对称性在定积分及二重积分计算中的应用

《对称性在定积分及二重积分计算中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、万方数据第10卷第1期2010年1月1671—1815(2010)1-0172—04科学技术与工程ScienceTechnologyandEngineeringV01．10No．1Jan．2010⑥2010Sci．Tech．Engng．对称性在定积分及二重积分计算中的应用薛春荣王芳(渭南师范学院数学系，渭南714000)摘要运用数学分析中的积分总结了对称性在积分运算中的应用，给出了对称性在定积分、二重积分运算中的有关定理以及应用；充分体现了对称性在积分运算中带来的方便，达到了简化积分运算的目的。这一点对于数学理论的研究

2、及积分运算的解答都有重要意义。关键词对称性定积分二重积分中图法分类号0172．2；文献标志码A积分在数学分析中有很重要的地位；积分的计算方法有许多种，相关文献都对其有探讨，但是对对称性的研究却很少涉及。对称性在积分运算中有着很重要的意义，通常可以简化计算。本文研究了对称性在积分运算中的应用，归纳总结出利用平面区域的对称性来计算积分。1相关定理及证明定理1u。设八戈)在区间[一倪，倪]上可积：(1)若八戈)为奇函数，则f八戈)dx=0；一oo—o(2)若八戈)为偶函数，则肪州戈=2肛州戈。证明(1)当八戈)为奇函数时：令

3、一戈=t则肪州戈=肛叫卅牡肛㈡虻一肪州戈，．o所以：2J八戈)dx=0即J八戈)dx=0。o—o．，一o2009年9月24日收到渭南师范学院研究生专项基金(07YKZ006)资助第一作者简介：薛春荣(1978一)，女，陕西韩城人，讲师，研究方向：偏微分方程及其应用。肪圳戈=厂∥圳戈+取圳戈=舢，．of八一右)d(一右)+f八戈)dx=．，o．，O肛州右+肛州戈。，．o所以：．J一疆戈)出=2．J∥戈)毗。o—ooU陆『1『2]、l在箪王n八r2耵d15I例1心1：计算积分j。志。．，n厶十CUSr7解：令0=耵一戈则f

4、耵乏_；‰=一厂二耵乏—；_苫一=一f暑三。其中八戈)=_二L_一为偶函数，则么一COS戈f仃乏—；‰=一厂二盯乏—；_苫一=一厂二耵点=厂二耵点=2f者毓。令tan詈=右，则万方数据1期薛春荣，等：对称性在定积分及二重积分计算中的应用1732f忐=2f∞_1+1t一_2I虿d右=1+tz4f∞11+jt2虻4C∞而dt=厶一————i1+tz4万1arctan万出∞=等。定理‘3，412若D关于戈轴对称，D，为位于戈轴上半部分，当函数八戈，Y)是关于Y的奇函数，即八戈，一Y)=一八戈，Y)时，职埘)毗dy=0；当函数

5、八戈，Y)是关于Y的偶函数，即八戈，一Y)=八戈，Y)时，职埘)以dy=2职埘)捌y。证明设八戈，Y)在D，为戈型区域，其中9，(名)，92(戈)在区间[a，6]上连续，不妨设9，(戈)≤92(戈)，则职埘)令Y=一职埘)捌yd戈dy=t，当八=厂三d戈，．bfdxJ．，口，．bfd戈J—o，．bfd戈J—ofldx～-902。(戈x，)f(戈，y)妙+fldx戊如圳y戈，Y)是关于Y的奇函数时，f八戈，一t)d(一t)+J八戈，Y)dy=J八戈，t)dt+f八戈，Y)dy=一职埘)捌y+职戈，y)d．dy=0。q当八

6、戈，Y)是关于Y的偶函数时，职埘)捌y=fldx场gOl。(戈x，)八戈，一右)d(一右)+fldxe卜圳y=一fldxe!；二；八戈，右)d右+fldxe砖圳y=职埘)捌y+职埘)毗dy=2职埘)捌y。定理3‘41若D关于Y轴对称，D2为位于Y轴右半部分。当函数八戈，Y)是关于戈的奇函数，即八一x,y)=一八戈，Y)时：职埘)毗dy=0；当函数八戈，Y)是关于戈的偶函数，即八一x,y)=八戈，Y)时：职埘)以dy=2职埘)捌y。同理按照上述方法令戈=一t可以证明。例2‘2

7、：求圆锥名2=倪2(戈2+y2)截圆柱面戈2

8、+Y2=2y所得有界部分立体的体积。解立体在xy平面上的投影D：戈2+Y2≤2y，根据积分区域是关于Y轴对称并且被积函数八戈)=倪√■了是戈的偶函数，那么所得立体体积吲。y=2盯倪v‘研d戈。令戈=rcos15I，Y=rsin0。贝ⅡD变为<(r，0)10≤秒≤订，0≤r≤2sin臼)。y=2巧倪V研d戈=2fd臼f8inp倪rrdr=学esin3咖=6可4倪。定理4‘61若区域D为关于原点对称，其中D3为D中关于原点对称的右侧。当八戈，Y)为奇函数即八一戈，一Y)=一八戈，Y)时，有职埘)毗dy=0。万方数据174科

9、学技术与工程10卷当八戈，Y)为偶函数即八一戈，一Y)=八戈，Y)时，有职埘)以dy=2职埘)dXdy。D孕证明‘3设D可分为关于原点对称的两个区域D3和D4，且任意的尸(戈，Y)∈D3关于原点对称尸，(戈，，y，)∈D4，贝!Jf戈1=一戈；tYl=一Y。由Jaeobi行列式，=耕=a戈1a戈Oyla戈a戈1OyaylOy=li