热点3-2 三角函数的图象与性质（10题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx

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热点3-2三角函数的图象与性质三角函数的图象与性质是高考的热点，函数的图象变换以及三角函数的周期性、对称性、单调性之间逻辑关系则是重心。随着新高考改革的推进，更加注重对以周期性为核心的三大性质之间的逻辑关系的考查，要求考生能用几何直观和代数运算来研究三角函数。高考中的相关试题多以选择题、填空题的形式考查，难度中等或偏下。【题型1三角函数的识图问题】满分技巧图象辨识题的主要解题思想是“对比选项，找寻差异，排除筛选”（1）求函数定义域（若各选项定义域相同，则无需求解）；（2）判断奇偶性（若各选项奇偶性相同，则无需判断）；（3）找特殊值：①对比各选项，计算横纵坐标标记的数值；②对比各选项，函数值符号的差别，自主取值（必要时可取极限判断符号）；（4）判断单调性：可取特殊值判断单调性.【例1】（2024·湖南长沙·统考一模）下图是函数的部分图象，则该函数的解析式可以是（）A．B．C．D．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】C【解析】由图可得：，即，即，观察各选项可知，本题考虑即可，则，把点代入中，可得：，故，即，所以，故选：C.【变式1-1】（2024·天津宁河·高三统考期末）函数在区间上的图象大致是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，，，所以，图像关于原点对称，故选项A和B错误，又，，，所以选项C错误，选项D正确，故选：D.【变式1-2】（2024·陕西宝鸡·统考一模）函数的部分图像大致为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于函数的定义域为，故可排除ABD，故选：C学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式1-3】（2024·河北廊坊·高三文安县第一中学校联考期末）现有四个函数：①；②；③；④的图象（部分）如图，则按照从左到如图像对应的函数序号正确的一组是（）A．①③②④B．①④③②C．③①②④D．③①④②【答案】A【解析】设，定义域为R，满足，即为偶函数，对应的图象为图，设，定义域为R，满足，即为奇函数，且当时，，对应的图象为图；设，定义域为R，满足，为奇函数，且零点为，对应的图象为图；设，定义域为R，满足，为奇函数，且零点为0和，对应的图象为图4.故选：A.【变式1-4】（2023·福建泉州·高三校考阶段练习）函数的图象大致为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】解法一：因为，，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以为奇函数，其图象关于原点对称，排除A，D；当时，，，，故，排除C，故选B．解法二：当时，，排除A，C；又当时，，，，则，排除D，故选：B．【题型2由三角函数的图象求解析式】满分技巧已知的部分图象求其解析式时，比较容易看图得出，困难的是求待定系数和，常用如下两种方法：（1）由即可求出；确定时，若能求出离原点最近的右侧图象上升（或下降）的“零点”横坐标，则令（或），即可求出；（2）代入点的坐标，利用一些已知点（最高点、最低点或“零点”）坐标代入解析式，再结合图形解出和，若对，的符号或对的范围有要求，可用诱导公式变换使其符合要求。【例2】（2023·全国·高三校联考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由图可知，点在图象上，所以，则，又知点在的增区间上，所以；由五点作图法可知，，解得，所以，则，故选：D．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式2-1】（2024·四川攀枝花·统考二模）函数的部分图象如图所示，则将的图象向右平移个单位长度后，得到的函数图象解析式为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由图可得，又，故，，故，则，又，故，，即，，故，，又，故，则，将的图象向右平移个单位长度后，可得，故选：A.【变式2-2】（2024·广东广州·华南师大附中校考一模）函数的部分图像如图所示，则，的值分别是（）A．2，B．2，C．2，D．4，【答案】B【解析】设的周期为，则由图像知，所以，则，因为在处取得最大值，所以，得，因为，所以，故选：B学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式2-3】（2024·辽宁沈阳·高三沈阳实验中学校联考期末）函数的部分图象如图，则（）A．，B．，C．，D．，【答案】A【解析】由图象可得，故，因为，故或，将代入解析式得，即，由图象可知2为函数在原点右边的第一个最大值点，故，当时，，解得，满足要求，当时，，解得，不合要求，舍去，故选：A【变式2-4】（2024·河南信阳·统考二模）（多选）已知函数的图象如图所示，，是直线与曲线的两个交点，且，则下列选项正确的是（）A．的值为3B．的值为2C．的值可以为D．