2011年高考一轮数学复习 2-5反函数 理 同步练习(名师解析).doc

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1、第2章第5节知能训练·提升考点一:求反函数1.(2008·高考四川卷)函数y=ln(2x+1)(x>-)的反函数是(  )A.y=ex-1(x∈R)   B.y=e2x-1(x∈R)C.y=(ex-1)(x∈R)解析:由y=ln(2x+1)(x>-)得2x+1=ex,x=,因此函数y=ln(2x+1)(x>-)的反函数是y=(ex-1)(x∈R),选C.答案:C2.函数y=3x2-1(-1≤x≤0)的反函数为(  )A.y=B.y=-C.y=D.y=-解析:解法一:由y=3x2-1(-1≤x<0)

2、可知其反函数值域为[-1,0),排除A、C,而y=3x2-1(-1≤x<0)的值域为,排除A.故选D.解法二:由y=3x2-1(-1≤x<0),∵-1≤x<1.∴-1<x2-1≤0,∴<y≤1.又y=3x2-1⇒x2-1=log3y⇒x2=1+log3y,而-1≤x<0,∴x=-,∴f-1(x)=-.故选D.答案:D考点二:互为反函数图象间的关系3.设函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图象过点(2,8),则a+b等于(  )A.6B.5C.4D.3解

3、析:函数f(x)=loga(x+b)(a>0,a≠1)的图象过点(2,1),其反函数的图象过点(2,8),则∴a=3或a=-2(舍),b=1.∴a+b=4,选C.用心爱心专心答案:C4.(2010·成都第37中学)函数f(x)=2x+1的反函数y=f-1(x)的图象是(  )解析:本题主要考查指数函数、对数函数的图象和图象的平移变换以及反函数的概念.由于f(x)=2x+1,所以y=f-1(x)=log2x-1,它的图象是y=log2x的图象向下平移一个单位得到,故选A.答案:A5.若函数f(x)=

4、的图象关于直线y=x对称,则实数a=________.解法一:由y=,得(y-2)x=1-ay.若y=2,则1-2a=0,a=.此时y=2,图象不关于直线y=x对称,于是x=(y≠2).从而f-1(x)=(x≠2).由f(x)=f-1(x),得=,整理得(a+2)x2+(a2-4)x-(a+2)=0.于是a+2=0,且a2-4=0,解得a=-2.解法二:依题意得f(x)=f-1(x).因为f(x)与f-1(x)的图象关于直线y=x对称,所以若点(a,b)在f(x)的图象上,则点(b,a)必在f-1

5、(x)的图象上,从而点(b,a)也在f(x)的图象上.因f(x)的图象过点(-,0),故点(0,-)也在f(x)的图象上,于是f(0)==-,∴a=-2.答案:-2考点三:反函数的综合问题6.(2010·郑州模拟)已知f(x)是R上的增函数,点A(-1,1)、B(1,3)在它的图象上,f-1(x)是它的反函数,那么不等式

6、f-1(log2x)

7、<1的解集为________.解析:由题意知f-1(x)在R上是增函数,且f-1(1)=-1,f-1(3)=1.又由

8、f-1(log2x)

9、<1,得-1<f

10、-1(log2x)<1,即1<log2x<3.∴2<x<8.答案:(2,8)7.(2010·黄冈质检)已知函数f(x)=的反函数是f-1(x),解不等式f-1(-x)+x>0.解:当-1<x<0时,由y=得x=-,0<y<1;当0≤x<1时,由y=2x-2得x=log2(y+2),-1≤y<0.∴f-1(x)=∴f-1(-x)=当-1<x<0时,f-1(-x)+x>0,用心爱心专心即-+x>0无解;当0<x≤1时,f-1(-x)+x>0,即log2(-x+2)+x>0.又0<x≤1,∴1≤2-x<

11、2,0≤log2(-x+2)<1.∴log2(-x+2)+x>0,恒成立.故f-1(-x)+x>0的解集为{x

12、0<x≤1}.8.设f(x)=是R上的奇函数.(1)求a的值;(2)求f(x)的反函数f-1(x);(3)对任意给的k>0,解不等式f-1(x)>log2.解:(1)由题意知f(-x)=-f(x),x∈R.即=-,即(a-1)(2x+1)=0,∴a=1.(2)由(1)知f(x)=,由y=得2x=,x=log2,且由2x>0,即>0知-1<y<1,∴f-1(x)=log2(-1<x<1).

13、(3)f-1(x)>log2可变为log2>log2,即而k>0,-1<x<1,∴∴k>2时,-1<x<1;0<k≤2时,1-k<x<1.因此当k>2时,不等式的解集为{x

14、-1<x<1};当0<k≤2时,不等式的解集为{x

15、1-k<x<1}.1.(2008·全国Ⅰ)若函数y=f(x-1)的图象与函数y=ln+1的图象关于直线y=x对称,则f(x)=(  )A.e2x-1B.e2xC.e2x+1D.e2x+2解析:∵函数y=ln+1的反函数为y=e2(x-1),即f(x-1)=e2

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