轮数学复习 82双曲线 理 同步练习（名师解析）

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1、第8章第2节知能训练·提升考点一：双曲线的定义1．已知F1、F2是双曲线－y2＝1的左、右焦点，P，Q为右支上的两点，直线PQ过F2且倾斜角为α，则

2、PF1

3、＋

4、QF1

5、－

6、PQ

7、的值为(　　)A．8　　　　　　　　　　B．2C．4D．随α的大小而变化解析：由双曲线定义知：

8、PF1

9、＋

10、QF1

11、－

12、PQ

13、＝

14、PF1

15、＋

16、QF1

17、－(

18、PF2

19、＋

20、QF2

21、)＝(

22、PF1

23、－

24、PF2

25、)＋(

26、QF1

27、－

28、QF2

29、)＝4a＝4.答案：C2．设P为双曲线x2－＝1上的一点，F1、F2是该双曲线的两个焦点，若

30、PF1

31、∶

32、PF2

33、＝3∶2，则△PF1F2的面

34、积为(　　)A．6B．12C．12D．24解析：由题意得

35、PF1

36、－

37、PF2

38、＝2，且

39、PF1

40、∶

41、PF2

42、＝3∶2，由此解得

43、PF1

44、＝6，

45、PF2

46、＝4，又

47、F1F2

48、＝2＝2，且

49、F1F2

50、2＝

51、PF2

52、2＋

53、F1P

54、2，即PF1⊥PF2，则△PF1F2的面积是

55、PF1

56、·

57、PF2

58、＝×6×4＝12.答案：B3．设点P在双曲线－＝1上，若F1、F2为此双曲线的两个焦点，且

59、PF1

60、∶

61、PF2

62、＝1∶3，则△F1PF2的周长等于(　　)A．22B．16C．14D．12解析：由题意，a＝3，b＝4，∴c＝5，根据题意，点P在靠近焦点F1的那支上，

63、且

64、PF2

65、＝3

66、PF1

67、，所以由双曲线的定义，

68、PF2

69、－

70、PF1

71、＝2

72、PF1

73、＝2a＝6，∴

74、PF1

75、＝3，

76、PF2

77、＝9，故△F1PF2的周长等于3＋9＋10＝22.答案：A考点二：双曲线的方程4．过点(2，－2)且与双曲线－y2＝1有公共渐近线的双曲线方程是(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：设与已知双曲线共渐近线的双曲线方程为－y2＝λ(λ≠0)，据已知点(2，－2)在双曲线上，代入得λ＝－2.从而所求方程为－y2＝－2，即－＝1.答案：A5．已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的一条渐近线为y＝kx(k＞0)，离心率e

78、＝k，则双曲线方程为(　　)A.－＝1B.－＝1C.－＝1D.－＝1解析：由y＝kx(k＞0)为双曲线－＝0的一条渐近线，知k＝.又e＝k，故有＝·⇒c2＝5b2⇒a2＝4b2，故方程为－＝1.答案：C考点三：双曲线的性质6．(·广西桂林十八中月考)已知抛物线y2＝x的准线与双曲线－＝1(b＞0)的左准线重合，则此双曲线的渐近线方程是(　　)A．y＝±xB．y＝±xC．y＝±xD．y＝±x解析：本题主要考查圆锥曲线的几何性质，利用性质准确求得b的值是解题关键．抛物线的准线为x＝－，双曲线的左准线为x＝－，∴＝，∴b＝16，即双曲线方程为－＝1，∴双

79、曲线的渐近线方程是y＝±x，故选B.答案：B7．(·江西模拟)已知双曲线－＝1(a＞0，b＞0)，双曲线斜率大于零的渐近线l交双曲线的右准线于P点，F(c,0)为右焦点．(1)求证：直线PF与渐近线l垂直；(2)延长FP交左准线于M，交双曲线左支于N，使M为PN的中点，求双曲线的离心率．解：(1)证明：右准线为x＝，由对称性不妨设渐近线l为y＝x，则P(，)，又F(c,0)，∴kPF＝＝－，又∵kl＝，∴kPF·kl＝－1，∴PF⊥l.(2)PF的方程为y＝－(x－c)，又左准线为x′＝－，∴M(－，)．又∵M是PN的中点，∴N(－，)．∵N在双曲

80、线上，∴－＝1，即－()2＝1，令t＝e2，则t2－10t＋25＝0，∴t＝5，即e＝.8．如图，双曲线－＝1(a＞0，b＞0)的离心率为，F1、F2分别为左、右焦点，M为左准线与渐近线在第二象限内的交点，且·＝－.(1)求双曲线的方程；(2)设A(m,0)和B(，0)(0＜m＜1)是x轴上的两点．过点A作斜率不为0的直线l，使得l交双曲线于C、D两点，作直线BC交双曲线于另一点E.证明直线DE垂直于x轴．解：(1)根据题设条件，F1(－c,0)，F2(c,0)．设点M(x，y)，则x、y满足.因e＝＝，解得M(－，)，故·＝(－＋c，)·(－－c

81、，)＝a2－c2＋b2＝－.利用a2＋b2＝c2，得c2＝，于是a2＝1，b2＝.因此，所求双曲线的方程为x2－4y2＝1.(2)证明：设点C(x1，y1)，D(x2，y2)，E(x3，y3)，则直线l的方程为y＝(x－m)．于是C(x1，y1)、D(x2，y2)两点坐标满足将①代入②得(x－2x1m＋m2－4y)x2＋8myx－4ym2－x＋2mx1－m2＝0.由x－4y＝1(点C在双曲线上)，上面方程可化简为(m2－2x1m＋1)x2＋8myx－(x－2mx1＋m2x)＝0.由已知，显然m2－2x1m＋1≠0.于是x1x2＝－.因为x1≠0，得

82、x2＝－.同理，C(x1，y1)、E(x3，y3)两点坐标满足.可解得x3＝－＝－.所以x2＝x3，故直线DE垂直于x轴.