的值可以为【答案】AD【解析】由函数的图象可知,设，由可得，令，即，结合图像可得，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 则，即，故A正确，B错误；将代入，即有，且为函数下降零点，所以，故，当时，，不符合题意，当时，，符合题意，故C错误，D正确；故选：AD.【题型3三角函数的图象变换问题】满分技巧函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k(A>0，ω>0)中，参数A，ω，φ，k的变化引起图象的变换：（1）A的变化引起图象中振幅的变换，即纵向伸缩变换；（2）ω的变化引起周期的变换，即横向伸缩变换；（3）φ的变化引起左右平移变换，k的变化引起上下平移变换．图象平移遵循的规律为：“左加右减，上加下减”．【注意】（1）平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值；（2）余弦型、正切型函数的图象变换过程与正弦型函数的图象变换过程相同。【例3】（2023·湖南衡阳·衡阳市八中校考一模）为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点的（）A．横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变B．横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长到原来的2倍，横坐标不变D．纵坐标缩短到原来的倍，横坐标不变【答案】B【解析】因为把函数的图象上所有的点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，就能得到函数的图象，故选：B【变式3-1】（2024·广东广州·高三执信中学校考阶段练习）将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象，则的最小值为（）A．B．C．D．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】B【解析】依题意，函数，把的图象向右平移个单位长度，得的图象，而，于是，而，则，，所以的最小值为.故选：B【变式3-2】（2024·福建·高三校联考期末）已知函数，要得到函数的图象，只需将的图象（）A．向左平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向右平移个单位长度【答案】D【解析】，，故将的图象向右平移个单位长度可得，即为的图象，故选：C【变式3-3】（2024·天津和平·高三统考期末）已知函数，函数图象的一条对称轴与一个对称中心的最小距离为，将图象上所有的点向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，，则，所以，则将图象上所有的点向左平移个单位长度变为，再将所得图象上所有点的横坐标缩短到原来的（纵坐标不变），得到的图象所表示的函数为，故选：A.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式3-4】（2023·湖南长沙·高三长郡中学校考阶段练习）要得到函数的图象，可以将函数的图象（）A．向右平移个单位长度B．向左平移个单位长度C．向右平移个单位长度D．向左平移个单位长度【答案】B【解析】因为，，所以将的图象向左平移个单位可得到的图象，故选：B.【题型4三角函数的单调性及应用】满分技巧1、求三角函数单调区间的2种方法（1）代换法：就是将比较复杂的三角函数含自变量的代数式整体当作一个角u(或t)，利用基本三角函数的单调性列不等式求解；（2）图象法：画出三角函数的正、余弦和正切曲线，结合图象求它的单调区间求解三角函数的单调区间时，若x的系数为负，应先化为正，同时切莫忽视函数自身的定义域．2、已知单调区间求参数范围的3种方法（1）子集法：求出原函数的相应单调区间，由已知区间是所求某区间的子集，列不等式(组)求解；（2）反子集法：由所给区间求出整体角的范围，由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集，列不等式(组)求解；（3）周期性法：由所给区间的两个端点到其相应对称中心的距离不超过周期列不等式(组)求解。【例4】（2023·北京海淀·高三北大附中校考阶段练习）已知函数，则（）A．在单调递减B．在单调递增C．在单调递减D．在单调递增【答案】C学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】因为，对于选项A：因为，则，且在内不单调，所以在内不单调，故A错误；对于选项B：因为，则，且在内不单调，所以在内不单调，故B错误；对于选项C：因为，则，且在内单调递减，所以在内单调递减，故C正确；对于选项D：因为，则，且在内单调递减，所以在内单调递减，故D错误；故选：C.【变式4-1】（2024·浙江温州·温州中学校考一模）已知函数，其中.若在区间上单调递增，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意得，函数的增区间为，且，解得.由题意可知：.于是，解得.又，于是，故选：A.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式4-2】（2024·山东威海·高三统考期末）已知函数在上是增函数，则的取值范围是.