高二数学 竞赛试题

《高二数学 竞赛试题》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在应用文档-天天文库。

1、高二竞数学赛试题班别＿＿＿姓名＿＿＿＿座号＿＿＿＿总分＿＿＿＿＿＿＿一、选择题（每题5分，共1.已知函数f(x)是R上的奇函数，g(x)是R上的偶函数，若，则()A．B．C．D.2．已知椭圆上的任意一点可使恒成立，则实数的取值范围是（)(A).(B）．(C)．(D）．3．如果一元二次方程中，a、b分别是投掷骰子所得的数字，则该二次方程有两个正根的概率P=()A．B．C．D．4．若，且，则下列各式中最大的是（　　）（A）　　　　　　　　　（B）（C）（D）二、填空题（每题5分，共5．在中，若，，且最长的边

2、的长为，则最短的边的的长等于．6．设函数的定义域为R，若与都是关于的奇函数，则函数在区间上至少有个零点.7．满足方程所有实数解为．8．若均为正实数，且，则的最小值为．三．解答题（每题15分，共60分）1.已知函数在区间上的最小值为，令，，求证：2．求所有正整数，，使得与都是完全平方数．3．在周长为定值的△ABC中，已知

3、AB

4、=6，且当顶点C位于定点P时，cosC有最小值为.(1)建立适当的坐标系，求顶点C的轨迹方程.(2)过点A作直线与(1)中的曲线交于M、N两点，求的最小值的集合.4.求所有使得下列

5、命题成立的正整数:对于任意实数,当时,总有(其中).高二数学竞赛答案ADAC5.6．507．8．．三．解答题（每题15分，共60分）1.解：（1）因为，所以函数的定义域为，…（2分）又.……………………………………………（4分）当时，，即在上是减函数，故…………………………（7分）因为,所以.…………………………………………………………………………（12分）又容易证明，所以，………………………………………………………………（13分）.即……………………（15分）2．求所有正整数，，使得与都是完全平方数．

6、解：若x=y，则x2+3x是完全平方数.∵x2＜x2+3x＜x2+4x+4=(x+2)2，∴x2+3x=(x+1)2，∴x=y=1.………………3分若x＞y，则x2＜x2+3y＜x2+3x＜x2+4x+4=(x+2)2.∵x2+3y是完全平方数，∴x2+3y=(x+1)2，得3y=2x+1，由此可知y是奇数，设y=2k+1，则x=3k+1，k是正整数.又y2+3x=4k2+4k+1+9k+3=4k2+13k+4是完全平方数，且(2k+2)2=4k2+8k+4＜4k2+13k+4＜4k2+16k+16=(

7、2k+4)2，∴y2+3x=4k2+13k+4=(2k+3)2，得k=5，从而求得x=16，y=11.…………………12分若x＜y，同x＞y情形可求得x=11，y=16.综上所述，(x，y)=(1，1),(11，16),(16，11)．…………………15分3．解：(1)以AB所在直线为x轴，线段AB的中垂线为y轴建立直角坐标系，设

8、CA

9、+

10、CB

11、=2a(a>3)为定值，所以C点的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，所以焦距2c=

12、AB

13、=6.因为又，所以，由题意得.此时，

14、PA

15、=

16、PB

17、，P点坐标为P(0，

18、±4).所以C点的轨迹方程为(2)不妨设A点坐标为A(-3，0)，M(x1,y1),N(x2,y2).当直线MN的倾斜角不为900时，设其方程为y=k(x+3)代入椭圆方程化简，得显然有△≥0，所以而由椭圆第二定义可得只要考虑的最小值，即考虑取最小值，显然.当k=0时，取最小值16.当直线MN的倾斜角为900时，x1=x2=-3,得但，故，这样的M、N不存在，即的最小值的集合为空集.4.解：当时，由，得．所以时命题成立.……………………3分当时，由，得=所以时命题成立.…………………6分当时，由，得．所

19、以时命题成立．………………9分当时，令，，,则.但是,，故对于命题不成立．综上可知，使命题成立的自然数是.……………15分