对称性在二重积分计算中的应用

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1、对称性在二重积分计算中的应用高职数学教学中对称性在二重积分计算中的应用添加时间:2012-5-815:17:00文章来源:文章作者:中国大学论文范文网点击数:6曹文方（浙江工业职业技术学院，浙江绍兴312000）摘要:本文介绍如何利用对称性来计算二重积分的几个结论，并运用之简化特殊积分区域和特殊被积函数的二重积分的计算。关键词:二重积分；积分区域；被积函数；对称性TheApplicationofsymmetryinDoubleIntegralCalculatinginthehighervocationalmathematicsteachingCAOWen-fang(ZhejiangIndu

2、stryPolytechnicCollege,Shaoxing312000,China)Abstract:Itisintroducedinthethesissometheoremsofhowtocalculatedoubleintewww.wenku1.comgralwiththe8applicationofsymmetryinthehighervocationalmathematicsteaching.Byusingofthesethermosthecalculationofdoubleintegralwillbegreatlysimplified.Key:Words:doubleint

3、egral,integralregion,integrantedfunction,symmetry在定积分中，若函数在区间上连续，且被积函数具有奇、偶性时，则有结论此公式可以简化在对称于原点的区间上的奇、偶函数的定积分计算。在此，我们将此结论推广到二重积分。定理1.若二元函数在平面区域D连续，二重积分其中：的坐标根据D的对称性的类型而确定。下面根据积分区域D的对称形式的分类对二重积分的计算进行一些研究。一、积分区域D对称于坐标轴定理2.设二元函数在平面区域D连续，且D关于轴对称，则（1）当(即是关于的偶函数)时，有（2）当(即是关于的奇函数)时，有8（其中是D位于轴右侧的那部分区域）证明：

4、由于D关于轴对称，不妨设D=，如图所示，由二重积分对区域的可加性，得（1）对积分x=-u,y=v,则xoy面的区域对应uov面上的区域，且作换元，令=，=，=，于是当时，，将此式代回（1）式得，当时，，将此式代回（1）式得定理3.设二元函数在平面区域D连续，且D关于轴对称，则（1）当(即是关于的偶函数)时，有。（2）当8(即是关于的奇函数)时，有（其中是D位于轴上侧的那部分区域）。用完全类似与证明定理1的方法即可证明此定理。定理4.设二元函数==在平面区域D连续，且D关于轴和(即是关于、轴都对称，则（1）当的偶函数)时，有（2）当=或=(即是关于、的奇函数)时，有中是D位于第一象限部分区域

5、）（其证明：当于是关于、的偶函数时，由于D关于轴对称，不妨设为D的位轴右侧部分，又因为f(x,y)是关于的偶函数，由定理2得（2）由条件知又是关于轴对称，若是的位于轴上侧的部分，且因被积函数是关于的偶函数，由定理3得8（3）由上面（2）、（3）式得当是关于、的奇函数时，由于D关于轴对称，不妨设为D的位于轴右侧部分，又因为是关于的奇函数，由定理2得例1计算I=成的闭区域。，其中D是由抛物线，及直线y=1所围解：积分区域D对称于y轴，但被积函数函数，故不能直接应用对称性计算二重积分，但是若设是关于的奇函数,而=y是关于不是关于x的奇（或偶）,=y,则的偶函数，由对称性有，，故=。二.积分区域D

6、对称于点定理5.设二元函数f(x,y)在平面区域D连续，且D关于点对称，则（1）当f(2a-x,2b-y)=f(x,y)时，有（2）当f(2a-x,2b-y)=-f(x,y)时，有证明推导过程详见也可将此结论类似地推广到积分区域D对称于点的情况推论1.设二元函数f(x,y)在平面区域D=+连续，且，关于原点对称，则（1）当f(-x,-y)=f(x,y)时，有（2）当f(-x,8-y)=-f(x,y)时，有例2计算I=y=x所围成的闭区域。，其中D是由抛物线，解：积分区域D关于原点对称，被积函数f(x,y)=同时关于x、y的偶函数，则为I=三.积分区域D对称于直线y=ax+b定理6.设二元函

7、数f(x,y)在平面区域D连续，且D关于直线y=ax+b对称，则（1）当时，有（2）当时，有证明推导过程详见。也可将此结论类似地推广到积分区域D对称于直线的情况推论2.设二元函数f(x,y)在平面区域D=+连续，且，关于直线y=x对称，则（1）当f(y,8x)=f(x,y)时，有（2）当f(y,x)=-f(x,y)时，有推论3.设二元函数f(x,y)在平面区域D=+连续，且，关于直线y=-x对称，则（1）当f(-y,x)