对称性在积分计算中的应用 毕业论文

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1、原创性声明本人郑重声明：本人所呈交的论文是在指导教师的指导下独立进行研究所取得的成果。学位论文中凡是引用他人已经发表或未经发表的成果、数据、观点等均已明确注明出处。除文中已经注明引用的内容外，不包含任何其他个人或集体已经发表或撰写过的科研成果。本声明的法律责任由本人承担。论文作者签名：年月日论文指导教师签名：年月日对称性在积分计算中的应用摘要:积分区域的对称性和被积函数的奇偶性可以大大简化计算过程.论文将介绍几种常见对称性在二重积分、曲线积分、曲面积分计算过程中的结论和应用.关键词:二重积分;曲线积分;曲面积

2、分;对称性;奇偶性TheApplicationofSymmetryinIntegralCalculationYangRui(Schoolofmathematicsandstatistics,Tianshuinormaluniversity,Tianshui741000,China)Abstract:Thecalculationofintegralwillbegreatlysimplifiedbyusingthesymmetryofintegraldomainandparityofintegrand.Thepa

3、perwillintroducetheapplicationofseveralcommonsymmetryinthecalculationofdoubleintegral,curveintegralandcurvedsurfaceintegral.KeyWords:doubleintegral,curveintegral,curvedsurfaceintegral,symmetry,Parity.目录1.预备知识12.特殊对称区域上的二重积分12.1平面区域关于坐标轴对称12.1.1.平面区域关于轴对称12.

4、1.2.平面区域关于轴对称12.2平面区域关于坐标原点对称22.3平面区域关于坐标轴、坐标原点都对称32.4平面区域关于直线对称32.4.1.平面区域关于直线对称（即区域具有轮换对称性）32.4.2.平面区域关于直线对称43.特殊对称区域上的曲线积分53.1对称性在平面第一型曲线积分中的应用53.1.1．曲线关于原点对称53.1.2.曲线关于轴对称53.1.3.曲线关于直线对称63.1.4.积分曲线具有轮换对称性63.2对称性在平面第二型曲线积分中的应用73.2.1.平面曲线关于轴对称73.2.2.平面曲线关

5、于原点对称73.2.3.积分曲线具有轮换对称性84.特殊对称区域上的曲面积分84.1.对称性在第一型曲面积分中的应用84.1.1.积分区域关于坐标平面对称84.1.2.关于变量的轮换对称性94.2对称性在第二型曲面积分中的应用104.2.1．曲面关于坐标平面对称104.2.2.曲面关于变量的轮换对称性10参考文献12致谢13数学与统计学院2013届毕业论文对称性在积分计算中的应用1.预备知识1.Newton-Leibnitz公式若函数在上连续，且存在原函数,则在上可积,且.2.利用Newton-Leibnit

6、z公式计算积分时,由被积函数的奇偶性质得知本文将以上性质推广到了多元函数在对称区域上的积分.3.设为平面区域，若对,则称关于具有轮换对称性.2.特殊对称区域上的二重积分积分区域和被积函数的对称性,可以简化重积分的计算,有些题目如果不用对称性,甚至积分顺序选择不恰当时都会使计算非常麻烦.本节利用对称性对直角坐标系中的二重积分展开讨论.2.1平面区域关于坐标轴对称2.1.1.平面区域关于轴对称结论1若积分区域关于轴对称,=则:当,即关于为奇函数时:.当,即关于为偶函数时:.2.1.2.平面区域关于轴对称结论2若积

7、分区域关于轴对称,则:当,即关于为奇函数时:13数学与统计学院2013届毕业论文.当，即关于为偶函数时:.下面仅就结论2给出证明:设积分域关于轴对称,其中分别为在轴的左、右半部分,则.对于做变量替换,令,则,其中.所以,从而.根据的奇偶性,结论2得证.例1计算二重积分,其中区域:.分析：,由于积分区域关于轴对称,且为奇函数,由以上结论得：,.所以,原式.2.2平面区域关于坐标原点对称结论3若积分区域关于坐标原点对称,则:当即关于都为奇函数时:.当即关于都为偶函数时:13数学与统计学院2013届毕业论文（为中的

8、部分.例2计算二重积分,其中区域.分析：由于积分区域关于轴对称,,而同时为关于的奇函数,从而,所以.2.3平面区域关于坐标轴、坐标原点都对称结论4若积分区域关于坐标轴、坐标原点都对称,则:当时:.当时:.其中,为中的部分.例3利用对称性计算二重积分,.解区域关于坐标轴、坐标原点都对称,且被积函数关于都是偶函数,所以其中为中第一象限部分,即又,所以.2.4平面区域关于直线对称2.4.1.平面区域关于直