九年级下人教新课标第二十八章解直角三角形教学资料1

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1、解直角三角形【学习目标】理解直角三角形中各元素间的关系，并能熟练地运用它们解直角三角形．【主体知识归纳】1．解直角三角形由直角三角形中除直角外的已知元素，求出所有未知元素的过程，叫作解直角三角形．2．直角三角形中边角之间的关系在△ABC中，∠C为直角，∠A、∠B、∠C所对的边分别为a、b、c，那么，除∠C外，其余5个元素之间有以下关系：(1)两锐角之间的关系——互余，即∠A＋∠B＝90°；(2)三边之间的关系——勾股定理，即a2＋b2＝c2；(3)边角之间的关系——sinA＝，cosA＝，tanA＝，co

2、tA＝；其中∠A可以换成∠B．【基础知识讲解】1．什么条件下可以解直角三角形?三角形中共有六个元素．在直角三角形中，由于有一个角(即直角)是已知的，所以通常是在已知两个元素求另外三个元素，这里的元素是指边和角(直角除外)．已知的两个元素中，不能都是锐角，因为一个三角形只知道角不能确定三角形的大小，所以根本不可能求出三边的长．故已知的两个元素中，至少要知道一条边．解直角三角形有两种类型：(1)已知一边和一锐角，求另外两边和另一锐角；(2)已知两边求第三边和两个锐角．2．解直角三角形的两种类型解法如下表：已知

3、解法公式已知边和一锐角斜边和锐角c、∠AB＝90°－A，a＝c·sinA，b＝c·cosAc、∠BA＝90°－B，b＝c·sinB，a＝c·cosB直角边和一锐角c、∠AB＝90°－A，b＝a·cotA，c＝c、∠BA＝90°－B，a＝b·cotB，c＝c、∠BA＝90°－B，b＝a·tanB，c＝c、∠AB＝90°－A，a＝b·tanA，c＝已知两边两直角边a、bc＝，sinA＝，sinB＝斜边和一直角边c、ab＝，sinA＝，sinB＝c、ba＝，sinA＝，sinB＝注意：(1)尽量使用给定的原始数

4、据；(2)角的某种三角函数值确定后，可以查表求出角的度数．3．解直角三角形时应注意以下几点：(1)解直角三角形的公式不可死记，要灵活地运用；(2)解直角三角形求出的元素(不包括直角)共有3个；(3)要准确地应用公式，认真计算，防止出错；(4)解直角三角形时，近似计算的数字，如无特别说明，边长保留四个有效数字，角精确到1′；(5)尽可能避免开方运算；(6)有些图形虽然不是直角三角形，但可添加适当的辅助线，把它们分割成一些直角三角形和矩形，从而把它们转化为直角三角形的问题来解决．【例题精讲】例1：已知：在△A

5、BC中，∠C＝90°，a＝7∠A＝60°，求∠B，b，C．解：∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°b＝a·tanB＝7·tan30°＝，c＝＝．说明：(1)求三角形的边长，应算出最简结果．因本题没有给出精确度，所以最后结果可以保留根式的形式．(2)本题还可以用勾股定理或直角三角形中30°的角所对的直角边等于斜边的一半，来求边C．例2：如图6—13，在△ABC中，∠B＝30°，∠C＝45°，AC＝2，求AB和BC．剖析：因为△ABC不是直角三角形，故不能直接应用直角三角形中的三角函数的定义．通过作BC

6、边上的高，可把原三角形变成两个直角三角形，再利用三角函数的定义，即可求解．解：过点A作AD⊥BC于D．在Rt△ADC中，∵AC＝2，∠C＝45°，sinC＝，∴AD＝AC·sin45°＝2×＝，∴ＤC＝AＤ＝．在Rt△ABD中，∵∠B＝30°，AＤ＝，∴AB＝2AＤ＝2．∵cosB＝，∴BＤ＝AB·cosB＝2×＝．∴BC＝BＤ＋ＤC＝＋．∴AB为2，BC为＋．说明：斜三角形中的边角计算问题，往往通过作高转化为解直角三角形的问题．这也是本章解题的基本思想之一，必须熟练掌握．作高时，要尽量不破坏题中的特殊角

7、．例3:一个等腰三角形的两边长为4和6，求底角的余切值．剖析：在一些与直角三角形联系密切的图形(如等腰三角形、等腰梯形或一般梯形等)中，我们往往根据给出的条件，构造直角三角形，本题则通过作底边上的高，构造出底角所在的直角三角形，从而求出底角的余切值．解：如图6—14，过顶点A作底边BC的垂线，垂足为D．(1)当AB＝AC＝4，BC＝6时，∵AＤ⊥BC，∴BＤ＝ＤC＝BC＝3．∴AＤ＝∴cotB＝．(2)当AB＝AC＝6，BC＝4时，∵AＤ⊥BC，∴BＤ＝ＤC＝2∴AＤ＝．∴cotB＝．综上可知，底角的余切

8、值为或．说明：本题的条件中，已知等腰三角形的两边长为4和6，这里要对4为腰、6为腰两种情况进行讨论．例4:如图6—15，在△ABC中，∠B＝90°．VD、E是AB边上的点，AD＝30，DE＝10，∠A＝θ，∠CDB＝2θ，∠CEB＝4θ，解Rt△ABC．解：∵∠ACD＝∠CDE–∠A＝θ，∠DCE＝∠CEB–∠CDE＝2θ，∴△ADC和△DEC都是等腰三角形．∴AD＝CD＝30，DE＝CE＝10．作EF⊥CD，垂足为F，∴DF