[理学]数学分析中期末复习

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1、数学分析(中)期末复习(切记：配合章节要点一起复习，特别是例题)一、第七章定积分：1、N.L.公式、换元法、与分部积分法.2、若连续,可导,则完整的变上下限求导公式应为=.直接用这些公式都是错误的.3、4、是偶函数,是奇函数,所以从而再可用如上3.6、记住两个Guldin定理.Guldin第一定理:若平面闭区域不跨越直线,其面积为,重心到的距离为,则绕直线的旋转体体积V=.Guldin第二定理：若平面曲线不跨越直线,其弧长为,重心到的距离为,则绕直线的旋转曲面面积=.7、会做理论证明题:上册p313:21-24,26.二、第八章反常积分

2、：1、记住一些基本结果:(1)、,当时收敛,而当时发散.,当时收敛,而当时发散.从而对于一切都是发散的.10(2)、:当时都绝对收敛的;当时都条件收敛的;当时都发散.2、收敛性判别:首要的问题是判别类型:是无界区域上的反常积分,还是无界函数的反常积分;即判别奇点的类型.是同号函数(可等同于非负函数)的反常积分还是任意函数的反常积分.基本习题：p380:3(1)(3)(4)(2)、讨论任意函数的反常积分的敛散性,必须要到绝对收敛、条件收敛或发散为止.除非是绝对收敛,常常要反常积分的A.D.判别法.教材的习题下册p380:5(1)-(3);

3、7(3)-(6).3、证明题习题:p381:10,13,14.一、第十一章多元函数的极限与连续1、一些有关二重极限与二次极限概念的例子(1)、二重极限不存在的例子:例1、在点处;例2、在点处.(2)、沿任何直线方向的极限存在相等但二重极限不存在的例子:例1、在(0,0).例2、下册教材上P122例11.2.4.(3)、二重极限存在，但两个二次极限不存在的例子:例1、在(0,0).例2、在(0,0).(证明仿(1)，也可见讲稿)(4)、二重极限存在,但两个二次极限恰有一个不存在的例子:例1、在(0,0)点.例2、在(0,0)点.10(5)

4、、两个二次极限存在且相等,但二重极限不存在的例子.例1、在(0,0)点.2、二重极限与二次极限相等的结果定理：设(存在且有限)(1)若存在,则必存在且等于.(2)若存在,则必存在且等于.(3)若(1)与(2)的条件都成立,则两个二次极限均存在且都等于.要会证明.3、基本习题：下册p129:4(1)(3);7(1)-(3),(6)-(8).一、第十二章多元函数微分学1、有关连续、可偏导与可微的概念(1)、一些例子(a)、可偏导但不连续的例子：例1、在点处.例2、在点.(b)、连续但不可偏导的例子：例1、在点处.(c)、可偏导未必可微的例子

5、例1、在点.(因为在点不连续，所以不可微).例2、在点.(因为在点不连续，所以不可微).(d)、连续且可偏导不能导出可微的例子例1、在点.10例2、在点.(2)、若偏导数都连续,则必可微.判断一个函数在处可微的原则与主要步骤如下:(i)若函数在处不连续或不可偏导(即至少有一个偏导数不存在),则函数在处必不可微.(ii)若函数在处连续且可偏导,则考察如下的2、关于方向导数(1)、对于,在任何一个定点处有偏导数连续可微方向导数处处存在,且有其中是与轴正向的夹角.当与同向时,方向导数达到最大其值为,反向时达导最小为,而垂直时为0.(2)对于分

6、段函数的分段点,一定要用定义来求方向导数.3、混合偏导数混合偏导数存在,未必相等;但若都连续,则必相等.4、复合函数求导(1)、复合函数的求导步骤与要点:写出变量关系图；用复合函数求导法计算.注1、若函数的复合多于两重,则除了对于最终自变量的中间变量要求可偏导外,其余的均要求可微：如可偏导,则可用复合函数求导法则.注2、如不加说明,则在求导时,总认为混合偏导数可交换次序.注3、切记:对,一阶偏导数,二阶偏导数等永10远是的函数,即(4)、必须掌握的习题：p163:1(2)(4)(5)(8)(9).5、隐函数求导(1)按题意确定函数与自变

7、量，再按隐函数求导法计算。(2)典型习题下册：p187:1(7)(8),5(2)-(4).6、偏导数在几何中的应用(1)、空间光滑曲线的切线与法平面(i)参数方程：,切向量为(ii)直角坐标:,切向量为(iii)两个光滑曲面的交线:在点处,切向量为=(2)、空间光滑曲面的切平面与法线:(i)隐式方程:在处。法向量为(ii)直角坐标:在点,法向量.(iii)参数方程:，在参数对应点处法向量.(3)典型习题：p201:1(3),4(3),5,p202:12.6、无条件极值10(1)、概念(i)一个函数的极值点不一定是最值点;最值点也可以不是

8、极值点(例如当最值点不是函数定义域的内点时);但若一个点是函数的最值点且为函数定义域的内点时,则必为极值点.(ii)设定义在上,是的内点,则是的极值点的必要条件是:或者在处不可偏导;或者在处可偏导且的定义域