【答案】【解析】根据题意，，解得，又，则；当，，由题可得，解得；综上所述，的取值范围是.【变式4-3】（2024·广东·高三广东实验中学校联考期末）已知函数的最小正周期为，且在上单调递减，在上单调递增，则实数的取值范围是.【答案】【解析】由的最小正周期为，得，则，因当时，，此时函数单调递减，即在上单调递减；当时，，此时函数单调递增，即在上单调递增.由题知在上单调递减，在上单调递增，故须使，解得.【变式4-4】（2024·湖南邵阳·统考一模）已知函数在上单调递增，在学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 上单调递减，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，解得，的单调增区间为.在上单调递增，，.由，解得，的单调减区间为，又函数在上单调递减，，.综上，，即实数的取值范围为，故选：C【题型5三角函数的周期性及应用】满分技巧周期的计算公式：函数的周期为，函数的周期为求解.【例5】（2023·河南周口·高三校联考阶段练习）下列函数中，以为周期的函数是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】对于A，因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故选项A错误；对于B，因为函数的最小正周期为，所以函数的最小正周期为，故选项B错误；对于C，因为函数的最小正周期为，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以根据图象变换可知函数最小正周期为，所以也是它的一个周期，故选项C正确；对于D，作出函数的图象：根据图象可知该函数不是周期函数，故选项D错误，故选：C．【变式5-1】（2023·重庆·重庆市石柱中学校校联考一模）函数的最小正周期为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为.所以，函数的最小正周期为：，故选：B【变式5-2】（2023·湖北荆州·高三沙市中学校考阶段练习）函数的最小正周期为.【答案】【解析】由诱导公式可知，，当时，与不恒相等，故的最小正周期为.【变式5-3】（2024·广东汕头·金山中学校考模拟预测）“的最小正周期为”是“”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当的最小正周期为时，有，即充分性不成立；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 当时，的最小正周期为，即必要性成立；所以“的最小正周期为”是“”的必要不充分条件，故选：B.【变式5-4】（2024·山东德州·高三统考期末）设函数在的图象大致如图，则的最小正周期为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由函数的图象，函数的最小正周期且，可排除A，D；又由，即，若选B，则，此时，此时不为整数，排除B项；若选C，则，此时，此时，排除C项，故选：C.【题型6三角函数的奇偶性及应用】满分技巧与三角函数奇偶性相关的结论三角函数中，判断奇偶性的前提是定义域关于原点对称，奇函数一般可化为y＝Asinωx或y＝Atanωx的形式，而偶函数一般可化为y＝Acosωx＋b的形式．常见的结论有：（1）若y＝Asin(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．（2）若y＝Acos(ωx＋φ)为偶函数，则有φ＝kπ(k∈Z)；若为奇函数，则有φ＝kπ＋(k∈Z)．（3）若y＝Atan(ωx＋φ)为奇函数，则有φ＝kπ(k∈Z)．【例6】（2023·陕西西安·统考一模）已知函数，则“”是“为奇函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】C【解析】由题意可知：的定义域为，若，可得，若为偶数，则为奇函数；若为奇数，则为奇函数；即充分性成立；若为奇函数，则，即必要性成立；综上所述：“”是“为奇函数”的充要条件，故选：C.【变式6-1】（2024·河南·模拟预测）已知函数，则“，”是“为偶函数”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】函数，当时，，为偶函数，所以充分性成立；为偶函数时，，解得，不能得到，所以必要性不成立.故“，”是“为偶函数”的充分不必要条件.故选：A【变式6-2】（2024·广东广州·广州六中校考三模）若函数为奇函数，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】若0在定义域内，由时，得，；若0不在定义域内，由时，无意义，得．综上，，故选：C．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式6-3】（2024·河南周口·高三统考阶段练习）已知函数为偶函数，则（）A．－2B．－1C．0D．2【答案】A【解析】由且，由，因为该函数是偶函数，所以定义域关于原点对称，因此有，即，定义域为，因为，所以该函数是偶函数，符合题意，故选：A【变式6-4】（2023·广东广州·高三统考阶段练习）若为奇函数，则实数（）A．