九年级下人教新课标第二十八章解直角三角形知识精讲教学资料

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1、初三数学复习解直角三角形知识精讲人教版【同步教育信息】一.本周教学内容：复习解直角三角形［复习目标］1.掌握直角三角形中锐角三角函数的定义。2.熟记30°，45°，60°角的各三角函数值，会计算含特殊角三角函数的代数式的值。3.能熟练运用勾股定理、直角三角形中两锐角互余及三角函数定义解直角三角形。4.会用解直角三角形的有关知识解简单的实际问题。二.重点、难点：重点是锐角三角函数的定义和解直角三角形，难点是锐角三角函数定义。本单元是三角学的基础知识，是中考内容之一，主要考察三角函数定义，特殊角的三角函数值，同角、余角间的函数关系，解直角

2、三角形在实际问题中的应用。应用题更贴近生活，有可能与其他几何知识，如圆、相似形等综合考查。【典型例题】例1.分析：利用同角、余角的三角函数关系，以及特殊角的三角函数值就可求出。解：例2.在高2米，坡角为30°的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要多少米？（精确到0.1米）分析：楼梯上的台阶无数个，每一层楼梯的高和宽是直角三角形的两条直角边，求每一个直角三角形的边长不太可能，若把每个直角三角形的边长向下，向右延长可以得到许多矩形，而台阶高的和为AC的长，台阶宽的和为BC的长，所以楼梯地毯的长度是BC＋AC，这样就把铺地毯的问题转化成直角三

3、角形中，已知一锐角、一直角边求另一条直角边的问题了。解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2答：地毯的长度至少需要5.5米。例3.如图，在高度为10米的平台CD上测得一高层建筑物AB的顶端A的仰角为60°，底端B的俯角为30°，求高层建筑物的高AB。分析：若对仰角、俯角的概念搞清楚，此题就是两个30°的直角三角形，求边长的问题。解：在Rt△BCD中，∠D＝90°，∠CBD＝30°∴BC＝2CD＝20∵∠ACB＝60°＋30°＝90°，AB⊥DB∴∠CBA＝60°∴∠A＝30°∴AB＝2BC＝40（米）答：高层建筑AB

4、高是40米。例4.数学课上，老师带学生去测量一河宽，如图，学生李红在A处观测到河对岸有一点C，并测得∠CAE＝45°，在距A处30米的B处测的∠CBE＝30°，请你帮李红算出分析：河宽不是线段AC或BC之长，而是C到AE的垂线段的长，过C作CD⊥AE于D，则CD是河宽。图中含有两个直角三角形，一个是45°的直角三角形ACD，一个是30°直角三角形BCD，CD是这两个三角形的公共边，可以沟通这两个三角形，从而得到解。解：过C点作CD⊥AE于D设CD＝x，∵∠CAD＝45°，∠B＝30°∵DB＝DA＋AB答：河宽约为40.98米。例5.如

5、图，A市气象台测得沙尘暴中心在A市正西方向300千米的B处，且以是受影响区域。（1）A市受这次沙尘暴影响吗？为什么？（2）若受影响，会影响多长时间？分析：（1）A市是否受影响取决于A与BC的最近距离是否小于200千米，而最近距离是A到BC的垂线段的长。（2）要确定A市受影响时间，就要确定BC上对应于A市受影响的线段长，以A为圆心，200千米为半径画圆交BC于E、F两点，则受影响的线段长为弦EF。解：（1）过A点作AD⊥BC于D∵∠CBA＝30°，AB＝300∵150＜200，∴A市受这次沙尘影响（2）以A为圆心，200千米为半径画圆交

6、BC于E、F，连结AE例6.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，sinA、sinB是一元二次方程分析：利用根与系数关系，求出两根的和与积，然后运用平方关系建立关于待定字母的方程，考虑△≥0及实际意义，确定字母的值，在此基础上再进一步求解。解：∵∠A＋∠B＝90°，∴sinB＝cosA由根与系数关系，得：<1>式平方得：注意：用锐角的正弦值为根，必须满足根为小于1的正数。例7.如图，正方形ABCD中，E为BC上一点，将正方形折叠，使A点与E点重合，求：（1）△ANE的面积；（2）sin∠ENB。分析：此题的关键之处要将折叠问题转化为数学上

7、的轴对称问题，折痕MN是线段AE的对称轴，∴AN＝NE，∠AEN＝∠EAN。分的比，问题就比较好解决了。解：∵A、E两点关于直线MN对称∴AN＝NE，∠EAN＝∠AEN设EB＝x，AB＝3x∵正方形ABCD，∴DC＝BC＝AB＝3x，CE＝2x在Rt△ENB中，由勾股定理，得：例8.已知：如图，在△ABC中，D是BC中点，∠BAD＝90°，∠DAC＝30°，AB＝16，求BD、AC的长及sinC的值。分析：本题中，△ABC不是直角三角形，但有Rt△ABD，只知道AB一条已知线段，是求不出BD的长。再看题目中的其他条件∠DAC＝30°，

8、BD＝DC，特殊角只有放在直角三角形中，才可得到各边的比例关系，显然要构造直角三角形，那就过中点D作，请考虑一下是过D点作AC的垂线，还是作AD的垂线，原则应与其他已知条件∠BAD＝90°，BD＝DC有联系。解：过D点作