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《浅谈对称性在积分计算中的应用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。
1、浅谈对称性在积分计算中的应用1“、▽石.16b)式(1.15)和(1.16)中的r是场点jc到源点的距离:-8-人述理1.人学硕十’〒:位论文/’(xP,x)=11.Y-?丨丨:拉(1.17)其中D足问题维数,三维问题为3,二维问题为2。式(1.14)中等式左端的第一项积分是弱奇异的,第二项积分是强奇异的。下面用函数图像的形式直观理解核函数的奇异性。图1.1显示的是三维问题z/在.Y-化情况的原点_y平面上变,此时的源点位于坐标系位置。图1.2显示的是三维问题基本解当法向量/1取]}(1.25)a;”
2、/:+,)“?,?[(1-2v)?+A/r(l-v)”女r’和上一节一样,为了更加直观了解核函数奇异性,做出基本解的函数图像。图1.3显示的是三维问题Kelvin基本解C/,1在jc-平面上变化情况_y,此时源点位于坐标系原点,Xe(-00,+00),ye(0,+oo)。图1.4显示的是三维问题Kelvin基本解[/丨:在jc->;平面上的分布情况。图1.5显示的是7;1当法向量《取(1,0,0)的时候在;c-平面上的分布情况_y。-10,y=if+2(1.29)式(1.26)中c是自由项系数,如果源
3、点是内部点c=l,如果源点在光滑边界上C=1/20此时公式(1.26)右端第一项积分是强奇异的,第二项是超强奇异的,它们分别在Cauchy主值意义下和Hadamard有限部分积分意义下存在。1.4积分形式的自由项消除主值积分奇异性原理基于实际物理问题的平衡方程的加权余量等效积分方程不会有无穷发散项的产生,但是在实际应用过程中,带有自由项的基本未知量(位移、温度)边界积分方程和未知量梯度(应力、通量)边界积分方程中存在强奇异和超奇异积分,导致了源点和场点距离趋近零的时候被积函数趋近无穷。传统边界积分方程
4、的导出都简化了边界积分方程的推导过程,忽略了基本物理量(位移、温度等)和物理量梯度(应力、通量等)边界积分方程中奇异积分产生的根源,而且许多间接方法(刚体位移法、面力恢复法等)的引入,可以巧妙地绕幵奇异积分问题,避免了直接面对奇异、超奇异积分。然而,奇异性是边界积分方程方法的固有特性,奇异性也使得边界元法在处理奇异性物理问题时体现出其独有的优势,因而合理处理并利用而不是避幵奇异性问题是最大发挥边界元法优势的关键。所有类型的边界积分方程的积分的奇异性都是表面的,奇异、超奇异积分只在含有自由项的边界积分中
5、表现出来[48],积分形式的自由项可以抵消主值积分的奇异性。了解此类性质,将有助于理解边界积分方程的奇异性,开发出更高效的直接计算超奇异积分的方法。下面将以位势问题为例从极限的角度推导超奇异边界积分方程。位势问题加权余量法建立边界积分方程的公式[9]如下:(1.30)众所周知,当M*取基本解方程=0的解时候,由狄拉克(Dirac)函数蹄选性质,=-M,便得到了源点是内部点的时候的边界积分方程。如果从奇异性的角度分析,式(1.30)等号右端的域积分是强奇异的,强奇异会有一个跳项产生[13]。为了处理此类
6、积分,在积分区域n中隔离出来一个以源点为圆心、半径-12-人连理T.人学硕士学位论文为S的无穷小的区域Q,,如图1.6所示,r,为的边界,r;为隔离源点之后求解域的内边界,r;和r;重合、法向方向。图1.6中箭头的方向表示积分的方向,《表示边界的外法向,r为求解域的边界。)得到完全正则的积分方程:Ikl…cW-(x”(*jc)-q[m(jc)-uix”)-w4-xf)]}ir=0(1.47)可见对于基本物理量边界积分方程式(1.36),积分形式的自由项(式(1.36)的左端项)能抵消Cauchy主值意
7、义下积分(式(1.36)右端项)的奇异性,使其变为弱奇异形式的积分方程(1.41)或者完全正则的积分方程(1.47)。下面分析梯度边界积分方程。将式(1.36)两端对源点坐标;求导,得到梯度边界积分方程:文由公式(1.58)得到:tDm=_j〖Ujjn?,代入式(1.64)得到-Ip一[ujj⑷~U”(jcok⑷-Tyu—”)0’kj(x)Uj(x)-Uj(’ix”/-xf)]jdr.7;,dr八-丁”办=0上式第一项为正则的积分,第二、三项恒等式如下[47]-“70(1+r;,dr=.66)La
8、k”-=取八⑷-?;0(1’”》OK.67)将式(1.66)-(1.67)代入(1.65)得到弱奇异形式的位移梯度积分方程:口?/”』”(>)-”人/(>。]??(>)-7;丄(>)-”,GO-?(々(?-”々Jdr=0(1.68)总结上述结果,发现奇异和超奇异积分只有当方程中存在显式自由项的时候才会体现出来,如果将自由项写成积分的形式并在全域中考虑积分方程,方程中的奇异性会自身平衡抵消掉,这是由基本解的性质决定的。主值积分的发散部分和自由项的发散部分相
