二重积分计算中对称性的应用

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1、二重积分计算中对称性的应用15二重积分计算中对称性的应用15二重积分计算中对称性的应用15二重积分计算中对称性的应用15第２期（总２８期）河北能源职业技术学院学报Ｎｏ．２（ｓ。。Ｎｏ．２８）２００８年６月ＪｏｕｒｎａｌｏｆｌｉｅｂｅｉＥｎｅｒｇｙＩｎｓｔｉｔＵｔｅｏｆＶｏｃａｔｉｏｎａｎｄ１ｋＩＩｎｏＪｏｇｙＪｕｎ．２００８Ｉ二重积分计算中对称性的应用狳晕亩（淮安市广播电视大学信患工程系，江苏淮安２２３００１）摘要：本文将定积分计算中的对称性定理进行推广，并归纳出利用平，面区域对称性计算二重积分．关键词：二重积分；奇函数；偶函数；对称区间；对称区城中图分类号：Ｃ，６４２文献标识码：Ａ文章编号

2、：１６７１—３９７４／（２００８）０２－００９０－０３ＡｐｐｌｉｃａｔｉｏｎｏｆＳｙｍｍｅｔｒｙｉｎｔｈｅＤｏｕｂｌｅＩｎｔｅｇｒａｌ！ＣａｌｃｕｌａｔｉｏｎＸＵＮｉａｎ・纽Ｉｌｇ15（ＩｎｆｏｒｍａｔｉｏｎＥｎｓｉｎｅｓ衄Ｄｅｐａｒｔｍｅｎｔ，ＨｕａｉｋｎＲＭｉｏａｎｄＴＶ仉州‰哆，ＨｕａｉｋｎＪｉａｎｇｓｕ２２３００１）Ａｂｓｔｒａｃｔ：Ｔｈｅｓｙｍｍｅｔｒ／ｃｔｈｅｏｒｅｍｏｆｄｅ，ｅ，。ｉｔｅｉｎｔｅＳｒａｌｉｓｐｏｐｕｌａｒｉｚｅｄ，蝉ｔｈｉｓｗａｙｗｅｄｅｄｕｃｅａ地ｄｏｕｂｌｅｗａｙｏｆｃａｌｃｕ．ｉｎｔｅｇｒａｌｂｙ印ｐｌｙｉｎｇｔｈｅｓｙｍｍｅｔｒｙ耐ｐｌａｎｅｒｅｇｉｏｎ

3、・．15Ｋｅｙｗｏｒｄｓ：ｄｏｕｂｌｅｉｎｔｅｇｒａｌ；ｏｄｄ—ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｅｖｅｎ—ｆｕｎｃｔｉｏｎ；ｓＹｍｍｅｔｒｉｃｉｎｔｅｒｖａｌ；ｓｙｍｍｅｔｒｉｃｄｏｍａｉｎ在定积分计算中，可以根据被积函数和积分区，ｙ的偶函数，如果均有只名，一ｙ）＝一灭名，Ｙ），称ｚ＝间的特点用对称性定理计算，＝重积分是积分学中贝．。．ｙ！挈上是关于ｙ的奇函数。（２）若区域Ｄ关于的重要内容之一，本文将定积分计算中的对称丝毫坐标轴），芦对称，ｚ＝氕茹，，，）在Ｄ上关于茹的偶、奇函理进行推广，并归纳出利用平面区域对称性计算二数，可类４１ｑ：（１）定义；（３）若区域Ｄ关于坐标原点重积分，引导学生积极思考，激发学

4、生的学习兴趣。对称，对专Ｖ（量，，，）ＥＤ，如果均有灭一膏，一，，）＝同时利用这些知识可简化二重积分的计算，化繁为兀毒，ｙ），争ｚ＝以石，，，）在Ｄ上是偶函数，如果均只一简，收到事半功倍的效果。茹。一，，）ｆ一只茹，Ｙ），称ｚ＝以喾，Ｙ）在Ｄ上是奇函数。在定积分计算中经常用到如下的对称性定理：将妲１推广到二元函数的二重积分中，得到如定理Ｉ设八菇）在［一口，口］上连续，则有下定理：Ｉ一广只茹）如：ｆ２上灭膏）如，当只菇）为偶函数定舀４设Ｄ为有界平面区域，二元函数ｚ＝火茹，ｙ）；Ｄ上有连续的偏导数，００，当人膏）为奇函数ｆｌｊ若区域Ｄ关于茹轴对称，其中Ｄ，为Ｄ中位证明：于茗轴，边的区域，为论述方

5、便起见，给出下列定义：，，、、ｆ２定义２设Ｄ为一有界平面区域，（１）若Ｖ（茹，ｆｆ灭茹卢ｊ｛、．．埘ｌｌＪＩ火石，，，）ｄ矿，当灭蓦，ｙ）为关于Ｙ的偶函数ｙ）ＥＤ，ｊ（茹，－ｒ）ＥＤ则称乎面区域Ｄ关于坐标轴～ｔｏ，、＼当以量，，，）为关于，，的奇函数名南打对称；（２）若Ｖ（膏，，，）暑Ｄ，ｊＥ（一石，，，）ＥＤ贝９（１若区域Ｄ为荚于ｙ轴对称，其中见为Ｄ中位称平面区域Ｄ关于坐标轴Ｙ轴对称；（３）若Ｖ（ｘ，ｙ）于，，非边的区域，ＥＤ。ｊ（一茹，一，，）ＥＤ则称平面区域Ｄ关于原点对，，称。ｆｆ氕彩曲＝｛锰（ｆ２ｆ『灭量，，，）勿，当灭鼻∥15）为关于），的偶函数定义３设？＝以茹，，，）是有界平面区

6、域Ｄ上的～ｔＯ，当灭搿∥）为关于Ｙ的奇函数二元函数，且它在区域Ｄ上有连续的偏导数，（ｉ）若ｊ）若区域Ｄ为关于原点对称，其中见为Ｄ中区域Ｄ关于坐标轴茗轴对称，对于Ｖ（石，ｙ）∈Ｄ，如果关予｛点对称的右侧区域，均有八膏，一，，）＝以舅，，，），称：＝以茗，，，）在Ｄ上是关ｆ收稿日期：２００８—０２—１３作奢筒介：徐年方（１９７５一），女，在读硬士，淮安市广播电视大学信息工程系潭。主要研究方向：基础数学。・９０・万方数据徐年方：二重积分计算中对称性的应用Ⅳ15月茹，，，）曲：ｆ２世灭毛力曲，当兀毛力为偶函数Ｄ【０，当灭善，ｙ）为奇函数证明：（１）因为Ｄ是关于茹轴对称的有界平面区域，为方便起见不妨设

7、积分区域Ｄ为，ｆ一西（菇）≤），≤西（茹）Ｌ口≤茹≤ｂ其中Ｄ．为Ｄ中位于髫轴上边的区域，由（茹）为ｒａ，６］上的连续函数。＼＼凡篱。ｙ）ｄｏ－＝＼＼代ｘ，ｎ如曲２上叫制八菇，ｙ）ａｒ＝ｒ如（ｆ“’火石，ｙ）咖＋￡。，，氕菇，ｙ）方）＝ｒ如（ｆ“’灭茗，ｒ）ａｒ＋ｒ”以名，一，，）匆）２ＪＬ也上状茹，，，）＋氕茗，一ｙ））匆由定义３（１）知当以茗，，，）为关于，，的偶函数‘15ｆ２ｆ璇ｆ贝茹，ｙ）ｄｏ＂，００，