2011级数学分析期末复习(大字)

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1、2009级数学分析（1）期末复习第一部各章内容基本要求第一章实数集与函数1.熟练掌握绝对值的三角不等式；理解实数的完备性、有理数的稠密性。2.熟练掌握有界集、无界集的概念；掌握上、下确界的概念及其等价刻画，明白上、下确界与最大、最小值的联系与区别；理解确界原理。3.掌握邻域、空心邻域的概念。4.掌握函数的概念及其表示方法；明白函数与其反函数的关系；理解函数是一种对应关系，函数未必都能画出图像；熟悉一些特殊函数取整函数、Dirichlet函数、符号函数及其表示。5.掌握基本初等函数与初等函数的概念。6.掌握函数的有界性、奇偶性、单调性、周期性，理解

2、周期的概念。例1.分别求的上、下确界，并证明之。例2.求集合的上、下确界，并证明之。例3.对任一实数集S，证明supS=sup{SÈ{supS}}。例4.证明，任何函数f都可以写成一个奇函数与一个偶函数之和。第二章数列极限1.掌握数列极限的e-N定义及其几何意义，明白极限是一种趋势，它与数列的任何有限多项无关（其任一子列都收敛且有同一极限）。2.掌握数列收敛性与有界性的关系。3.掌握收敛数列的极限唯一性、数列有界性、保号性、保序性。4.掌握单调有界收敛准则，两边夹定理，Cauchy收敛准则，子列收敛判别法。5.掌握极限四则运算性质，掌握一些常见的

3、以0为极限的收敛数列其中，懂得适时变形，并能熟练运用之。例5.用e-N语言证明。例6.证明，若，则存在N>0,使得对任意n>N有。例7.证明，若infSÏS,则存在数列xnÎS，使得（1）xn单调递减；（2）。例1.证明，若数列{xn}从某项开始恒满足

4、xn-xn-1

5、<1/n2,则数列{xn}收敛【cauchy准则】。例2.求。【两边夹定理】例3.若,.证明:数列收敛，并求其极限。【单调有界收敛定理】第一章函数极限1.掌握函数极限的e-d定义、e-M定义及其几何刻画，明白极限是一种趋势，它与函数在指定点的函数值无关。2.掌握函数左、右极限的定义

6、及其与函数极限的关系，会用它判别分段函数在分段点处的极限存在性。3.掌握函数极限的唯一性、局部有界性、局部保号性。4.掌握函数极限存在的两边夹定理，Cauchy收敛准则以及归结原则，掌握单调有界函数的左右极限存在性准则。5.掌握无穷大量、无穷小量的概念、性质及其阶（同阶、高阶、等价），理解无穷小量与有界量乘积还是无穷小量；明白无穷大量与无界量的联系与区别；掌握等价无穷大量、无穷小量代换定理。6.掌握两个重要极限及其变形，熟记当x→0时如下几个常用等价无穷小量：sinx~x,ex–1~x,ln(1+x)~x,1–cosx~x2/2,tanx~x,a

7、rcsinx~x,arctanx~x.7.掌握极限四则运算性质、复合函数极限法则。8.会用极限四则运算性质、复合函数极限法则、两个重要极限以及等价无穷小量代换定理计算各种极限，尤其是不定式极限（）。9.理解渐近线的概念及其含义，会求三种不同的渐近线。例4.用e-d语言证明。例5.已知求。例1.求例2.求例3.求例4.求例5.求下列曲线的渐近线：（1）;(2)第一章函数的连续性1.掌握连续函数的概念及其四则运算、复合运算性质；理解初等函数的连续性；理解左、右连续与函数连续的关系，会用它判别分段函数在分段点处的连续性。2.掌握间断点的概念及其分类，会

8、判断一些特殊函数或分段函数的间断点类别。3.掌握连续函数的局部有界性、局部保号性。4.掌握函数在区间上一致连续的概念，会证明函数的一致连续性和非一致连续性。5.理解有界闭区间上连续函数的有界性、最值性、介值性和一致连续性。例6.分别求函数与Dirichlet函数D(x)的间断点及其类别.例7.求函数的间断点，并指出其类别。例8.求a，b的值，使得函数为(-2p,2p)上的连续函数。例9.证明函数当a>1时在[0,+¥)上不一致连续；当0

9、间I一致连续。例2.设函数f,g都在有界闭区间[a,b]连续，并且满足，则对任意点，必存在至少一点使得例3.设函数f在有界闭区间[a,b]连续，并且满足，则必存在至少一点使得例4.设函数f在某有界闭区间有定义，且在有理点上取值为无理数，在无理点上取值为有理数，求证：f不是连续函数。第一章导数和微分1.掌握导数与微分的概念，理解其实质及意义、联系与区别；清楚函数在一点处的可导性、连续性、极限存在性及有界性的关系；掌握左、右导数的概念及其与函数可导性的关系，并会用左、右导数判别分段函数在分段点处的可导性及导数计算。2.掌握函数导数的四则运算、复合运算

10、、反函数的求导法则；熟记六种基本初等函数的导数；记住一些常见初等函数的导数公式；理解一阶微分形式的不变性。3.掌握含参量函数的一阶、二阶