一道轨迹问题的探究 - 松江教育信息网

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1、课题一道轨迹问题的探究松江二中黄继红一、教案设计思考1．教材分析：数学探究是高中数学新课程的重要内容。其主要目的是：为学生引入一种新的学习方式，使学生经历提出概念和结论的过程，体验数学发现、创造的研究过程，形成勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现问题、提出问题和解决问题的能力，提高学生的创新精神和实践能力。教师不但要成为学生进行数学探究的组织者、指导者与合作者，还应成为数学探究课题的创造者，为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料。本课是有关轨迹问题的高三复习课，学生在高二阶段经历过解析几何的学习

2、，基本掌握了求动点轨迹的方法，感受曲线与方程的本质联系，也重点研究过有关圆、椭圆、双曲线、抛物线的概念、标准方程和性质及其应用。作为上海市示范性高中的高三学生，不仅要“夯基础”，而且要“活能力”，要成为建构“知识和方法体系”的主动实践者，也要成为“提出问题和解决问题”的探索者。基于以上分析，我认为：本课应是对高二“曲线与方程”学习的进一步深化，在体验“问题提出和解决”的探究过程中，渗透“求动点轨迹的方法”的复习，感受圆锥曲线定义和方程的统一性，体现“数学双基的继承和发展”的教学理念。2．教案亮点：从一个经典

3、问题——阿波罗尼圆的提出和解决入手，自然地过渡到改变问题的对象或条件，探索动点轨迹的变化，复习求动点轨迹的基本方法；在师生共同讨论中重点完成高二课本P86例4的推广和逆向思考，以及圆锥曲线统一定义的导出和研究，进一步体会“曲线与方程”的本质联系，展示了问题探究的过程和方法。二、教学目标1．知识目标：复习求动点轨迹的方法。2．能力目标：（1）通过对“一道轨迹问题”的探究，经历提出问题和解决问题的过程和方法，感受曲线与方程的本质联系；（2）在提出问题、解决问题和反思的过程中，改善学习方式，提高思维品质。3．情感

4、目标：培养科学探索精神和对立统一的辨证唯物主义观点。三、教学重点、难点：教学重点：曲线与方程的关系。教学难点：提出问题和解决问题的过程。四、教学方法及手段教学方法：探究、讨论式。教学手段：多媒体辅助教学。五、教学过程教学环节问题情景师生活动设计意图引言：这位慈祥而睿智的老人曾经告诉我们：提出问题比解决问题更为重要。让我们牢记他的谆谆教诲，开始本课的探究之旅。以富有震撼力的爱因斯坦的话语引入，激发学生的探究欲望。问题提出问题：已知两定点动点P满足条件，求P点的轨迹。师：请解决问题。生：设，由题意得，化简得。师

5、：有不同意见吗？生：好象方程变形不等价，但是经检验没有产生的增解。师：很好，求轨迹方程时，应注意变形的等价性，在解决最后一步时，别忘了检验。那么，还有问题吗？生：题目还没解完，应将方程配方得，回答轨迹是以为圆心，为半径的圆。师：很好，应注意“轨迹”与“轨迹方程”的区别。以“有不同意见吗”加以提问，激发学生解题反思，通过交流，渗透方程同解变形和认真审题的重要性，复习“方程和曲线”的概念。推广：已知两定点A（－c，0），B（c，0）（c>0），动点P满足条件，求P点的轨迹。简答：当a≠1时，P点的轨迹是以（c，

6、0）为圆心，以

7、

8、为半径的圆；当a=1时，P师：如果改变上述问题的比值为3、4等，那么你们认为轨迹还是圆吗？如果改变为等，那么你们认为轨迹还是圆吗？生：轨迹还是圆。师：那么，你能将原问题推广并解决吗？在学生的讨论下，得到了正确的结论。师：如果改变为坐标平面上的任意两定点，那么轨迹还是圆或直线吗？引导学生研究特殊与一般的关系，提炼问题本质，了解一类轨迹问题，同时渗透适当建立直角坐标系的重要性，以及由方程特征确定判断圆与直线的分类讨论标准。点的轨迹为y轴。生：是的，因为建立不同的直角坐标系，不改变曲线的形状。阿

9、波罗尼圆的简介：由此我们得到一个著名的轨迹问题：阿波罗尼圆。阿波罗尼对圆锥曲线有深刻的研究，其主要成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书。阿波罗尼圆是其研究成果之一。通过这类轨迹的语言概括和阿波罗尼圆的介绍，激发学生学习兴趣，为下面探究作好铺垫。二问题思考问题对象：两定点A和B、动点P条件：目标：求P点的轨迹。请适当改变条件，研究P点轨迹的变化。请独立思考后，小组交流。在小组交流之际，引导学生从常见几何量如：线段长度、图形面积、角的大小、向量的数量积、直线的斜率等方面提出定值改变条件。引导学生归纳“阿波罗尼圆

10、”问题中所涉及的对象、条件和目标。在交流和互评中，将各组问题汇总如下：（1）从线段长度：动点P到两个定点A、B的距离的和、差、积、商、平方和、平方差为常数的轨迹等；（2）从构成图形的面积：动点P与两个定点A、B构成的三角形面积为常数等；（3）从动点P与两个定点A、B的张角大小为定值；向量的数量积为定值；直线与直线的倾斜角关系或斜率关系等。师：大家都能自己出题并解答，真是太棒了！因为动点P到两个定点A、B的距离的积