数值分析总复习提纲

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1、数值分析总复习提纲数值分析课程学习的内容看上去比较庞杂，不同的教程也给出了不同的概括，但总的来说无非是误差分析与算法分析、基本计算与基本算法、数值计算与数值分析三个基本内容。在实际的分析计算中，所采用的方法也无非是递推与迭代、泰勒展开、待定系数法、基函数法等几个基本方法。一、误差分析与算法分析误差分析与算法设计包括这样几个方面：（一）误差计算1、截断误差的计算截断误差根据泰勒余项进行计算。基本的问题是，已知ε求n。例1．1：计算e的近似值，使其误差不超过10－6。解：令f(x)=ex,而f（k)(x)=ex,f（k)(0)=e0=1。由麦克劳林公式，可知当x=1时，故。当n＝9时，Rn(1)

2、<10－6，符合要求。此时，e≈2.718285。2、绝对误差、相对误差及误差限计算绝对误差、相对误差和误差限的计算直接利用公式即可。基本的计算公式是：①e(x)＝x*－x＝△x＝dx②③④⑤⑥⑦注意：求和差积商或函数的相对误差和相对误差限一般不是根据误差的关系而是直接从定义计算，即求出绝对误差或绝对误差限，求出近似值，直接套用定义式或，这样计算简单。例1．2：测得圆环的外径d1=10±0.05(cm)，内径d2=5±0.1(cm)。求其面积的近似值和相应的绝对误差限、相对误差限。解：圆环的面积公式为：所以，圆环面积的近似值为由上述讨论，面积近似值的绝对误差限为相对误差为相对误差要化成百分数

3、。3、绝对误差、相对误差、有效数字的关系计算绝对误差、相对误差、有效数字的关系依据如下结论讨论：①如果一个数其近似值是对x*的第n+1位进行四舍五入后得到的，则x有n位有效数字，且其绝对误差不超过，即。②如果一个数的近似值是对x*的第n+1位进行四舍五入后得到的，则x有n位有效数字，且其绝对误差不超过，即。③设是x*的具有n位有效数字的近似值，则其相对误差限为反之，若x的相对误差限则x至少具有n位有效数字。例1.3：求的近似值，使其绝对误差不超过。解：因为所以，化成的形式，有。而，所以，由定理2，n=4，所以近似值应保留4位有效数字。则。例1．4：要使的近似值的相对误差不超过，应取几位有效数

4、字？（5％）解：设取n个有效数字可使相对误差小于，则，而，显然，此时，，即，也即所以，n=5。例1．5：已知近似数x的相对误差限为0.3％,问x至少有几个有效数字？解：设x有n位有效数字，其第一位有效数字按最不利情况取为9，则由上可得，n≈2.2，所以取n=2。指出：也可以按首位为1，9分别计算，取较小者。4、计算方法的余项计算各种计算方法的余项的计算根据相应的余项定理进行。（二）误差分析精度水平的分析主要依据两个结论：相对误差越小，近似数的精确度越高。一个近似数的有效数字越多，它的相对误差越小，也就越精确。反之亦然。例1.6：测量一个长度a为400米，其绝对误差不超过0.5米，测量另一长度

5、b为20米，其绝对误差不超过0.05米。问，哪一个测量的更精确些？解：显然，δa<δb所以测值a更准确一些。答：测值a更准确一些。指出：衡量测量工作的好坏用相对误差。解决这样的题目就是三个步骤：第一，求出两个相对误差。第二，比较两个相对误差的大小。第三，结论。（三）算法分析1、稳定性分析算法的稳定性通过对计算的误差的扩缩情况进行分析。例1．7：设近似值T0=S0=35.70具有四位有效数字，计算中无舍入误差，试分析分别用递推式和计算T20和S20所得结果是否可靠。解：设计算Ti的绝对误差为e(Ti)=Ti*－Ti，其中计算T0的误差为ε，那么计算T20的误差为e(T20)=T20*－T20＝

6、（5T19*－142.8）－（5T19－142.8）=5(T19*－T19)＝5e(T19)=52e(T18)=……=520e(T0)显然误差被放大，结果不可靠。同理，，误差缩小，结果可靠。指出：注意理论分析，因此初始近似值本身是不必要的。2、收敛性分析算法的收敛性分析主要是迭代法解方程的收敛性分析和迭代法解方程组的收敛性分析，其他计算方法的收敛性分析一般在具体计算过程中体现。（1）迭代法收敛性判定的基本结论是：定理（迭代法基本定理）：对于任意的f∈Rn，和任意的初始向量x(0)∈Rn，迭代法x(k+1)=Bx(k)+f(k=0,1,2,…)收敛的充分必要条件是迭代矩阵B的谱半径ρ(B)＜1

7、。推论：若，则迭代格式x(k+1)=Bx(k)+f(k=0,1,2,…)收敛。（2）判定雅可比迭代法、高斯—赛德尔迭代法收敛的基本依据是：定理：设线性方程组Ax=b，其系数矩阵为则雅可比迭代法迭代矩阵的特征值满足如下条件：；高斯－赛德尔迭代法迭代矩阵的特征值满足如下条件：。(3)系数矩阵为严格对角占优矩阵的方程组的迭代法收敛性：定理：系数矩阵为严格对角占优的线性方程组，它的雅可比迭代和高斯－赛德尔迭代都是收敛