对称性在二重积分中的应用.ppt

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1、—对称性在二重积分中的应用《高等数学》（同济大学第五版）主讲：张晓斌中国民航大学理学院中国民航大学理学院张晓斌一、常用的有关二重积分的对称性定理二、定理的应用（典型例题分析）三、小结主要内容中国民航大学理学院张晓斌一、常用的有关二重积分的对称性定理定义1：若二元函数的定义域关于轴对称，且满足（或），则称关于为奇（偶）函数。定义2：若二元函数的定义域关于轴对称，且满足（或），则称关于为奇（偶）函数。中国民航大学理学院张晓斌定义3：若二元函数的定义域关于直线对称，且满足，则称关于和对称。定理1若有界闭区域关于轴对称，在区域上连续，则当关于为奇函数时当

2、关于为偶函数时中国民航大学理学院张晓斌定理1’若有界闭区域关于轴对称，在区域上连续，则当关于为奇函数时当关于为偶函数时中国民航大学理学院张晓斌推论1.1若有界闭区域关于轴和轴都对称，在区域上连续，且关于和均为偶函数，则中国民航大学理学院张晓斌定理2若有界闭区域与区域关于直线对称，在区域上连续，则中国民航大学理学院张晓斌推论2.1若有界闭区域关于直线对称，在区域上连续，则中国民航大学理学院张晓斌例1.如图，由于积分区域关于轴，轴都对称，且和中的被积函数分别关于是奇函数，根据定理1和定理1’得计算其中解：中国民航大学理学院张晓斌二、定理的应用例2.（

3、总习题九1(2)）.则提示:如图，A设有平面闭区域中国民航大学理学院张晓斌例3.有一个平面薄片,在平面上占有区域其面密度为，求该薄片的质量M。由于积分区域关于轴，轴都对称，且被积函数关于都是偶函数，根据推论1.1得中国民航大学理学院张晓斌解：根据二重积分的物理意义，2014.3例4.设在连续，且证明证明:补区域使其与区域注意到被积函数关于和对称,考虑利用定理2，关于直线对称。例5.中国民航大学理学院张晓斌设为取值恒大于0的连续函数，区域，与是两个非零常数，则二重积分解：由于区域关于直线对称，根据推论2.1可得从而中国民航大学理学院张晓斌三、小结本

4、节给出了几种常用的有关二重积分的对称性定理，并通过例题分析对这些定理做了应用，讨论了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化二重积分的计算。中国民航大学理学院张晓斌谢谢！中国民航大学理学院张晓斌