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1、重积分复习题一、计算题1．设f在(-∞,+∞>上连续，化重积分I=为定积分。z2.计算，其中是由z=与z=1所围成的立体。3.求I=，其中是由A(0,2>沿右半圆周到B(0,0>的路径。4.求I=，S：x2+y2+z2=R2到(4,2>的一段。b5E2RGbCAP9.计算，其中S为球x2+y2
2、+z2=a2的外表面。10.试用格林公式计算I=之值，其中C是曲线y=x2-2x上以O(0,0>为始点，A(4,8>为终点的曲线段。p1EanqFDPw11.求，D是由x+y=1，x轴及y轴围成的平面区域。12．求由曲面z=，x2-2x+y2=0及平面z=0围成的立体之体积。13.是否为某个函数u的全微分？若是求u(x,y>。14.计算：，其中D由0x-y，0x+y所围成。15.计算，其中f(x,y,z>为连续函数，为平面x-y+z=1在第四卦限部分的上侧。16.计算二重积分，其中D为由y2=x，y=x+2，x=0及x=2所围成的
3、平面区域。17.求积分值I=，其中L为包围有界区域D的闭曲线，为L的外法线方向。18．求曲线积分，其中闭曲线取正向。8/819.求：I=，其中V：x2+y2+z22z。20.应用斯托克斯公式计算，其中L是柱面x2+y2=a2和平面0，h>0）的交线，从OX轴正向看去，按逆时针方向。DXDiTa9E3d21.求积分I=，其中f(x>=。22．计算：，其中C：x=acost，y=asint，z=bt，0t2。23.计算三重积分，其中V由曲面y=-，x2+z2=1，y=1所围成。24.验证与路线无关，并计算的值。25.计算，其中为
4、上半球体0z的表面外侧。26.求I=，S：x2+y2+z2=R2于域V内是连续的且对于任意的域WV，，则当(x,y,z>V时，f(x,y,z>0。RTCrpUDGiT2.设函数u(x,y>在光滑闭曲线L所围的区域D上具有二阶连续偏导数，证明：，其中是u(x,y>沿L外法线方向n的导数。3.设P，Q，R在L上连续，L为光滑弧段，弧长为，证明：，其中M=。4.设u，vC(2>(D>，证明：。其中V=，是v沿单位外法向量n的方向导数,为D的光滑边界。5.设f为连续函数，a>0，证明：，
5、其中(x,y>[-a,a][-a,a]。8/86.设一元函数f(t>在(0,+>内具有一阶连续导数，令，F(t>=。(1>证明F(t>在(0,+>内具有二阶连续导数；(2>求出F/(t>的表达式。重积分复习题参考答案一、计算题1．设f在(-∞,+∞>上连续，化重积分I=为定积分。解：I=4z2.计算，其中是由z=与z=1所围成的立体。解：被球面x2+y2+z2=1分成两部分，下面部分记为1，上面部分为2，于是1Oy原式=+x=+=。3.求I=，其中是由A(0,2>沿右半圆周到B(0,0>的路径。解：由格林公式可求出I=-+cos2
6、-1。4.求I=，S：x2+y2+z2=R20；在S2＋上：z=-，cos<0。故8/8=+=-=2=2。7.，其中是立方体0x,y,za表面的外侧。解：=2=28.化以下第二型曲线积分为定积分<不计算定积分）：I=，C为
7、曲线：上从点(1,4>到(4,2>的一段。5PCzVD7HxA解：令x=1+3cost，y=2+2sint为始点，A(4,8>为终点的曲线段。jLBHrnAILgx42O解：如图补充折线段L-1、L-2使L1+L2+C成封闭曲线，于是I==--=133-7e8-cos4。11.求，D是由x+y=1，x轴及y轴围成的平面区域。解：令u=x-y，v=x+y，即x=，
8、y=。区域D变为D/，AB变为PQ。先对u积分，D/：0v1，-vuv。J=，故原式=。xHAQX74J0X12．求由曲面z=，x2-2x+y2=0及平面z=0围成的立体之体积。解：该立体是由柱面x2-2x+y2=0介于锥面z=与平面z=0之间所围
