资源描述：
《对称性在定积分中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、第17卷第5期四川文理学院学报(自然科学)2007年9月Vol.17No.5SichuanUniversityofArtsandScienceJournal(NaturalScienceEdition)Sep.20073对称性在定积分中的应用苏海军(四川文理学院数学系,四川达州635000)【摘要】归纳总结了对称性在计算定积分中的妙用,使一些较复杂的计算变得简单,并对对称性不明确的怎样通过构造对称性化简积分问题作了研究。【关键词】对称性;定积分[中图分类号]O172[文献标识码]A[文章编号]1008-4886(20
2、07)05-0010-03bbb对称性是指某一事物对象的两个部分的对等性。其∫af(x)dx=∫af(a+b-t)(-dt)=∫af(a+b-x)dx定义用集合语言刻画如下:设给定一个集合M,在其内考(2)式可由(1)式直接推得。证毕。虑元素间的某些关系,并设P是M的一个子集,对于M的定理2设函数f在区间[0,a]上可积,且有f(x)=一个可容许变换A,称集合P是对称的或不变的,若变换f(a-x),即关于区间的中点为偶函数,则有aA把集合P中的每一点仍变为P的点。有关数与形的对∫af(x)dx20=2∫0f(x)dx
3、(3)a称在积分学中极为常见,许多问题初看起来似乎难以解a2a证明∫f(x)dx=∫f(x)dx+∫af(x)dx(4)002决,不易下手,但一旦恰当地利用了某种对称性,这个复杂对于右式中的第二项,令t=a-x,则dx=-dt,且当的计算问题就变得异常简单。aa[1]x=a时,t=0;当x=时,t=,于是有命题设f(x)在[-a,a]上可积,若f(x)为偶函22aaaa数,则∫f(x)dx=2∫f(x)dx;若f(x)为奇函数,则a022-a0∫af(x)dx=∫af(a-t)(-dt)=∫f(a-t)dt=∫f(t
4、)dt=2200aa∫-af(x)dx=0。∫2f(x)dx0a0a证明∵∫-af(x)dx=∫-af(x)dx+∫0f(x)dx代入(4)式即得(3)式。证毕。0对积分∫-af(x)dx作代换x=-t,则有[3]定理3设函数f在区间[0,a]上可积,且有f(x)00a∫-af(x)dx=-∫af(-t)dt=∫0f(-t)dt=-f(a-x)a=∫0f(-x)dx即关于区间的中点为奇函数,则有∫af(x)dx=00aaa∴∫-af(x)dx=∫0f(-x)dx+∫0f(x)dx与定理2的证明同理,可证得定理3。但考
5、虑到对称a=∫0[f(x)+f(-x)]dx性,利用定理1来证明定理3更为直观、方便。若f(x)为偶函数,则f(x)+f(-x)=2f(x),从而证明由(2)式得aa∫-af(x)dx=2∫0f(x)dx;∫af(x)dx=∫af(a-x)dx=∫a[-f(x)]dx=-∫af(x)dx0000若f(x)为奇函数,则f(x)+f(-x)=0,从而a于是有∫0f(x)dx=0。证毕。a∫-af(x)dx=0。证毕。推论1设函数f在区间[0,1]上连续,则有如果将上述命题作进一步推广,将得到如下几个更一πππ般性的结果,
6、将这些结果应用于某些定积分的计算将十分(i)∫0xf(sinx)dx=2∫0(sinx)dxππ方便。(ii)∫2f(20sinx)dx=∫0f(cosx)dx[2]定理1设函数f在[a,b]上可积,则有πππbb证明∫0xf(sinx)dx-∫0f(sinx)dx∫af(x)dx=∫af(a+b-x)dx(1)2特别地,当积分区间为[0,a]时,有ππaa=∫0(x-)f(sinx)dx∫0f(x)dx=∫0f(a-x)dx(2)2证明设x=a+b-t,则dx=-dt,且当x=a时,容易验证,上式右边积分中的被积函
7、数关于区间中点t=b;当x=b时,t=a于是有为奇函数,由定理3可知积分为0,于是(i)得证。同理可3[收稿日期]2007—04—24[作者简介]苏海军(1981—),男,四川广安人,助教,主要从事基础数学研究。10苏海军:对称性在定积分中的应用2007年第5期ππππ得(ii)。证毕。444=∫0ln2dt+∫0lncos(-t)dt-∫0lncostdt(5)由以上的几个定理我们可以将对称性在定积分中的4[4]π应用简单的记为:对最末第二个式子作变换u=-t,有a4a2∫0f(x)dxf(x)为偶函数∫f(x)d
8、x=πππ-a404∫lncos(-t)dt=∫πlncosu(-dt)=∫lncosudu0f(x)为奇函数0440π例1设函数f在区间[0,a](a>0)上连续,且f(x)4=∫0lncostdt(6)+f(a-x)≠0,计算所以将(6)代入(5)有af(x)ππI=∫dx40f(x)+f(a-x)I=∫0ln2dt=ln28解法1令g(x