B．C．D．【答案】D【解析】对于函数，有，解得，所以，函数的定义域为，因为函数为奇函数，则，即对任意的恒成立，所以，，所以，，解得，，故选：D.【变式6-5】（2023·北京海淀·高三专题练习）函数，则（）A．若，则为奇函数B．若，则为偶函数C．若，则为偶函数D．若，则为奇函数【答案】B【解析】的定义域为，对A：若，，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数；对B：若，，，故为偶函数，B正确；对C：若，，，故不是偶函数，故C错误；对D：若，，若为奇函数，则，而不恒成立，故不是奇函数；故选：B【题型7三角函数的对称性及应用】满分技巧三角函数对称性问题的2种求解方法1、定义法：正(余)弦函数的对称轴是过函数的最高点或最低点且垂直于x轴的直线，对称中心是图象与x轴的交点，即函数的零点；2、公式法：（1）函数y＝Asin(ωx＋φ)的对称轴为x＝－＋，对称中心为；（2）函数y＝Acos(ωx＋φ)的对称轴为x＝－，对称中心为；（3）函数y＝Atan(ωx＋φ)的对称中心为.上述k∈Z【例7】（2024·重庆·高三统考期末）（多选）下列函数中，其图象关于点对称的是（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】对于A，当时，，A不是；对于B，当时，，B是；对于C，当时，，C是；对于D，当时，，正切值不存在，D是.故选：BCD【变式7-1】（2024·山东菏泽·高三山东省鄄城县第一中学校考阶段练习）“函数的图象关于学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 对称”是“，”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】当函数的图象关于对称时，有，，得，，易知，所以“函数的图象关于对称”是“，”的必要不充分条件．故选：B．【变式7-2】（2024·山东青岛·高三青岛二中校考期末）已知函数的图像关于原点中心对称，则的最小值为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】函数的图像关于原点中心对称,则，解得，因为，当时，取得最小值，故选：B【变式7-3】（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知是函数的一条对称轴，且，则（）A．B．C．或D．或【答案】B【解析】由是函数的一条对称轴，知，∵，，，，，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 又，，，.故选：B.【变式7-4】（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）若函数的图象在内有且仅有两条对称轴，一个对称中心，则实数的最大值是．【答案】【解析】由题意，得，令，解得，令，得；令，解得，令，得．根据题意，得，解得，所以实数的最大值是．【题型8三角函数的最值问题】满分技巧三角函数值域或最值的3种求法1、直接法：形如y＝asinx＋k或y＝acosx＋k的三角函数，直接利用sinx，cosx的值域求出；2、化一法：形如y＝asinx＋bcosx＋k的三角函数，化为y＝Asin(ωx＋φ)＋k的形式，确定ωx＋φ的范围，根据正弦函数单调性写出函数的值域(最值)；3、换元法：（1）形如y＝asin2x＋bsinx＋k的三角函数，可先设sinx＝t，化为关于t的二次函数求值域(最值)；（2）形如y＝asinxcosx＋b(sinx±cosx)＋c的三角函数，可先设t＝sinx±cosx，化为关于t的二次函数求值域(最值)学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【例8】（2022·河南·高三校联考专题练习）函数的最小值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】依题意，，故函数的一个周期为，当时，，，此时，，；当时，，此时，故函数的最小值为，故选：D．【变式8-1】（2024·江苏苏州·高三统考期末）已知函数的最小正周期为，则在区间上的最大值为（）A．B．1C．D．2【答案】C【解析】由题意，解得，所以，当时，，所以在区间上的最大值为，当且仅当时等号成立，故选：C.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式8-2】（2024·广东广州·广东实验中学校考模拟预测）（多选）对于下列四种说法，其中正确的是（）A．的最小值为4B．的最小值为1C．的最小值为4D．最小值为【答案】BD【解析】对于A中，由，当且仅当时，即，显然不成立，所以A错误；对于B中，由，当且仅当，即时，等号成立，所以B正确；对于C中，由，令，可得，则函数在为单调递减函数，所以，所以C不正确；对于D中，由，令，可得，根据对勾函数的性质，可得在为单调递增函数，所以，所以D正确，故选：BD.