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时间:2018-05-02
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1、高二竞数学赛试题班别___姓名____座号____总分_______一、选择题(每题5分,共1.已知函数f(x)是R上的奇函数,g(x)是R上的偶函数,若,则()A.B.C.D.2.已知椭圆上的任意一点可使恒成立,则实数的取值范围是()(A).(B).(C).(D).3.如果一元二次方程中,a、b分别是投掷骰子所得的数字,则该二次方程有两个正根的概率P=()A.B.C.D.4.若,且,则下列各式中最大的是( )(A) (B)(C)(D)二、填空题(每题5分,共5.在中,若,,且最长的边
2、的长为,则最短的边的的长等于.6.设函数的定义域为R,若与都是关于的奇函数,则函数在区间上至少有个零点.7.满足方程所有实数解为.8.若均为正实数,且,则的最小值为.三.解答题(每题15分,共60分)1.已知函数在区间上的最小值为,令,,求证:2.求所有正整数,,使得与都是完全平方数.3.在周长为定值的△ABC中,已知
3、AB
4、=6,且当顶点C位于定点P时,cosC有最小值为.(1)建立适当的坐标系,求顶点C的轨迹方程.(2)过点A作直线与(1)中的曲线交于M、N两点,求的最小值的集合.4.求所有使得下列
5、命题成立的正整数:对于任意实数,当时,总有(其中).高二数学竞赛答案ADAC5.6.507.8..三.解答题(每题15分,共60分)1.解:(1)因为,所以函数的定义域为,…(2分)又.……………………………………………(4分)当时,,即在上是减函数,故…………………………(7分)因为,所以.…………………………………………………………………………(12分)又容易证明,所以,………………………………………………………………(13分).即……………………(15分)2.求所有正整数,,使得与都是完全平方数.
6、解:若x=y,则x2+3x是完全平方数.∵x2<x2+3x<x2+4x+4=(x+2)2,∴x2+3x=(x+1)2,∴x=y=1.………………3分若x>y,则x2<x2+3y<x2+3x<x2+4x+4=(x+2)2.∵x2+3y是完全平方数,∴x2+3y=(x+1)2,得3y=2x+1,由此可知y是奇数,设y=2k+1,则x=3k+1,k是正整数.又y2+3x=4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数,且(2k+2)2=4k2+8k+4<4k2+13k+4<4k2+16k+16=(
7、2k+4)2,∴y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2,得k=5,从而求得x=16,y=11.…………………12分若x<y,同x>y情形可求得x=11,y=16.综上所述,(x,y)=(1,1),(11,16),(16,11).…………………15分3.解:(1)以AB所在直线为x轴,线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系,设
8、CA
9、+
10、CB
11、=2a(a>3)为定值,所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆,所以焦距2c=
12、AB
13、=6.因为又,所以,由题意得.此时,
14、PA
15、=
16、PB
17、,P点坐标为P(0,
18、±4).所以C点的轨迹方程为(2)不妨设A点坐标为A(-3,0),M(x1,y1),N(x2,y2).当直线MN的倾斜角不为900时,设其方程为y=k(x+3)代入椭圆方程化简,得显然有△≥0,所以而由椭圆第二定义可得只要考虑的最小值,即考虑取最小值,显然.当k=0时,取最小值16.当直线MN的倾斜角为900时,x1=x2=-3,得但,故,这样的M、N不存在,即的最小值的集合为空集.4.解:当时,由,得.所以时命题成立.……………………3分当时,由,得=所以时命题成立.…………………6分当时,由,得.所
19、以时命题成立.………………9分当时,令,,,则.但是,,故对于命题不成立.综上可知,使命题成立的自然数是.……………15分
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