重难点3-1 三角函数中ω的取值范围问题（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx

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重难点3-1三角函数中ω的取值范围问题三角函数是高考的必考考点，其中求ω取值范围问题是热门考点。主要结合函数的单调性、对称性、极值与最值、零点等考查，需要考生能够熟练应用三角函数的基本性质和图象。根据近几年新高考的考查情况，多在单选题与多选题中出现，难度较大。【题型1根据图象平移求ω取值范围】满分技巧结合图象平移求ω的取值范围的常见类型及解题思路1、平移后与原图象重合思路1：平移长度即为原函数周期的整倍数；思路2：平移前的函数=平移后的函数.2、平移后与新图象重合：平移后的函数=新的函数.3、平移后的函数与原图象关于轴对称：平移后的函数为偶函数；4、平移后的函数与原函数关于轴对称：平移前的函数=平移后的函数；5、平移后过定点：将定点坐标代入平移后的函数中。【例1】（2024·云南楚雄·楚雄彝族自治州民族中学校考一模）将函数（）的图象向右平移个单位长度后与函数的图象重合，则的最小值为（）A．1B．2C．4D．5【答案】D【解析】由题意可得，∴，，解得，，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 又，∴当时，取得最小值为5．故选：D.【变式1-1】（2024·全国·高三专题练习）将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，所得的两个图象对称轴重合，则的最小值为（）A．3B．4C．5D．6【答案】A【解析】将函数的图象分别向左、向右各平移个单位长度后，得到，.由两图象的对称轴重合，可得，所以.又，故的最小值为.故选：A.【变式1-2】（2023·河南南阳·南阳中学校考三模）定义运算：，将函数的图像向左平移个单位，所得图像对应的函数为偶函数，则的最小正值是．【答案】【解析】，向左平移个单位后得到，因为此时函数是偶函数，所以，则，所以当时，取得最小正值，此时.【变式1-3】（2023·全国·高三专题练习）将函数的图象向右平移个单位长度后，所得到的图象与原图象关于x轴对称，则的最小值为（）A．B．3C．6D．9【答案】B学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】将函数的图象向右平移个单位长度后，得到函数的图象，所以该图像与的图象关于轴对称，即恒成立，则，即，当时，的最小正值为3，故选：B．【变式1-4】（2023·江西宜春·高二宜丰中学校考阶段练习）已知函数，将的图象向右平移个单位得到函数的图象，点，，是与图象的连续相邻的三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由条件可得，，作出两个函数图象，如图：  ，，为连续三交点，(不妨设在轴下方)，为的中点，.由对称性可得是以为顶角的等腰三角形，，由，整理得，得，则，所以，要使为钝角三角形，只需即可，由，所以，故选：D.【题型2根据单调性求ω取值范围】满分技巧已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0)，在[x1,x2]上单调递增（或递减），求ω的取值范围第一步：根据题意可知区间[x1,x2]的长度不大于该函数最小正周期的一半，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 即x2−x1≤12T=πω，求得0<ω≤πx2−x1.第二步：以单调递增为例，利用ωx1+φ,ωx2+φ⊆[−π2+2kπ,π2+2kπ]，解得ω的范围；第三步：结合第一步求出的ω的范围对k进行赋值，从而求出ω（不含参数）的取值范围.【例2】（2024·云南保山·高三统考期末）已知（）在区间上单调递增，则的取值范围为.【答案】【解析】对于，令，，则，因为，所以，结合正弦函数的单调性可知：又，所以.【变式2-1】（2023·陕西商洛·镇安中学校考模拟预测）若函数在区间上单调递减，则正数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据函数在区间上单调递减，得，可得，又由，必有，可得.故选：A【变式2-2】（2023·陕西汉中·高三西乡县第一中学校联考期中）已知，函数在单调递减，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为在上单调递减，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以，即，又，所以，令，因为，，所以，所以问题转化为在（）上单调递减，所以问题转化为在（）上单调递减，又，，单调递减区间为，，所以，所以，解得.故选：D.【变式2-3】（2023·四川·高三校联考阶段练习）已知函数（）在区间上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意知，令，，解得，，所以的单调递增区间为，，又函数在区间上单调递增，所以，，解得，，，所以，，即的取值范围是，故选：B．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式2-4】（2024·广东肇庆·统考模拟预测）（多选）已知，函数，，若在区间上单调递增，则的可能取值为（）A．B．C．2D．4【答案】BC【解析】因为，当时，，函数在上递减，在上递增，故A不可以；当时，，因为，，则在上递增，故B可以；当时，，因为，函数，单调递增，所以在上递增，故C可以；当时，，因为，函数，不单调，故D不可以.