【变式8-3】（2024·江西赣州·高三南康中学校联考期末）已知函数在区间上有且只有一个最大值和一个最小值，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为得，则，所以由题意可得，，解得，故选：D【变式8-4】（2024·湖北武汉·高三统考期末）已知函数，，若函数在上存在最大值，但不存在最小值，则的取值范围是（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】D【解析】若，则，又因为，函数在上存在最大值，但不存在最小值，所以当，即时，只需满足，此时，当，即时，函数一定存在最大值，要让函数无最小值，则，此时，综上，，即的取值范围是.故选：D【题型9三角函数零点综合】【例9】（2024·全国·模拟预测）函数与函数的图象所有交点的横坐标之和为．【答案】10【解析】因为，所以函数的图象关于直线对称，且在上单调递减，在上单调递增，所以的最小值为．所以函数的图象关于直线对称，且的最大值为2．由于的图象和的图象都关于直线对称，所以先考虑两个图象在上的情形，易知在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减．易知，，所以可作出函数与的大致图象如图所示，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以的图象和的图象在上有5个交点．根据对称性可知两函数图象共有10个交点，且两两关于直线对称，因此所有交点的横坐标之和为．【变式9-1】（2024·全国·高三专题练习）已知函数，若在上有两个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，因为函数在区间上有2个零点，所以，解得，即的取值范围是，故选：C.【变式9-2】（2024·浙江宁波·高三统考期末）将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象.若在上恰有三个不同的零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，由题意得，故当时，，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 显然当，即为的一个零点，要想在上恰有三个不同的零点，若，解得，若，无解，若，无解，故选：A【变式9-3】（2023·甘肃天水·高三校联考阶段练习）已知函数（其中）在区间上恰有4个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，，又函数在区间上恰有4个零点，，，的取值范围是.故选：A.【变式9-4】（2024·辽宁·高三校联考期末）（多选）已知函数恰有5个零点，则的值可能为（）A．4B．5C．D．【答案】BC【解析】由，得.函数在上的零点个数为2，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 又因为函数恰有5个零点，所以函数在上的零点个数为3.由，得，则，解得，故选：BC【题型10三角函数图象性质综合】【例10】（2024·新疆乌鲁木齐·统考一模）（多选）已知函数的部分图像如图所示，则（）  A．在上单调递增B．在上有4个零点C．D．将的图象向右平移个单位，可得的图象【答案】ABC【解析】由图知，，所以或，又，所以，所以，又因为图象过，且为下降零点，所以，，故,结合图象，即，所以，所以，对于A选项，当，，结合正弦函数图像可知，在上单调递增，故A正确；对于B选项，当时，，其中，结合正弦函数图像可知，在上有4个零点，故B正确；对于C选项，当时，即，即或，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 结合图象可知，，所以，故C正确；对于D选项，将的图象向右平移个单位，得，而，故D错误，故选：ABC.【变式10-1】（2024·吉林长春·高三长春吉大附中实验学校校考期末）已知函数（其中，，）的部分图象如图所示，将函数的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象．（1）求与的解析式；（2）令，求在区间内的所有实数解的和．【答案】（1），；（2）【解析】（1）设函数的最小正周期为，因为，由函数可得，因为，所以，解得，将代入解析式，得，故，因为，所以，，故，解得，故，的图象向右平移个单位长度，得到；（2），令得，即，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 当时，，令，画出在的函数图象，如下：共有4个解，其中，即，解得，.【变式10-2】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）函数的部分图象如图所示.（1）求函数的解析式；（2）将函数的图象向左平移个单位，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求函数在上的值域.【答案】（1）；（2）【解析】（1）观察图象可得，函数的周期，解得，即，由，得，即，，而，则，所以函数的解析式是.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （2）将的图象向左平移个单位长度，可得到函数的图象，再将所得图象上各点的横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到函数的图象，则，当时，，则，所以，因此在上的值域为.【变式10-3】（2024·广东广州·广东实验中学校考一模）已知函数的最小值为，其图象上的相邻两条对称轴之间的距离为，且图象关于点对称．