高等数学（ii）南京理工大学-dfs_service_高等数学（下）期中考试试卷及及答案20130420

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1、考生注意：所有答案（包括填空题）按试题序号写在答题纸上，写在试卷上不给分一、填空题(本题共8小题，每小题4分，满分32分)(1)已知，则_________.(2)原点O关于平面对称点P的坐标为_________.(3)曲面在点处的切平面方程为.(4)函数在点（0，0）处的连续性为______.(5)设，其中函数可微，则=.(6)设为连续函数，，则.(7)设为曲面所围成的立体，如果将三重积分化为先对再对最后对三次积分，则I=.(8)设是圆域位于第象限的部分，记，若，则___________.二、计算题（本题共2小题，每小题6分，

2、满分12分）(1)求过点M(3,1,-2)且通过直线的平面方程.(2)求曲线在点处的切线方程.三、计算题（本题共2小题，每小题7分，满分14分）(1)求的极值.(2)设f(u,v)有一阶连续偏导数，，，求，并证明：.四、计算题（本题共2小题，每小题7分，满分14分）(1)计算,其中D是由直线y=x、x=1及y=0围成的闭区域.(2)设是由曲面及所围成的有界闭区域,求的体积.五、（本题满分10分）求曲线上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．六、（本题满分10分）设直线过点，将绕轴旋转一周得到曲面。（1）求直线的参数方程及曲面的方

3、程；（2）设曲面：与平面,所围成的立体为.求的形心坐标.七、（本题共2小题，每小题4分，满分8分）（1）计算积分：.（2）交换三次积分次序，将化为先对y再对x最后对z的积分次序.答案一、填空题(本题共8小题，每小题4分，满分32分)(1);(2);(3);(4)不连续;(5);(6);(7);(8)2、二、计算题（本题共2小题，每小题6分，满分12分）(1)（6分）求过点M(3,1,-2)且通过直线的平面方程解：在直线取点P=(4,-3,0)，则已知直线的方向向量为.------------------------------

4、2分设所求平面的法线向量与向量.-------------------4分所求平面的方程为8(x-3)-9(y-1)-22(z+2)=0,即8x-9y-22z-59=0.----------------------6分(2)求曲线在点处的切线方程。解：两边同时对求导------------------------------4分把点代入解得：故切线方程为：------------------------------6分三、计算题（本题共2小题，每小题7分，满分14分）(1)求的极值.解：由得驻点为---------------

5、------------3分----------------------------5分又极大值.----------------------7分.(2)设f(u,v)有一阶连续偏导数，，，求并证明：。解：设：，则类似可得，-----------4分代入原式左边，得到------------------------------7分四、计算题（本题共2小题，每小题7分，满分14分）(1)计算,其中D是由直线y=x、x=1及y=0围成的闭区域.解画出区域D,可把D看成是X--型区域:0£x£1,0£y£x于是-----------

6、-----4分.----------------7分(2)设是由曲面及所围成的有界闭区域,求的体积.解:在面上的投影区域为……………………2分的体积为…………………5分……………………7分五、（本题满分10分）求曲线上的点到坐标原点的最长距离与最短距离．解：设为曲线上的点，目标函数为，构造拉格朗日函数．--------2分令（1）（2）（3）-------5分当时，由（1），（2）得，即，得，或（由于x>0,y>0,舍去）．将代入（3）得，即，所以（1，1）为唯一可能的极值点，此时；-------8分当x=0,y=1或x=1,

7、y=0时，．-------10分故所求最长距离为，最短距离为1．六、（本题满分10分）设直线过两点，将绕轴旋转一周得到曲面.求直线的参数方程及曲面的方程；设曲面：与平面,所围成的立体为.求的形心坐标.解直线的方程为写成参数式为（为参数）.……2分设为曲面上的任一点，则所以曲面的方程为.……4分设的形心坐标为根据对称性，得.……6分， 其中.所以：.……8分所以.故的形心坐标为.……10分七、（本题共2小题，每小题4分，满分8分）（1）计算积分：（2）交换三次积分次序，化为先对y再对x最后对z的积分次序：