热点1-1 集合与复数（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx

《热点1-1 集合与复数（8题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

热点1-1集合与复数集合是高考数学的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式及分式不等式的的形式，结合有限集、无限集考查集合的交集、并集、补集等，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1或2题，以简单题为主，但除了常规考法以外，日常练习中多注意新颖题目的考向。复数是高考数学的必考题，常见考查复数的四则运算、共轭复数、实部、虚部、模等概念，偶尔考查几何意义-复数与平面内的点对应，基本出现在前2题的位置，难度不大，属于容易题。【题型1集合的含义与表示】满分技巧与集合元素有关问题的解题策略1、研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．2、利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．【例1】（2023上·山东泰安·高三统考期中）已知集合，，则中的元素个数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】由题意，，当，当，当，当，当，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 热点1-1集合与复数集合是高考数学的必考考点，常见以一元一次、一元二次不等式及分式不等式的的形式，结合有限集、无限集考查集合的交集、并集、补集等，偶尔涉及集合的符号辨识，一般出现在高考的第1或2题，以简单题为主，但除了常规考法以外，日常练习中多注意新颖题目的考向。复数是高考数学的必考题，常见考查复数的四则运算、共轭复数、实部、虚部、模等概念，偶尔考查几何意义-复数与平面内的点对应，基本出现在前2题的位置，难度不大，属于容易题。【题型1集合的含义与表示】满分技巧与集合元素有关问题的解题策略1、研究集合问题时，首先要明确构成集合的元素是什么，即弄清该集合是数集、点集，还是其他集合；然后再看集合的构成元素满足的限制条件是什么，从而准确把握集合的含义．2、利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合是否满足元素的互异性．【例1】（2023上·山东泰安·高三统考期中）已知集合，，则中的元素个数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】由题意，，当，当，当，当，当，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 当，由集合中元素满足互异性，所以.故选：B【变式1-1】（2023上·河南南阳·高三校考阶段练习）集合中的元素个数为（）A．2B．4C．6D．8【答案】D【解析】因为，即，所以的可能取值为，分别代入可得，所以集合中共有8个元素.故选：D【变式1-2】（2023上·山西吕梁·高三统考阶段练习）（多选）下列关系正确的有（）A．B．C．D．【答案】BCD【解析】因为是整数，所以，故A错误；因为为无理数，所以，故B正确；因为，所以，故C正确；由于为正整数集，为自然数集，为整数集，所以，故D正确.故选：BCD.【变式1-3】（2023·全国·高三课时练习）集合中只含有1个元素，则实数a的取值是．【答案】0或1【解析】当时，满足题意；当时，要集合P仅含一个元素，则，解得，故a的值为0，1【变式1-4】（2023上·辽宁丹东·高三统考期中）已知集合，若，则（）A．或3B．0C．3D．【答案】C【解析】，，解得或，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 当时，，不满足集合中元素的互异性，舍去.当时，，此时，满足题意.综上，.故选：C.【题型2集合与集合间的关系】满分技巧利用两个集合之间的关系确定参数的取值范围第一步：弄清两个集合之间的关系，谁是谁的子集；第二步：看集合中是否含有参数，若，且A中含参数应考虑参数使该集合为空集的情形；第三步：将集合间的包含关系转化为方程(组)或不等式(组)，求出相关的参数的值或取值范围.常采用数形结合的思想，借助数轴解答.[【例2】（2023·四川攀枝花·统考模拟预测）已知集合，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由题意可知，由集合间的关系可知，.故选：A【变式2-1】（2023上·上海·高三校考期中）设集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，又，所以，因为，则，而为奇数，所以，故选：C.【变式2-2】（2023·全国·模拟预测）已知集合，，若，则a的取值范围是（）A．B．C．D．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】B【解析】由函数，可得函数为上的单调递增函数，当时，，要使得，所以.故选：B.【变式2-3】（2023上·湖北·高三校联考期中）已知集合，且，则（）A．-1B．1C．-3D．3【答案】D【解析】由题意：，得：或两种情况，若，则，此时，不满足互异性；若，则解得或，显然，符合题意，而当时，，不满足互异性.综上所述：.故选：D.【变式2-4】（2023上·河南·高三开封高中校联考期中）已知集合，，若，则实数a的值为（）A．1B．0或2C．1或2D．2【答案】C【解析】由，得到，即，又，故，所以，因为，且，所以或2，故选：C.【题型3有限集合的子集个数问题】满分技巧如果集合A中含有n个元素，则有（1）A的子集的个数有2n个．（2）A的非空子集的个数有2n－1个．