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1、翻1対銅1Abstract1Keywords1弓IW11预备知识12二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用22.1积分区域D关于坐标轴对称22.1.1积分域Z）关于/轴对称，/（x，y）为£＞上的连续函数22.1.2积分域D关于*轴对称，力为上的连续函数42.2积分区域D关于坐标区域内直线对称42.3积分区域D关于坐标原点对称62.4积分区域D同时关于坐标轴和坐标原点对称7#考文献7至燃8对称性在二重积分中的应用摘要通过对称性在定积分中的应用，积分总结了对称性在二重积分运算中的相应的•一些结果，给山了对称性在二重积分中的有关定理以及应用；介绍了二重
2、积分的积分区域分别关于轴;C轴以及原点对称的情况.在探讨利用对称性计算二重积分的基础上，通过例题说明可以简化二重积分的计算.关键词二重积分对称性奇偶性简化计算TheApplicationofTheSymmetryinCalculatingDoubleIntegrationAbstractThesymmetryintheapplicationofintegralcomputingbytheknowledgeofmathematicalanalysisisdiscussed.Atthesametime,somerelevanttheoremsbythesym
3、metrytheoryofcalculatingthedoubleintegrationareproved.ThispaperintroducestheintegralareaofDoubleIntegral,whichissymmetricalaboutyaxisxaxisandtheoriginofcoordinates.Basedondiscussingtheapplicationofsymmetryindoubleintegral,someexamplesillustratetheconvenienceofusingthisresultincal
4、culatingdoubleintegral.KeywordsdoubleintegralsymmetryparitySimplifiedcalculation引言在定积分的计算中，可以根据被积函数和积分区间的特点用对称性定理计算，二重积分是积分学中的重要内容之一，所以我们可以将定积分计算中的对称性定理进行推广，并可归纳出利用平面区域的对称性来计算二重积分，从而化繁为简，收到事半功倍的效果.利用对称性计算二重积分，不但可以使计算简化，有时还可以避免错误.在一般情况下，必须是积分区域£＞具有对称性，而且被积函数对于区域D也具有对称性，才能利用对称性来计算.
5、在特殊情况下，虽然积分区域D没有对称性，或者关于对称区域£＞被积函数没有对称性，但经过技巧性的处理，化为能用对称性来简化计算的积分.这些都是很值得我们探讨的问题.1预备知识在计算定积分的时候我们常常会用到如下定理：沿"、*r1卜迚件则右、。"V/WfMdx,当/(x)力偶函数；设彻在［-叫上述续，则有0_a彻，0，当彻为奇函数.这个结论，常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分在计算二重积分时，若积分区域具有某种对称性，是否也有和应的结论呢？lH
6、答是肯定的.I面，我们将此结论类似地推广到二重积分.二重积分一方面积分区域的对称性较之定积分积分区
7、间的对称性而言情况要复杂一些，另一方面被积函数是二元函数，因此他关于变量的奇偶性也较定积分的一元函数要多变一些.下面给出关于对称性在二重积分应用屮所涉及到的命题和证明以及相应例题来说明对称性对二重积分计算的简化.2二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用定理1若二重积分斛满足D(1)区域D可分为对称的两部分DjHD2,对称点D2;例m;/⑽=/（尸）.(2)被积函数在对称点的值/(P)与/(P9相同或互为相反数.蝌/（x，y）场4棚.y）dxdyDiio苏中A的坐标根据Z)的对称性的类型而确定.2.1积分区域D关于坐标轴对称2.1.1积分域Z)关于＞
8、，轴对称，/U，＞，)为D上的连续函数定理2如果积分区域Z)关于＞，轴对称，D,={(%,y)
9、(x，y)^£U0},贝U:（1）若/（X，力为关于;v的偶函数，即对"（x,y）?D,有/（-x，y）=/（x，y）,贝!J蝌y）dxdy=Wtf（x，y、dxdy/）D{（2）若/（x，y）为关于x的奇函数，即对"（x,y）?D,有/（-x，y）=-/（x，y），贝lj嫩/O,y）dxdy=0.D证明记Z）2=｛（x，y）
10、O，y）；feD，x0｝则£>=£^+02显然有嫩f｛x,y）dxdy=^
11、f（x,y）dxdy/（x,y）dxdyDD,D2在区域D
12、2，我们可令：x=y=v1所以蝌/（*，）’）也办=蝌/（-w，=蝌f（-X，y
