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1、数列的表示方法剖析数列是一类特殊的函数，用函数的观点认识数列和处理数列问题，既有利于理解和掌握数列的基本概念和性质,又有利于解决相关的数学问题.所以吋用表示函数的方法表示数列,常用的有通项公式法、列表法和图象法等.一.通项公式法1.定义如果数列｛如｝的第n项如与序号n之间的关系可以用一个式子表示成an=f（n）,那么这个式子就叫做这个数列的通项公式.2.注意点（1）数列的通项公式就是相应函数的解析式，与不是所有的函数关系都能用解析式表示相类似，并不是所有的数列都有通项公式；（2）如果有通项公式的同一数列，其表达形式口J以是不唯一的；（3）要判断某一值是否是该数列屮
2、的项，只需令它的通项公式等于该值，解相应的方程，若方程有正整数解，则该值是数列屮的项；若方程无解或无正整数解，则该值就不是数列中的项.3.应用例］.写出数列29+2,29+6,29+12,29+20,29+30,…的一个通项公式,并验证2009是否为该数列中的一项.分析：数列每项由两个数的和组成，笫1个数都是29,第2个数分别为2,6,12,20,30,…都是两个连续自然数的乘积:1x2,2x3,3x4,4x5,5x6,….解析：该数列的一个通项公式为atl=29+n（料+1）,令29+/?（n+1）=2009,则n2+n—1980=0,解得«=44或“=—45（
3、舍），・・・2009是该数列的第44项.点评：写出数列的通项后，验证给定的数是否是数列中的项，或为某一项，就是把给定的数代入通项公式解方程.如果冇止整数解，则说明是数列中的项，如果无正整数解，则说明不是数列屮的项.变形练习1：试写出数列1・（n2-l2）,2・（n2-22）,3・（n2~32）,4・（n2-42）,…的一个通项公式.答案：数列的一个通项公式为：ak=k（n2-k2）（keN*）.二.列表法1.定义川表格表示数列的项与项数的关系的方法，称为列表法.2.注意点（1）列表法可以清楚地反映出数列的许多具体的项，所以经常用列表的方法來发现数列的规律，或研究数
4、学的规律性质等；（2）由于受某些条件的限制，用列表的方法有吋不能完整的反映一个数列，或数列的貝-体规律.所以并不是每一个数列都可以用列表的方法表示.3.应用例2.函数f（x）由下表定义x25134f（x）51342若a°=5,an+i=f（an）,n=0»1,2,…，则a2oio=・分析：从表格中的数值对应关系中找出相应数列的对应变屋Z间关系，写出相应的数列关系式，进而得对相应的数列规律，从而求解对应的数列的项.解析：由于a°=5,根据定义有aj=f(a0)=f(5)=1,a2=f(a】)=f(1)=3,a3=f仏)=f(3)=4,a4=f仙)=f(4)=2,a5
5、=f(a4)=f(2)=5,%=f(a5)=f(5)=1,可以判断,an+i=f(an)是一个周期为5的数列,那么a2oi()=a()=5,故填答案：5.点评：正确理解表格小相应变量Z间的关系是列表法解决数列问题的关键所在.在实际解决问题吋，往往町以把表格的信息通过转化为运算问题、判断性问题等加以分析与解决.变形练习2：电了计算机中使用二进制，它与十进制的换算关系如下表：十进制123456•••二进制11011100101110•••观察二进制1位数，2位数，3位数时，对应的十进制的数，当二进制为6位数能表示十进制中最大的数是.答案：63.一.图象法1.定义用图象
6、把数列的项与项数的关系表示出来的方法叫做图象法.2.注意点(1)数列是以正幣数N*(或它的有限子集｛1,2,…，n｝)为定义域的函数an=f(n),当自变量按照从小到大的顺序取值时，所对应的项是一系列函数值.所以可以以序号为横坐标，对应的项为纵坐标，利用描点法作图来表示这个数列；(2)数列图象与一般函数图象的区别在于数列的图象是一系列孤立的点；(3)数列的图象是无限个或有限个孤立的点.数列是一类离散函数，它是刻画离散过程的重要数学模型.3.应用例3・为了测试某种金属的热膨胀性质，将这种金属的一根细棒加热，从100°C开始第一次虽细棒长度，以后每升高50°Cfi一次
7、，把依次虽得的数据所成的数列仏｝表示成图象，如图，根据图彖冋答下列问题：札桂:TL)2.00G・.2D05・.Z.DD4-.a003・.乙UDN・■2.DD1..2.000・—iit；——门•(测童呼号：(1)第5次量得金属棒的长度是多少？此吋金属棒的温度是多少？(2)求仏｝的通项和金属棒长度人(m)关于温度t(单位：。C)的函数关系式：(3)在30°C的温度条件下，如果把两块这种矩形金属板平铺在一个平面上，这个平面的最高温度可达到500°C,问铺设时两块金屈板之间至少要留出多宽的空隙？分析：木题是通过实验取得数据从而进行研究实际问题一个应用题.这是一个数列的图象
8、，当n=5