故选：BC【题型3根据对称轴求ω取值范围】满分技巧三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T2，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为T4，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值。【例3】（2023·安徽六安·高三六安一中校考阶段练习）已知函数在区间恰有两条对称轴，则的取值范围（）A．B．C．D．【答案】B学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】因为，所以，因为函数在区间恰有两条对称轴，所以，解得，故选：B【变式3-1】（2024·云南德宏·高三统考期末）已知函数在区间上恰有两条对称轴，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，因为函数在区间恰有两条对称轴，所以，解得，故选：A【变式3-2】（2023·湖北黄冈·高三校考期中）若函数在区间上恰有唯一对称轴，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，因为，，所以，因为区间上恰有唯一对称轴，故，解得，故选：D【变式3-3】（2023·广西·模拟预测）若函数（，）满足，且，则的最小值为（）A．1B．2C．3D．4学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】D【解析】由题意，在（，）中，由于，即，又，所以，所以，由可知是函数图像的一条对称轴，所以，，即，，所以的最小值为4，故选：D.【变式3-4】（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数的图象在上有且仅有3条对称轴，则实数的取值范围为.【答案】【解析】，由，得，因为函数的图象在上有且仅有3条对称轴，所以，解得，故实数的取值范围为.【题型4根据对称中心求ω取值范围】满分技巧三角函数两条相邻对称轴或两个相邻对称中心之间的“水平间隔”为T2，相邻的对称轴和对称中心之间的“水平间隔”为T4，也就是说，我们可以根据三角函数的对称性来研究其周期性，进而可以研究ω的取值。【例4】（2022·四川绵阳·统考模拟预测）若存在实数，使得函数(>0)的图象的一个对称中心为(，0)，则ω的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于函数的图象的一个对称中心为，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以，所以，由于，则，因为，所以可得：，故选：C【变式4-1】（2023·全国·高三专题练习）已知函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，且两个相邻对称中心之间的距离大于，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，因为函数的图象的两个相邻对称中心之间的距离大于，所以，函数的最小正周期满足，即，则，由可得，因为函数的图象的一个对称中心的横坐标在区间内，则，可得，又因为且存在，则，解得，因为，则，所以，，故选：B.【变式4-2】（2022·全国·高三专题练习）已知函数在内不存在对称中心，则的取值范围为（）．A．B．C．D．【答案】D学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】因为在内不存在对称中心，故，解得，又，，故，解得，又，所以，或，，故的取值范围为，故选：D.【变式4-3】（2023·四川·校考模拟预测）已知函数的图象在上恰有一条对称轴和一个对称中心，则实数的取值范围为.【答案】【解析】,当时，为常数，不合题意，当，时，，要使在上恰有一条对称轴和一个对称中心，则，即，当，时，，要使在上恰有一条对称轴和一个对称中心，则，即.【变式4-4】（2022·江苏南京·高三江浦高级中学校联考阶段练习）将函数的图象向右平移个周期后，所得图象恰有个对称中心在区间内，则的取值范围为.【答案】学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】函数的周期为，则，则将函数的图象向右平移个周期后得到，因为，所以，因为所得图象恰有个对称中心在区间内，所以，解得，所以的取值范围为.【题型5根据最值求ω取值范围】满分技巧根据三角函数的最值或值域求解参数问题是，要灵活运用整体的思想，将问题转化在基本函数、、上，借助函数图象性质来处理会更加明了。注意对正负的讨论。【例5】（2024·浙江温州·统考一模）若函数，的值域为，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据题意可知若，则可得；显然当时，可得，由的值域为，利用三角函数图像性质可得，解得，即的取值范围是，故选：D【变式5-1】（2024·广东梅州·高三广东梅县东山中学校考期末）已知函数在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】因为得，则，所以由题意可得，，解得.故选：D【变式5-2】（2024·广东深圳·高三统考期末）若函数在有最小值，没有最大值，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】当时，，由函数在有最小值，没有最大值，得，解得，所以的取值范围是，故选：D【变式5-3】（2023·山东·高三校联考阶段练习）已知函数在区间内不存在最值，且在区间上，满足恒成立，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，则内不存在最值，即，则，，则或，由，则中恒成立，只需且，或；所以的取值范围是，故选：D【变式5-4】（2023·安徽·高三池州市第一中学校联考阶段练习）（多选）将函数的图象向左平移个单位可得到函数的图象，若在区间内有最值，则实数学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 的取值范围可能为（）A．