（3）A的真子集的个数有2n－1个．（4）A的非空真子集的个数有2n－2个．【例3】（2023·湖北·高三鄂南高中校联考期中）已知集合学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，则的真子集个数为（）A．2B．3C．4D．5【答案】B【解析】因为，，所以，的真子集个数为.故选：B.【变式3-1】（2023·全国·模拟预测）设集合，则的真子集的个数是（）A．3B．4C．7D．8【答案】C【解析】由题意知，，故的真子集的个数为：，故C项正确.故选：C.【变式3-2】（2023·福建厦门·厦门一中校考模拟预测）已知集合，，，则的子集共有（）A．2个B．4个C．6个D．64个【答案】D【解析】因为，，所以，所以，则的子集共有个，故选：D【变式3-3】（2023·山东·校联考模拟预测）满足条件的集合有（）A．6个B．5个C．4个D．3个【答案】C【解析】∵，∴或或或，共4个．故选：C．【变式3-4】（2023上·安徽·高三校联考期中）若集合有7个真子集，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】A【解析】因为集合有7个真子集，所以集合中包含3个元素，所以，解得.故选：A【题型4集合的交并补运算】满分技巧集合运算的常用方法①若集合中的元素是离散的，常用Venn图求解；②若集合中的元素是连续的实数，则用数轴表示，此时要注意端点的情况.利用集合的运算求参数的值或取值范围的方法①与不等式有关的集合，一般利用数轴解决，要注意端点值能否取到；②若集合能一一列举，则一般先用观察法得到不同集合中元素之间的关系，再列方程（组）求解.【例4】（2023·江苏南通·高三如东高级中学校考期中）已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，得或，则或，又，所以，故选：B【变式4-1】（2023·天津河东·高三统考期中）已知全集，集合，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由，即，解得或，所以或，则，由，则，解得，所以，所以.故选：C【变式4-2】（2023·河南洛阳·校联考模拟预测）已知集合，，则（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】B【解析】解可得，，所以，.当时，不满足，或不满足；当时，满足，或满足；当时，满足，或不满足.所以，．故选：B.【变式4-3】（2023·江苏无锡·天一中学校考模拟预测）已知集合，，且，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由集合，，可得，因为，所以，解得，即实数的取值范围是.故选：C.【变式4-4】（2023·全国·高三专题练习）设全集，集合，．（1）若，求的取值范围；（2）若，求的取值范围．【答案】（1）；（2）【解析】（1）不等式，可化为，所以不等式的解集为，故．由，得．当时，；当时，．由，得，则，且，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以的取值范围是．（2）由于，因此，于是．当时，显然成立；当时，，得到，因此．综上所述，的取值范围是．【题型5韦恩图在集合中的应用】满分技巧1、对于离散型数集或抽象几何的运算，常借助Venn图求解，数形结合思想的应用；2、解决集合交、并、补运算的技巧：如果所给集合是有限集，则先把集合中的运算意义列举出来，然后结合交集、并集、补集的定义求解。在解答过程中常常借助Venn图来求解，这样处理起来，相对来说比较直观、形象切解答时不易出错。【例5】（2023·四川成都·高三校联考阶段练习）已知是全集的非空子集，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为M，N是全集U的非空子集，且，所以韦恩图为：由韦恩图可知，A不正确；B不正确；C不正确；D正确.故选：D【变式5-1】（2023·广东佛山·统考一模）若全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题知，，，则阴影部分表示，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 而，则.故选：D【变式5-2】（2023·重庆渝中·高三统考期中）设均为非空集合，且满足ÜÜ，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】集合的韦恩图，如图所示，因为，所以，所以.故选：C.【变式5-3】（2023·江苏南通·高三海安高级中学校考阶段练习）已知全集为U，集合M，N满足，则下列运算结果一定为U的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由得当Ü时，Ü，故选项A不正确；，当时，，故选项B不正确；当时，，故选项C不正确；因为，所以，故选项D正确.故选：D.【变式5-4】（2023·北京·高三北京八中校考阶段练习）如图，I为全集，M、P、S是I的三个子集，则阴影部分所表示的集合是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】题图中的阴影部分是的子集，不属于集合S，故属于集合S的补集，即是的子集，则阴影部分所表示的集合是故选：C学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【题型6集合的新定义问题】满分技巧正确理解新定义：耐心阅读，分析含义，准确提取信息是解决这类问题的前提，剥去新定义、新法则、新运算的外表，利用所学的集合性质等知识将陌生的集合转化为我们熟悉的集合，是解决这类问题的突破口.【例6】（2023·湖南·校联考模拟预测）定义集合．已知集合，，则的元素的个数为（）A．3B．4C．5D．