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1、课题一道轨迹问题的探究松江二中黄继红一、教案设计思考1.教材分析：数学探究是高中数学新课程的重要内容。其主要冃的是：为学生引入一种新的学习方式，使学生经历提出概念和结论的过程，体验数学发现、创造的研究过程，形成勇于质疑和善于反思的习惯，培养学生发现问题、提出问题和解决问题的能力，提高学生的创新精神和实践能力。教师不但要成为学生进行数学探究的组织者、指导者与合作者，还应成为数学探究课题的创造者，为学生提供较为丰富的数学探究课题的案例和背景材料。本课是有关轨迹问题的高三复习课，学生在高二阶段经历过解析几何的学
2、习，基本掌握了求动点轨迹的方法，感受曲线与方程的本质联系，也重点研究过有关圆、椭圆、双曲线、抛物线的概念、标准方程和性质及其应用。作为上海市示范性高中的高三学生，不仅要“夯基础”，而且要“活能力”，要成为建构“知识和方法体系”的主动实践者，也要成为“提出问题和解决问题”的探索者。基于以上分析，我认为：本课应是对高二“曲线与方程”学习的进一步深化，在体验“问题提岀和解决”的探究过程中，渗透“求动点轨迹的方法”的复习，感受圆锥曲线定义和方程的统一性，体现“数学双基的继承和发展”的教学理念。2.教案亮点：从一个
3、经典问题一一阿波罗尼圆的提出和解决入手，自然地过渡到改变问题的对象或条件，探索动点轨迹的变化，复习求动点轨迹的基本方法；在师生共同讨论中重点完成高二课本P86例4的推广和逆向思考，以及圆锥曲线统一定义的导出和研究，进一步体会“曲线与方程”的本质联系，展示了问题探究的过程和方法。二、教学目标1.知识目标：复习求动点轨迹的方法。2.能力目标：(1)通过对“一道轨迹问题”的探究，经历提出问题和解决问题的过程和方法，感受曲线与方程的本质联系；(2)在提出问题、解决问题和反思的过程中，改善学习方式，提高思维品质。3
4、.情感目标：培养科学探索精神和对立统一的辨证唯物主义观点。三、教学重点、难点：教学重点：曲线与方程的关系。教学难点：提出问题和解决问题的过程。四、教学方法及手段教学方法：探究、讨论式。教学手段：多媒体辅助教学。五、教学过程教学环节师生活动设计意图以富有震撼力的爱因斯坦的话语引入，激发学生的探究欲望。这位慈祥而睿智的老人曾经告诉我们：提出问题比解决问题更为重要。让我们牢记他的谆谆教诲，开始本课的探究之旅。问题提出问题：已嚨点A(-1,0),B(l,0),动点P满圖牛刚=2,求P，舗働迹。师：请解决问题°生：
5、设P(x,y),由题意得0+1)2+h=2,化简得J(7+b3x2+3y2-10x+3=0o师：有不同意见吗？生：好象方程变形不等价，但是经检验没有产生x=lyy=0的增解。师：很好，求轨迹方程时，应注意变形的等价性，在解决最后一步时，别忘了检验。那么，还有问题吗？生：题目还没解完，应将方程配方得(x--)2+r=—,回答轨迹是以3954(―,0)为圆心，一为半径的圆。师：很好，应注意“轨迹”与“轨迹方程”的区别。以“有不同意见吗”加以提问，激发学生解题反思，通过交流,渗透方程同解变形和认真审题的重要性，
6、复习“方程和曲线”的概念。引导学生研究特殊与一般的关系，提炼问题本质，了解一类轨迹问题，同时渗透适当建立直角坐标系的重要性，以及由方程特征确定判断圆与直线的分类讨论标准。推广：已知两定点4(-c,0),B(c,0)(c>0),动点P满足条件色Ld«>0)，求P点的轨迹。PB简答：当gHI时，P点的轨迹是以a2+1、…、,,2ac(—C,0)为圆心，以
7、—
8、ci~—Cl~_1为半径的圆；当d=l时，P点的轨迹为y轴。师：如果改变上述问题的比值为3、4等，那么你们认为轨迹还是圆吗？如果改变A(—l,0)
9、,B(l,0)为A(-2,0),B(2,0)等，那么你们认为轨迹还是圆吗？生：轨迹还是圆。师：那么，你能将原问题推广并解决吗？在学生的讨论下，得到了正确的结论。师：如果改变A(-l,0),B(l,0)为坐标平而上的任意两定点，那么轨迹还是圆或直线吗？生：是的，因为建立不同的直角坐标系，不改变曲线的形状。阿波罗尼圆的简介：阿戎岁尼圖平面内到两定点的距离之比为不等于1的正数常数的点的轨迹是圆,这个圆就是阿波罗尼(希腊,ApolloniusofPerga,260〜190B.C.)圆・由此我们得到一个著名的轨迹问
10、题：阿波罗尼圆。阿波罗尼对圆锥曲线有深刻的研究，其主要成果集中在他的代表作《圆锥曲线》一书。阿波罗尼圆是其研究成果之一O通过这类轨迹的语言概括和阿波罗尼圆的介绍，激发学生学习兴趣，为下面探究作好铺垫。问题思考对象：两定点A和B、动点P条件：冲
11、与之比为定值目标：求P点的轨迹。请适当改变条件，硏究P点轨迹的变化。请独立思考后，小组交流。在小组交流之际，引导学生从常见儿何量如：线段长度、图形面积、角的大小、向量的数量积、直线的斜率