B．C．D．【答案】ACD【解析】根据题意，得到，由，解得，可得，解得，因，所以当时，；当时，；当时，．故选：ACD．【题型6根据极值求ω取值范围】【例6】（2024·全国·模拟预测）若函数在区间上有且仅有一个极值点，则的取值范围为.【答案】【解析】若函数在区间上有且仅有一个极值点，即数在区间上有且仅有一个最值点，则，解得，故函数的最值点为.不妨设在区间上仅有的一个最值点为，则，即，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 则，得，解得，所以.当时，；当时，；当时，.综上，的取值范围为.【变式6-1】（2023·江苏连云港·高三统考期中）若函数在上存在唯一的极值点，则正数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，，则，又，所以又在上存在唯一的极值点，则，得到，或，得到，又当时，，无解，故选：B.【变式6-2】（2023·上海奉贤·统考一模）设函数在区间上恰有三个极值点，则学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 的取值范围为．【答案】【解析】由已知得.要使函数在区间上恰有三个极值点，由图象可得，解得，即.【变式6-3】（2023·陕西西安·高三校联考阶段练习）已知函数在上至少有3个极值点，则实数的取值范围为．【答案】【解析】由题意知，,由，，得，因为函数在上至少有3个极值点，所以，解得，即实数的取值范围为.【变式6-4】（2023·吉林·统考一模）已知函数在区间上有且仅有4个极大值点，则正实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，结合题设，令，故在有且仅有4个极大值点，根据正弦函数图象及极值点定义知：，则.故选：C学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【题型7根据零点求ω取值范围】满分技巧已知三角函数的零点个数问题求ω的取值范围对于区间长度为定值的动区间，若区间上至少含有个零点，需要确定含有个零点的区间长度，一般和周期相关，若在在区间至多含有个零点，需要确定包含个零点的区间长度的最小值．【例7】（2023·江苏淮安·高三马坝高中校考期中）已知函数（）在上恰有2个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为：，所以：，令：，则得：.因为：在上有个零点，所以：，解得：.故的取值范围为：，故B项正确，故选：B.【变式7-1】（2024·内蒙古鄂尔多斯·高三统考期末）已知函数，若方程在区间上恰有3个实根，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，由，即，在区间上恰有3个实根，则，解得，故选：D【变式7-2】（2024·广东汕头·高三统考期末）已知函数在区间上恰有三个零点，则的取值范围是.【答案】学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】因为，，则，又因为函数在区间上恰有三个零点，则，解得，所以的取值范围为.【变式7-3】（2024·全国·高三开学考试）设函数，且函数在恰好有5个零点，则正实数的取值范围是【答案】【解析】由题意得，令，得，因为函数在恰好有5个零点，所以函数在上恰有5条对称轴．当时，，令，则在上恰有5条对称轴，如图：所以，解得．【变式7-4】（2022·河南·高三校联考阶段练习）已知函数，，且在上恰有100个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为函数，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，则，所以，由，可得，．则，．所以，解之得，所以的取值范围是，故选：C【题型8结合函数性质综合考查】【例8】（2024·全国·模拟预测）将函数的图象先向右平移个单位长度，再把所得函数图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象．若函数在上没有零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意，函数的图象先向右平移个单位长度,得到的图象，再把所得函数图象的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象．因为在上没有零点，所以，解得，．因为，所以时，可得；，可得，故或.故选:C．【变式8-1】（2024·江西上饶·高三校考阶段练习）已知函数在区间上单调递增，且在区间上只取得一次最大值，则的取值范围为（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】D【解析】因为函数在上单调递增，由，，所以且，解得且，所以；又因为在区间上只取得一次最大值，即时，；所以，解得；综上，，即的取值范围是，故选：D.【变式8-2】（2024·山西晋城·统考一模）若函数在上至少有两个极大值点和两个零点，则的取值范围为．【答案】【解析】令，，得的极大值点为，，则存在整数，使得，解得．因为函数在两个相邻的极大值点之间有两个零点，所以．当时，．当时，．当时，．又，所以的取值范围为．【变式8-3】（2024·辽宁大连·高三统考期末）已知函数满足下列条件：①学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 对任意恒成立；②在区间上是单调函数；③经过点的任意一条直线与函数图像都有交点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】方法一：由函数可知函数周期是，因为①对任意恒成，所以函数的一条对称轴是，又因为在区间是单调函数，所以，所以，所以为0或1.