高考一轮数学复习 63不等式的证明 理 同步练习（名师解析）

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1、第6章第3节知能训练·提升考点一：比较法证明不等式1．设a＞b＞0，求证：＞.证明：证法一：∵a＞b＞0，∴左边－右边＝＝＞0，故原不等式成立．证法二：∵＝×＝＝1＋＞1，且由a＞b＞0，知＞0，∴＞.2．设m＞n，m、n∈N*，a＝(lgx)m＋(lgx)－m，b＝(lgx)n＋(lgx)－n，x＞1，求证：a≥b.证明：a－b＝(lgx)m＋(lgx)－m－(lgx)n－(lgx)－n＝(lgmx－lgnx)－(－)＝(lgmx－lgnx)－＝(lgmx－lgnx)(1－)．∵m＞n，m，n∈N*，x＞1，∴lgmx＞

2、lgnx，lgmxlgnx≥1.1－≥0.∴a≥b.考点二：分析法证明不等式3．已知a＞0，求证：－≥a＋－2.证明：要证－≥a＋－2只要证＋2≥a＋＋∵a＞0故只要证(＋2)2≥(a＋＋)2即a2＋＋4＋4≥a2＋2＋＋2(a＋)＋2，从而只要证：2≥(a＋)，只要证4(a2＋)≥2(a2＋2＋)，即a2＋≥2，而上述不等式显然成立．故原不等式成立．考点三：综合法证明不等式4．已知a、b、c是不全相等的正数，求证：lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.证明：∵a，b，c∈R＋，∴≥，≥，≥，∴lg≥(lga＋lgb)

3、，lg≥(lgb＋lgc)，lg≥(lgc＋lga)．以上三式相加，且注意到a、b、c不全相等，故得lg＋lg＋lg＞lga＋lgb＋lgc.5．已知a，b，c都是实数，求证：a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.证明：∵a，b∈R，∴a2＋b2≥2ab，∵b，c∈R，∴b2＋c2≥2bc，∵c，a∈R，∴c2＋a2≥2ca，将以上三个不等式相加得2(a2＋b2＋c2)≥2(ab＋bc＋ca)①即a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca②在不等式①的两边同时加“a2＋b2＋c2”，得3(a2＋b2＋c2)≥(a＋

4、b＋c)2，即a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2③在不等式②的两边同时加“2(ab＋bc＋ca)”，得(a＋b＋c)2≥3(ab＋bc＋ca)，即(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca④由③④得a2＋b2＋c2≥(a＋b＋c)2≥ab＋bc＋ca.考点四：反证法证明不等式6．设a，b，c∈(0,1)，求证：(1－a)b，(1－b)c，(1－c)a中至少有一个不小于.证明：假设，则，∴＋＋＞.而＋＋≤＋＋＝.二者矛盾，∴假设不成立，故原不等式成立．考点五：放缩法证明不等式7．已知n，k均为大于1的整数，求证：1＋＋＋…＋＜2.证

5、明：∵n＞1，k＞1，n，k均为整数，∴≤，∴1＋＋＋…＋≤1＋＋＋…＋＜1＋＋＋…＋＝1＋(1－)＋(－)＋…＋(－)＝2－＜2.即1＋＋＋…＋＜2(n，k∈N，n≥2，k≥2)．考点六：构造函数法证明不等式8．已知△ABC的三边长分别是a，b，c，且m为正数．求证：＋＞.证明：构造函数f(x)＝，x∈(0，＋∞)，∵f′(x)＝＞0，∴f(x)＝在(0，＋∞)上为增函数，∵c＜a＋b，∴f(c)＜f(a＋b)，即＜＝＋＜＋，故＋＞成立.1.(·重庆)若a，b，c＞0且a(a＋b＋c)＋bc＝4－2，则2a＋b＋c的最小

6、值为(　　)A.－1　　　　　　　B.＋1C．2＋2D．2－2解析：由a(a＋b＋c)＋bc＝4－2得(a＋c)(a＋b)＝4－2.∵a、b、c＞0，∴(a＋c)(a＋b)≤()2(当且仅当a＋c＝b＋a即b＝c时取“＝”号)．∴2a＋b＋c≥2＝2(－1)＝2－2.故选D.答案：D2．(·上海春)设a、b是正实数，以下不等式①＞；②a＞

7、a－b

8、－b；③a2＋b2＞4ab－3b2；④ab＋＞2恒成立的序号为(　　)A．①③　　　　　　　　B．①④C．②③D．②④解析：对于①：－＝＝＝≥0，①不合题意，则应排除A、B；对于

9、③：(a2＋b2)－(4ab－3b2)＝a2－4ab＋4b2＝(a－2b)2≥0，即a2＋b2≥4ab－3b2.③不合题意，排除C，故选D.答案：D3．(·陕西)已知数列{an}的首项a1＝，an＋1＝，n＝1,2，….(1)求{an}的通项公式；(2)证明：对任意的x＞0，an≥－(－x)，n＝1,2，…；(3)证明：a1＋a2＋…＋an＞.解：(1)∵an＋1＝，∴＝＋，∴－1＝(－1)．又∵－1＝，∴{－1}是以为首项，为公比的等比数列．∴－1＝·＝.∴an＝.(2)证明：由(1)知an＝＞0，－(－x)＝－(＋1－

10、1－x)＝－[－(1＋x)]＝－·＋＝－(－an)2＋an≤an.∴原不等式成立．(3)证明：由(2)知，对任意的x＞0，有a1＋a2＋…＋an≥－(－x)＋－(－x)＋…＋－(－x)＝－(＋＋…＋－nx)．∴取x＝(＋＋…＋)＝＝(1－)，则a1＋a2＋…＋an≥＝＞.∴原不等式成立．4．(·山东)等