对称性在二重积分中地应用

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1、实用文案目录摘要1关键词1Abstract1Keywords1引言11预备知识22二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用22.1积分区域关于坐标轴对称22.1.1积分域关于y轴对称，为上的连续函数22.1.2积分域关于轴对称，为上的连续函数42.2积分区域关于坐标区域内直线对称52.3积分区域关于坐标原点对称62.4积分区域同时关于坐标轴和坐标原点对称7参考文献8致谢8标准文档实用文案对称性在二重积分中的应用摘要通过对称性在定积分中的应用，积分总结了对称性在二重积分运算中的相应的一些结果，给出了对称性在二重积分中的有关定理以及应用；介绍了二重积分的积分区域分别关

2、于轴轴以及原点对称的情况.在探讨利用对称性计算二重积分的基础上，通过例题说明可以简化二重积分的计算．关键词二重积分对称性奇偶性简化计算TheApplicationofTheSymmetryinCalculatingDoubleIntegrationAbstractThesymmetryintheapplicationofintegralcomputingbytheknowledgeofmathematicalanalysisisdiscussed.Atthesametime,somerelevanttheoremsbythesymmetrytheoryofcalcul

3、atingthedoubleintegrationareproved.ThispaperintroducestheintegralareaofDoubleIntegral,whichissymmetricalaboutaxisaxisandtheoriginofcoordinates.Basedondiscussingtheapplicationofsymmetryindoubleintegral,someexamplesillustratetheconvenienceofusingthisresultincalculatingdoubleintegral.Keywo

4、rdsdoubleintegralsymmetryparitySimplifiedcalculation引言在定积分的计算中，可以根据被积函数和积分区间的特点用对称性定理计算，二重积分是积分学中的重要内容之一，所以我们可以将定积分计算中的对称性定理进行推广，并可归纳出利用平面区域的对称性来计算二重积分，从而化繁为简，收到事半功倍的效果．利用对称性计算二重积分，不但可以使计算简化，有时还可以避免错误．在一般情况下，必须是积分区域具有对称性，而且被积函数对于区域也具有对称性，才能利用对称性来计算．在特殊情况下，虽然积分区域没有对称性，或者关于对称区域被积函数没有对称性，但

5、经过技巧性的处理，化为能用对称性来简化计算的积分．这些都是很值得我们探讨的问题．1预备知识在计算定积分的时候我们常常会用到如下定理:标准文档实用文案设在上连续，则有这个结论，常可简化计算奇、偶函数在对称于原点的区间上的定积分在计算二重积分时，若积分区域具有某种对称性，是否也有相应的结论呢？回答是肯定的．下面，我们将此结论类似地推广到二重积分．二重积分一方面积分区域的对称性较之定积分积分区间的对称性而言情况要复杂一些，另一方面被积函数是二元函数，因此他关于变量的奇偶性也较定积分的一元函数要多变一些．下面给出关于对称性在二重积分应用中所涉及到的命题和证明以及相应例题来说明

6、对称性对二重积分计算的简化．2二重积分对称性定理在不同条件下的证明及其应用定理1若二重积分满足(1)区域可分为对称的两部分和，对称点，；(2)被积函数在对称点的值与相同或互为.则．其中的坐标根据的对称性的类型而确定．2.1积分区域关于坐标轴对称2.1.1积分域关于y轴对称，为上的连续函数定理2如果积分区域关于轴对称，，则：（1）若为关于的偶函数，即对，有，则（2）若为关于的奇函数，即对，有，则.证明记则，显然有①标准文档实用文案在区域,我们可令:则所以②所以由①②可得:定理2结论得证.例1[3]计算，其中：解，，且区域关于轴对称，所以　　　　　　　．例2[5]计算，其

7、中区域：解是关于的偶函数，且区域关于轴对称，所以．注意求解此类题目的过程中要首先判断积分区域是否具有某种对称性，例如是不是关于轴对称，其次要观察被积函数是否关于另一坐标轴具有奇偶性，两个条件缺一不可[1]．如果忽略了这两点就会出现如下的错误例3，其中是由确定的闭区域错解，其中是第一象限的积分区域此题错误的原因是只看到积分区域的对称性却忽略了被积函数对于来说没有对称性（即它不是同时关于和的偶函数），正确解法应为：其中和分别是积分区域里轴的右左两侧的部分本题如果把改为，这时被积函数是同时关于和标准文档实用文案的偶函数，而积分区域同时对称于轴和轴，则可用对