6【答案】B【解析】因为，，所以，故的元素的个数为4．故选：【变式6-1】（2023·江苏南通·高三统考阶段练习）已知集合，定义叫做集合的长度，若集合的长度为4，则的长度为（）A．3B．4C．5D．10【答案】D【解析】方程的两根为，的两根为，当时，，当时，，，则，当时，，，则，因为的长度为4，所以或，得或，当时，，，则，当时，，，则所以的长度为10，故选：D【变式6-2】（2023·河南郑州·统考模拟预测）若且，，则称a为集合A的孤立元素．若集合，集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（）A．B．C．D．【答案】C学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】集合的三元子集有，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，共20个．满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为，，，，一共4种．由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率．故选：C．【变式6-3】（2023·安徽蚌埠·统考二模）对于数集，，定义，，，若集合，则集合中所有元素之和为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】根据新定义，数集，，定义，，，集合，，，则可知所有元素的和为，故选：D.【变式6-4】（2023·安徽合肥·高三校考阶段练习）已知全集且集合、是非空集合，定义且，已知，，则.【答案】【解析】，或，因为且，所以.【题型7复数的基本运算】【例7】（2023·全国·模拟预测）已知为虚数单位，且，则（）A．3B．C．5D．【答案】C【解析】由题意得：，则，.故选：C.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式7-1】（2023·全国·模拟预测）已知复数z满足，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，由，所以，即，则.故选：D.【变式7-2】（2023·江西·高三鹰潭一中校联考期中）已知复数z满足，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，得，所以，故选：A.【变式7-3】（2023上·湖南邵阳·高三校考阶段练习）已知复数满足，则（）A．3B．25C．9D．5【答案】D【解析】设，则，则，即因为复数满足所以，即所以，即.故选：D【变式7-4】（2023·天津·高三咸水沽第一中学校考期中）已知为实数，若复数学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 为纯虚数，则的值为.【答案】【解析】因为复数为纯虚数，可得，所以.【题型8与复数有关的最值问题】【例8】（2023·全国·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则的最小值为（）A．7B．6C．5D．4【答案】D【解析】设，在复平面内对应的点的坐标为，由，得，即，因此点在圆上运动，圆心的坐标为，半径，又，于是可以看成是点到点的距离，显然此点在圆外，所以.故选：D【变式8-1】（2023·河南郑州·高一校联考期中）已知复数z满足，则的最小值为（）A．1B．3C．D．【答案】A【解析】设复数在复平面内对应的点为，因为复数满足，所以由复数的几何意义可知，点到点和的距离相等，所以在复平面内点的轨迹为，又表示点到点的距离，所以问题转化为上的动点到定点距离的最小值，当为时，到定点的距离最小，最小值为1，所以的最小值为1，故选：A．【变式8-2】（2023·上海·高三宜川中学校考期中）复数z满足（i为虚数单位），则的最大值为．【答案】7学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】令且，又，所以，即，所以复数z对应点在以为圆心，半径为2的圆上，又表示圆上点到原点的距离，而圆心到原点距离为5，所以的最大值为.【变式8-3】（2023·上海·高三行知中学校考期中）若复数满足，则的最小值为.【答案】【解析】设且，又，所以，即点到两定点的距离之和为，所以点在以为焦点，长轴长为10的椭圆上，由表示椭圆上点到原点距离，故其最小值为短半轴.【变式8-4】（2023·全国·高三专题练习）若复数z满足，则的最小值为【答案】/【解析】设，（不同时为0），，由题意可知，得或，当时，的轨迹是轴（除原点外），此时的几何意义表示复数表示的点和的距离，此时，当时，复数的轨迹是以原点为圆心，为半径的圆，如图，根据复数模的几何意义可知，的几何意义是圆上的点到的距离，如图可知，的最小值是点与的距离.（建议用时：60分钟）1．（2023上·山东潍坊·高三统考期中）已知集合，则满足的实数的个数为（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，因为，所以或，当时，，此时集合中有两个1，所以不合题意，舍去，当时，得或，当时，集合和集合中均有两个1，所以不合题意，舍去，当时，，符合题意，综上，，所以满足的实数的个数为1，故选：B2．（2023·全国·模拟预测）已知全集，，若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，又，所以，则，故选项A判断错误；，故选项B判断错误；，故选项C判断错误；故选项D判断正确.故选：D.3．（2023·四川成都·高三校考期中）设，，则中元素个数为（   ）A．2B．3C．4D．5【答案】C【解析】由，则，所以中元素个数为4.故选：C4．（2023·湖北恩施·校考模拟预测）设集合，，则满足集合的集合的子集个数为（）A．2B．3C．4D．