数列的表示方法剖析

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1、数列的表示方法剖析数列是一类特殊的函数，用函数的观点认识数列和处理数列问题，既有利于理解和掌握数列的基本概念和性质，又有利于解决相关的数学问题．所以可用表示函数的方法表示数列，常用的有通项公式法、列表法和图象法等．一．通项公式法1．定义如果数列{an}的第n项an与序号n之间的关系可以用一个式子表示成an=f（n），那么这个式子就叫做这个数列的通项公式．2．注意点（1）数列的通项公式就是相应函数的解析式，与不是所有的函数关系都能用解析式表示相类似，并不是所有的数列都有通项公式；（2）如果有通项公式的同一数列，其表达形式可以是不唯一的；（3）要

2、判断某一值是否是该数列中的项，只需令它的通项公式等于该值，解相应的方程，若方程有正整数解，则该值是数列中的项；若方程无解或无正整数解，则该值就不是数列中的项．3．应用例1．写出数列29+2，29+6，29+12，29+20，29+30，…的一个通项公式，并验证2009是否为该数列中的一项.分析：数列每项由两个数的和组成，第1个数都是29，第2个数分别为2，6，12，20，30，…都是两个连续自然数的乘积：1×2，2×3，3×4，4×5，5×6，…．解析：该数列的一个通项公式为an＝29+n（n+1），令29+n（n+1）＝2009，则n2+n

3、－1980＝0，解得n＝44或n＝－45（舍），∴2009是该数列的第44项．点评：写出数列的通项后，验证给定的数是否是数列中的项，或为某一项，就是把给定的数代入通项公式解方程．如果有正整数解，则说明是数列中的项，如果无正整数解，则说明不是数列中的项．变形练习1：试写出数列1·（n2－12），2·（n2－22），3·（n2－32），4·（n2－42），…的一个通项公式．答案：数列的一个通项公式为：ak=k（n2－k2）（k∈N*）．二．列表法1．定义用表格表示数列的项与项数的关系的方法，称为列表法．2．注意点（1）列表法可以清楚地反映出数列的

4、许多具体的项，所以经常用列表的方法来发现数列的规律，或研究数学的规律性质等；（2）由于受某些条件的限制，用列表的方法有时不能完整的反映一个数列，或数列的具体规律．所以并不是每一个数列都可以用列表的方法表示．3．应用例2．函数f（x）由下表定义x25134f（x）51342若a0=5，an+1=f（an），n=0，1，2，…，则a2010=________．分析：从表格中的数值对应关系中找出相应数列的对应变量之间关系，写出相应的数列关系式，进而得对相应的数列规律，从而求解对应的数列的项．解析：由于a0=5，根据定义有a1=f（a0）=f（5）=

5、1，a2=f（a1）=f（1）=3，a3=f（a2）=f（3）=4，a4=f（a3）=f（4）=2，a5=f（a4）=f（2）=5，a6=f（a5）=f（5）=1，可以判断，an+1=f（an）是一个周期为5的数列，那么a2010=a0=5，故填答案：5．点评：正确理解表格中相应变量之间的关系是列表法解决数列问题的关键所在．在实际解决问题时，往往可以把表格的信息通过转化为运算问题、判断性问题等加以分析与解决．变形练习2：电子计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表：十进制123456…二进制11011100101110…观察二进制1位数

6、，2位数，3位数时，对应的十进制的数，当二进制为6位数能表示十进制中最大的数是________．答案：63．三．图象法1．定义用图象把数列的项与项数的关系表示出来的方法叫做图象法．2．注意点（1）数列是以正整数N*（或它的有限子集{1，2，…，n}）为定义域的函数an=f（n），当自变量按照从小到大的顺序取值时，所对应的项是一系列函数值．所以可以以序号为横坐标，对应的项为纵坐标，利用描点法作图来表示这个数列；（2）数列图象与一般函数图象的区别在于数列的图象是一系列孤立的点；（3）数列的图象是无限个或有限个孤立的点．数列是一类离散函数，它是刻画

7、离散过程的重要数学模型．3．应用例3．为了测试某种金属的热膨胀性质，将这种金属的一根细棒加热，从100℃开始第一次量细棒长度，以后每升高50℃量一次，把依次量得的数据所成的数列{ln}表示成图象，如图，根据图象回答下列问题：（1）第5次量得金属棒的长度是多少？此时金属棒的温度是多少？（2）求{ln}的通项和金属棒长度ln（m）关于温度t（单位：℃）的函数关系式；（3）在30℃的温度条件下，如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上，这个平面的最高温度可达到500℃，问铺设时两块金属板之间至少要留出多宽的空隙？分析：本题是通过实验取得数据从而进行

8、研究实际问题一个应用题．这是一个数列的图象，当n=5时，它对应的纵坐标为第5次量得金属棒的长度.我们要求出“铺设时两块金属板之间至少要留出多宽的空隙”，实际上是求两