当时，；当时，，由已知得，因为经过点的任意一条直线与函数图像都有交点，所以，所以.因为①对任意恒成立，所以.所以，由或，得或，所以或.方法二：由①可知：，即（*）由②可知：，因为函数在上是单调函数，所以，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，将（*）带入化简可得：，所以，由已知得，因为经过点的任意一条直线与函数图像都有交点，所以，所以.因为①对任意恒成立，所以.所以，由或，得或，所以或.（建议用时：60分钟）1．（2023·江苏盐城·高三统考期中）若函数在上单调，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，因为在单调，所以，∴，故选：D.2．（2023·陕西汉中·高三校联考期中）已知，函数在单调递减，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】，∵在单调递减，∴，即，又，∴，令，∵，∴，∴问题转化为在上单调递减，∴问题转化为在上单调递减，又，单调递减区间为，∴，∴，解得故选：D.3．（2024·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第六中学校校联考期末）设函数，已知方程在上有且仅有2个根，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可知，的图象与直线在上仅有2个交点，由，得，所以，解得：，故选：C4．（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨市第十三中学校校考期中）若函数在区间上既有最大值，又有最小值，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，当时，，因为在区间上既有最大值，又有最小值，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以，解得，所以的取值范围为.故选：A.5．（2023·辽宁沈阳·东北育才学校校考模拟预测）已知函数．若在区间内没有零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】,若，因为，所以，因为在区间内没有零点，所以，解得；若，因为，所以，因为在区间内没有零点，所以，解得；综上，，故选:D.6．（2023·福建福州·高三校联考期中）设函数在区间恰有三个极值点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点，根据，图象：可得：，解得：，即，故选：B7．（2024·全国·模拟预测）已知函数在区间上单调，且在区间上有5个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】D学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】因为，所以函数的最小正周期．因为在区间上单调，所以，可得；因为在区间上有5个零点，所以，即，可得；综上，．故选：D．8．（2023·广东广州·高三广东广雅中学校考阶段练习）设函数在区间内有零点，无极值点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，，所以，因为函数在区间内有零点，无极值点，故，解得，则，，要想满足要求，则或，解得，或，故的取值范围是.故选：D9．（2023·湖北·高三襄阳五中校联考期中）已知，函数在上单调递减，则实数的取值范围是．【答案】【解析】依题意，，因为，且函数在上单调递减，所以当时，，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以，解得：，，因为，则需要满足，且，，所以，，即，所以.10．（2024·广东茂名·统考一模）函数（）在区间上有且只有两个零点，则的取值范围是.【答案】由于在区间上有且只有两个零点，所以，即，由得，，，∵，∴，∴或，解得或，所以的取值范围是.11．（2023·山西运城·高三统考期中）已知函数，若在区间内没有最值，则的取值范围是.【答案】【解析】因为，函数的单调区间为，由，而，得，因此函数在区间上单调，因为函数在区间内没有最值，则函数在区间内单调，于是，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 则，解得，由，且，解得，又，从而或，当时，得，又，即有，当时，得，所以的取值范围是.12．（2024·全国·模拟预测）若函数在内恰好存在两个极值点，且直线与曲线在内恰有两个交点，则的取值范围是．【答案】【解析】因为所以在内恰好存在两个极值点、两个零点．令，则在内恰好存在两个极值点、两个零点．得，即，即的取值范围是．13．（2023·河南·高三南阳中学校联考阶段练习）若函数在处取得最大值，且的图象在上有4个对称中心，则的取值范围为.【答案】【解析】依题知，所以，解得，所以，因为，所以当时，，依题知，解得.14．（2023·贵州铜仁·统考二模）若函数在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则的取值范围为．【答案】学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】由题意，函数，因为，可得，要使得函数在区间上仅有一条对称轴及一个对称中心，则满足，解得，所以的取值范围为．15．（2024·黑龙江大庆·高三校考阶段练习）若函数在有且仅有3个极值点，2个零点，则的取值范围【答案】【解析】在上，则在有且仅有3个极值点，2个零点，由正弦型函数的图象知：，则.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司