（1）求函数的解析式和单调递增区间；（2）若不等式在上恒成立，求实数的取值范围．【答案】（1），单调递增区间为；（2）【解析】（1）由题知：，函数的最小正周期，故，解得，所以，则，即，，，∵，∴，故，令，解得，故函数的单调递增区间是；（2）因为，所以，故，，所以，∵不等式在上恒成立，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，即在上恒成立，，解得，即实数的取值范围是．【变式10-4】（2024·吉林白城·高三校考阶段练习）已知函数为奇函数，且图象的相邻两条对称轴间的距离为.（1）求的解析式与单调递减区间；（2）将函数的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的（纵坐标不变），得到函数的图象，当时，求方程的所有根的和.【答案】（1），；（2）.【解析】（1）由题意可得：因为图象的相邻两条对称轴间的距离为，所以的最小正周期为，即可得，又为奇函数，则，又，所以，故.令，得，所以函数的递减区间为.（2）将函数的图象向右平移个单位长度，可得的图象，再把横坐标缩小为原来的，得到函数的图象，又，则或，即或.令，当时，，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 画出的图象如图所示：的两个根对应的点关于直线对称，即，有，在上有两个不同的根，所以；又的根为，所以方程在内所有根的和为.（建议用时：60分钟）1．（2023·北京延庆·高三北京市延庆区第一中学校考阶段练习）设函数，则下列结论正确的是（)A．的最小正周期为B．的图象关于直线对称C．的一个零点为D．的图象可以由图像左移得到【答案】D【解析】由，则其最小正周期为，A错误；当时，，是对称中心，B错误；，当时，，C错误；的图象左移，即，D正确，故选：D学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 2．（2022·全国·高三校联考专题练习）函数的单调递增区间为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，令，解得，故的单调递增区间为，故选：B.3．（2024·河南南阳·高三方城第一高级中学校联考期末）函数在上的值域为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】，当时，，则，所以在上的值域为．故选：B4．（2024·云南昭通·统考模拟预测）函数向左平移个单位得到，若是偶函数，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意，在中，向左平移得到，所以，因为为偶函数，所以，又因为，所以，故选：D.5．（2023·青海·高三校联考阶段练习）将函数的图象向左平移个单位长度后得到函数的图象，若直线是图象的一条对称轴，则的值可能为（）A．B．C．D．【答案】B学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】由题意，因为直线是图象的一条对称轴，所以，则，对比选项可知当时，．故选：B．6．（2023·福建福州·高三校联考期中）函数的两个零点分别为，且，在上仅有两条对称轴，则可以是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为函数的两个零点为，且在上仅有两条对称轴，所以，又且，得.由函数的零点为，得，得，当时，，此时.故选：A.7．（2023·河北石家庄·高三校考阶段练习）已知函数满足，且在上单调，则的最大值为（）A．B．3C．D．4【答案】B【解析】由，得的图象关于点中心对称．又且在上单调，且，所以在上单调，所以，即，所以．故选：B.8．（2024·江西南昌·南昌二中校联考模拟预测）设函数若存在且，使得，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】A学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】不妨取，由可得：，由可得，由图可取要使存在且，使得，需使，，解得.故选：A.9．（2023·湖南·高三湖南省祁东县第一中学校联考阶段练习）若函数在区间上恰有两个零点，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题可知，解得，．因为函数在区间上恰有两个零点，所以或解得或，即．故选：C.10．（2023·江苏南京·高三期末）已知函数在区间上恰有两个最大值，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，则，所以由题意得：，解得.故选：D.11．（2023·广西·高三南宁三中校联考阶段练习）（多选）已知函数，则下列说法正确的是（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．的最小正周期为B．在区间上单调递减C．是函数图象的一条对称轴D．的图象关于点对称【答案】ACD【解析】函数对于A，的最小正周期为，故A正确；对于B，由，得，从而即时，单调递减，故B不正确；对于C，，所以是函数图象的一个对称轴，故C正确；对于D，，所以的图象关于点对称，故D正确．故选：ACD．12．