8【答案】C【解析】由，即，解得，所以，又，所以，所以，即，则集合的子集有个.故选：C5．（2023·广东湛江·高三统考阶段练习）已知集合，则的真子集的个数为（）A．1B．2C．3D．4学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】C【解析】由题设，则，所以共有个子集，其中3个真子集.故选：C6．（2023·湖北黄冈·统考模拟预测）已知全集为，集合，满足，则下列运算结果为的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】全集，集合，满足，绘制Venn图，如下：对于A：，A错误；对于B：，B错误；对于C：，C错误；对于D：，D正确.故选：D.7．（2023·四川雅安·高三校联考期中）已知集合，，若，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，且，因为所以.故选：C8．（2023·安徽·高三合肥一中校联考阶段练习）已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意得，，而表示整数，表示被3除余2的整数，故，则，故选：B．9．（2023·全国·模拟预测）已知集合，，，则集合的个数为（）A．4B．8C．7D．15学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】B【解析】由题意，得，，.又，集合的个数为.故选：B.10．（2023·河南·模拟预测）已知集合中恰有两个元素，则a的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由集合中恰有两个元素，得，解得．故选：B．11．（2023·重庆·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）已知集合，，，，若，，则下列说法正确的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，，则由题意可设，，其中，则，且，故，故选：D．12．（2023·河南·高三校联考期中）已知集合，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意可知：，，所以.故选：D.13．（2023·辽宁·高三统考期中）设全集，，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由不等式，分解因式可得，解得，由可得，由，则，故A正确，B，C，D均错误．故选：A.14．（2022·河北·张家口市第一中学高三期中）欧拉公式为虚数单位是由瑞士著名数学家欧拉发现的，它将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，在复变函数论里占有非常重要的地位，被誉为“数学中的天桥”，已知为纯虚数，则复数在复平面内对应的点位于（）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】D【解析】因为，所以，因为为纯虚数，所以，，故，所以，则复数在复平面内对应的点为，则其在第四象限，故选：D.15．（2023·上海·上海交大附中校考三模）已知，集合，若集合恰有8个子集，则的可能值有几个（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由题意易知，，均是集合中的元素，又集合恰有8个子集，故集合只有三个元素，有，则结合诱导公式易知，可取的值是4或5.故选：B16．（2023·河南郑州·统考模拟预测）若且,,则称a为集合A的孤立元素．若集合,集合N为集合M的三元子集，则集合N中的元素都是孤立元素的概率为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】集合的三元子集个数为，满足集合中的元素都是孤立元素的集合N可能为，一共35种，由古典概率模型公式，可得集合N中的元素都是孤立元素的概率．故选：C．17．（2023·山西吕梁·高三统考阶段练习）已知，，若，则的取值范围（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由得：，所以，则学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 由得：当时，则，又，所以；当时，则不等式解得，不符合，综上所述.故选：B.18．（2023·湖北·高三天门中学校联考期中）已知M，N均为的子集，若存在使得，且，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，所以，又因为，所以，故，故A正确；由于题目条件是存在，所以不能确定集合M，N之间的包含关系，故BCD错误；故选：A.19．（2023·全国·高三专题练习）（多选）已知集合，集合，则下列关系式正确的是（）A．B．C．D．【答案】BD【解析】因为，所以，故A错误；，故B正确；因为，所以，故C错误；，故D正确.故选：BD.20．（2022·全国·高三专题练习）（多选）若复数z在复平面对应的点为Z，则下列说法正确的有（）A．若，则B．若，则Z在复平面内的轨迹为圆C．若，满足，则的取值范围为D．若，则的取值范围为【答案】ABD【解析】对于A，若，则，，，依次循环，所以，故A正确；对于B，设，，则有，可知在复平面内的轨迹为圆，故B正确；对于C，因为复数z满足，故点轨迹为以为圆心，以1为半径的圆，设，即，当此直线与圆相切时有，解得，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以的取值范围为，故C不正确；对于D，设，，若，则有，令，则.令，可得，所以，于是得，故D正确.故选：ABD学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司