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1、分类号:O172.1单位代码：106密级：一般学号:本科毕业论文（设计）题目：对称性在积分中的应用专业：数学与应用数学姓名：王静指导教师：张璐职称：讲师答辩日期：二0一0年六月对称性在积分中的应用摘要：积分的计算是积分运用中的一个难点.在某些积分的计算过程中，若能利用对称性，则可以简化积分的计算过程.本文介绍了几种常见的对称性在积分计算过程中的几个结论及其应用，并通过实例讨论了利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性简化重积分，曲线积分，曲面积分的计算方法.另外，对于曲面积分的计算，本文还给出了利用积分曲面关于变量的轮换对称性简化曲面积分的计算，是曲面积分的计
2、算更加便捷.关键词：对称；积分；应用ApplicationofthesymmetryinAbstract:Integrationpointsusedinthecalculationisadifficultpoint.Certainpointsinthecalculationprocess,ifuseofsymmetry,youcansimplifytheintegralcalculation.Thisarticledescribessomecommonpointsofsymmetryinthecalculationprocessanditsapplicati
3、oninseveralconclusions,andthroughanexampleusingtheintegralareaofthesymmetryandtheparityoftheintegrandtosimplifyintegration,thecurveintegral,surfaceintegralcalculated.Inaddition,thecalculationforthesurfaceintegral,thepaperalsogivesthesurfaceintegralonthevariableuseofsymmetrysimplifi
4、esthecalculationofsurfaceintegralsisthesurfaceintegralofthecalculationsaremoreconvenient.Keywords:symmetry;points;application目录1引言12相关的定义13重积分的对称性13.1二重积分的对称性定理及其应用33.2三重积分的对称性定理及其应用44曲线积分的对称性44.1第一型曲线积分的对称性定理及其应用64.2第二型曲线积分的对称性定理及其应用75曲面积分的对称性75.1第一型曲面积分的对称性定理及其应用95.2第一型曲面积分的对称性定理
5、及其应用106小结11参考文献12谢辞13对称性在积分中的应用1.引言积分的对称性包括重积分，曲线积分，曲面积分的对称性.在积分计算中，根据题目的条件，充分利用积分区域的对称性及被积函数的奇偶性，往往可以达到事半功倍的效果.下面我将从积分相关的定理和结论，再结合相关的实例进行具体的探讨.本文结合积分域关于平行于坐标轴的直线，平行于坐标面的平面，平行于坐标轴对角线的直线的对称性定义，以及相应对称区域上定理中的函数约定在该区域都连续或偏导数连续.2.相关的定义定义1：设平面区域为,若点,则关于直线对称，对称点与是关于的对称点.若点∈，则关于直线对称，称点与是关于
6、的对称（显然当,对关于,轴对称）定义2:设平面区域为,若点，则关于对称，称点与是关于的对称点.若点，则关于直线对称）注释：空间区域关于平行于坐标面的平面对称；平面曲线关于平行于坐标轴的直线对称；平面曲面以平行于坐标面对称，也有以上类似的定义.3.重积分3.1二重积分的对称性定理定理1：设有界闭区域,与关于或轴对称.设函数在有界闭区域上连续，那么（ⅰ）若是关于（或）的奇函数，则（ⅱ）若是关于（或）的偶函数，则=2，注释：设函数在有界闭区域上连续（ⅰ）若关于轴对称，则其中是的右半部分:=（ii）若D关于x轴对称，则其中是的上半部分：=定理2：设有界闭区域D关于x
7、轴和y轴均对称，函数在D上连续且关和均为偶函数，则其中是的第一象限的部分：=定理3：则设有界闭区域D关于原点对称，函数在上连续，则其中=，=例1：计算，其中D由下列双纽线围成：(1)(2)解：（1）由于围成的区域关于x轴y轴均对称，而被积函数关于（或轴）为奇函数则有（2）由围成的区域对称于原点，而被积函数是关于,的偶函数则有=由极坐标知，代入得且由，知则于是定理4：设有界闭区域D关于对称,函数在上连续，则=例2：设函数在上的正值连续函数证明：，其中为常数，证明：∵积分区域D关于对称∴设由函数关于两个变量，以上两式相,得，从而一般地，有以下定理：定理5：设有界
8、闭区域，与关于直线对称，函数在上连续，那么：（ⅰ）若