（2023·山东青岛·高三莱西市第一中学校联考期中）（多选）设函数，则（）A．为奇函数B．的最小正周期为C．存在零点D．存在极值点【答案】BCD【解析】对A，由，可得，解得，所以函数的定义域为，且，所以函数为偶函数，A错误；对B，因为函数的最小正周期为，所以的最小正周期为，B正确；对C，令，即，即，即为函数的零点，C正确；对D，因为函数在单调递增，单调递减，所以函数在单调递增，单调递减，所以为函数的极大值点，D正确；故选:BCD.13．（2023·安徽安庆·高三怀宁县新安中学校考期中）（多选）已知，下列结论中正确的有（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．既是奇函数也是周期函数B．的最大值为C．的图象关于直线对称D．的图象关于点中心对称【答案】ACD【解析】对于A选项，函数的定义域为，，，所以，函数既是奇函数也是周期函数，A对；对于B选项，令，则，令，其中，则，由，可得；由，可得或，所以，函数的减区间为和，增区间为，因为，，所以，函数的最大值为，B错；对于C选项，因为，所以，函数的图象关于直线对称，C对；对于D选项，因为，所以，函数的图象关于点对称，D对.故选：ACD.14．（2023·安徽·高三校联考期末）（多选）已知函数的部分图象如图所示，则（）A．B．在上单调递增C．的图象关于直线对称D．为偶函数【答案】AC【解析】对于A选项，由图可知，，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 因为，则，所以，，解得，A对；对于B选项，由A选项可知，，当时，，所以，函数在上不单调，B错；对于C选项，因为，所以，的图象关于直线对称，C对；对于D选项，，所以，是非奇非偶函数，D错.故选：AC.15．（2024·陕西西安·统考一模）已知函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，且关于点对称，则的值为．【答案】【解析】因为函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，所以，则，，所以，又函数图象关于点对称，所以，则，即，因为，所以.16．（2024·山东临沂·高三统考期末）设函数在区间上的最大值为，最小值为，则的最小值为．【答案】【解析】函数的最小正周期为，由于，则区间的长度是周期的，要使取最小值，则在上不单调，所以当区间关于其对称轴对称时，取得最小值，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 其对称轴为，所以当时，函数取得最值±4，不妨设，则，解得，所以，所以的最小值为.17．（2024·江苏常州·高三校考期末）将余弦函数的图象上所有点的纵坐标伸长到顶原来的倍（横坐标不变），再将所得到的图象向右平移个单位长度，得到函数的图象.若关于x的方程在内有两个不同的解，则实数m的取值范围为．【答案】【解析】依题意，，则关于x的方程可化为：，则关于x的方程在内有两个不同的解可转化为：函数的图象与函的图象在上有两个交点.由可得：，取,作出函数在上的图象.由图，要使函数的图象与其有两个交点，须使，即实数m的取值范围为.18．（2023·北京东城·高三北京五十五中校考阶段练习）已知函数的部分图象如图所示．（1）求函数的解析式；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （2）求函数的单调递增区间；（3）求函数的最大值与最小值．【答案】（1）；（2）；（3）最大值为，最小值为.【解析】（1）由图知：的最小正周期为，故，所以，又为单调递减区间上的零点，故，又解得：.又图象过(0，1)点，所以，解得.所以函数的解析式为：.（2）由（1）知令，解得：故函数的单调递增区间为：（3），当时，最小值为；当时，最大值为；故：最大值为，最小值为.19．（2023·河南·高三校联考期中）设，，已知函数的图象在区间内恰有4条对称轴，且函数为偶函数．（1）求的值以及的取值范围；（2）当取得最大值时，将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，再将所得图象向右平移学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 个单位长度，得到函数的图象，求函数在区间上的值域．【答案】（1），；（2）【解析】（1）依题意得，因为为偶函数，所以，故．因为，所以，．令，则，则，解得，即的取值范围为．（2）依题意得，将的图象上所有点的横坐标缩小为原来的，得到的图象，再将所得图象向右平移个单位长度，得到的图象．当时，，故的值域为，即在区间上的值域为．20．（2023·福建泉州·高三校考阶段练习）已知点，是函数图象上的任意两点，，且当时，的最小值为.（1）求的解析式；（2）当时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由题知，，即，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 又，所以，因为时，的最小值为，所以，即，所以，（2）当时，，所以，所以，令，则当时，恒成立，等价于时，恒成立，，因为，当且仅当，即时，等号成立，又当时，，所以所以，即实数的取值范围为.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司