热点4-2 平面向量的数量积及应用（6题型+满分技巧+限时检测）（解析版）.docx

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热点4-2平面向量的数量积及应用平面向量属于高考的必考内容，主要以客观题的形式出现，也与三角函数、解析几何结合出现在综合性大题中，难度中等。本部分考题综合性较强，强调模、数量积、坐标运算等向量固有的知识，对向量几何模的研究比较透彻。考生在复习过程中，要重点理解向量数量积的含义，掌握数量积的坐标表示，能灵活运用定义法、坐标法、基底法解决常见的数量积问题。【题型1平面向量的数量积运算】满分技巧求向量数量积的3种常规方法1、定义法求平面向量的数量积：，其中是两个向量，的夹角；适用于已知或可求两个向量的模和夹角。2、基底法求平面向量的数量积：选取合适的一组基底，利用平面向量基本定理将待求数量积的两个向量分别用这组基底表示出来，进而根据数量积的运算律和定义求解；适用于直接利用定义求数量积不可行时，可将已知模和夹角的两个不共线的向量作为基底，采用“基底法”求解。3、坐标法求平面向量的数量积：，，则适用于：①已知或可求两个向量的坐标；②已知条件中有（或隐含）正交基底，优先考虑建立平面直角坐标系，使用坐标法求数量积，例如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时。【例1】（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）已知向量，，若，则（）A．B．C．1D．【答案】C【解析】由，所以，则.故选：C【变式1-1】（2024·河北邢台·高三统考期末）已知向量，满足，，则（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．2C．D．4【答案】A【解析】因为，，所以.故选：A.【变式1-2】（2024·北京东城·高三统考期末）已知非零向量，，满足，且，对任意实数，，下列结论正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】非零向量，，满足，且，对于A，不恒为，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，不恒为，故C错误；对于D，不恒为，故D错误.故选：B.【变式1-3】（2024·山东济南·高三统考期末）平行四边形ABCD中，，，，若，，则（）A．4B．6C．18D．22【答案】C【解析】由题意可知，以为坐标原点，建立平面直角坐标系如图所示因为，所以.设，则，由，得，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 即，解得，所以.设，则，由，得，即，解得，所以.所以，.故选：C.【变式1-4】（2024·陕西西安·高三西安中学校考期末）在边长为2的正三角形中，D是的中点，，交于F.则.【答案】【解析】如图：过作交于点．由，是的中点得：，,所以，故，即．所以．所以．．由已知得．所以．【题型2平面向量的投影向量】满分技巧解决向量投影问题应注意以下3点1、向量在方向上的投影向量为（其中为与同向的单位向量），它是一个向量且与共线，其方向由与的夹角的余弦决定；2、向量在方向上的投影向量为；3、注意：在方向上的投影向量与在方向上的投影向量不同，即在学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 方向上的投影向量可以表示为【例2】（2024·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）若向量满足，且，则在上的投影向量为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由，则，由在上的投影向量.故选：D【变式2-1】（2022·河南·高三校联考期末）已知平面向量满足，，，则在方向上的投影为（）A．5B．C．10D．【答案】A【解析】因为，所以，所以，，则在方向上的投影为.故选：A【变式2-2】（2024·河北·高三校联考期末）已知为不共线的平面向量，，若，则在方向上的投影向量为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由可得，又，如图所示，由平行四边形法则可得四边形为菱形，故互相垂直平分，所以在方向上的投影向量为，故选：D．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式2-3】（2024·云南昭通·统考模拟预测）已知非零向量与满足，且，则向量在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为和分别表示向量和向量方向上的单位向量，由，可得的角平分线与垂直，所以为等腰三角形，且，又，得，所以，又，所以,所以为等边三角形，所以向量在向量上的投影向量为，故选：B.【变式2-4】（2024·江苏南京·高三金陵中学假期作业）在等边中，已知点，满足，，与交于点，则在上的投影向量为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，，，则，得，，即,则在上的投影向量为，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，所以在上的投影向量为.故选：C【题型3平面向量的模长问题】满分技巧求向量的模或其范围的方法1、定义法：，；2、坐标法：设，则；3、几何法：利用向量加减法的平行四边形法则或三角形法则作出向量，再利用解三角形的相关知识求解。【注意】（1）形如的向量的模，可通过平方转化为数量的运算；（2）用定义法或坐标法求模的范围时，一般把它表示成某个变量的函数，再利用函数的有关知识求解；用几何法求模的范围时，注意数形结合思想，常用三角不等式进行最值求解。【例3】（2024·全国·高三校联考竞赛）平面向量，则（）A．3B．5C．7D．11【答案】B【解析】因为，所以，所以.故选：B【变式3-1】（2024·山西临汾·统考一模）已知向量，，若向量在向量上的投影向量，则（）A．B．C．3D．7【答案】B【解析】由已知可得，在上的投影向量为，又在上的投影向量，所以，所以，所以，所以.故选：B.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式3-2】（2024·湖南长沙·统考一模）在平面四边形中，，分别为，的中点.若，，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】连接，，如图，可知.由，即，可得.从而，，所以.故选：B.【变式3-3】（2024·湖北·校联考模拟预测）已知向量，满足，，且，的夹角为，则的最小值是.【答案】【解析】由题意可知：，因为，当且仅当时，等号成立，所以的最小值是.【变式3-4】（2024·全国·高三专题练习）已知，，，则的取值范围是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如图，设，，，点在圆上，点在圆上，则，，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 由可得：，作矩形,则.下证：.设交于点，连接,因则，同理可得：，两式左右分别相加得：，.即，故.又，因，即，故有．故选:C．【题型4平面向量的夹角问题】满分技巧求两个非零向量夹角的步骤第一步：由坐标运算或定义计算出这两个向量的数量积；第二步：分别求出这两个向量的模；第三步：根据公式求解出这两个向量夹角的余弦值；第四步：根据两个向量夹角的范围是及其夹角的余弦值，求出这两个向量的夹角。【例4】（2024·重庆·高三重庆一中校考开学考试）已知向量与是非零向量，且满足在上的投影向量为，，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】设与的夹角为，在上的投影向量为所以，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以，所以为钝角，且.故选：A【变式4-1】（2024·云南大理·统考模拟预测）已知向量均为单位向量，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，且，则，两边平方可得，即，所以，，所有与的夹角为.故选：C【变式4-2】（2024·全国·模拟预测）已知两个单位向量满足，则向量的夹角为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由，平方可得，又所以，所以，因为，所以向量的夹角为．故选：A.【变式4-3】（2023·全国·模拟预测）已知内的一点M满足，则向量与向量的夹角为（）A．30°B．45°C．60°D．90°【答案】D【解析】因为，所以，所以，所以，所以，所以，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以，所以，所以向量与向量的夹角为90°．故选：D.【变式4-4】（2024·全国·高三专题练习）已知向量，且和的夹角为，若与的夹角为钝角，则的取值范围为．【答案】【解析】因为与的夹角为钝角，故且与不共线反向，由可得，即即，故或，若与共线，则存在实数，使得，而不共线，故即或，当时，与共线同向；当时，与共线反向；故的取值范围为或或.【题型5平面向量的垂直问题】满分技巧两平面向量垂直的充要条件既可以判定两向量垂直，也可以由垂直求参数，高考试题中一般是考查已知两向量垂直求参数。（1）如果已知向量的坐标，根据两平面向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数；（2）如果未知向量的坐标，则可通过向量加法(减法)的三角形法则转化为已知模和夹角的向量的数量，根据两平面向量垂直的充要条件，列出相应的关系式，进而求解参数。【注意】如已知图形为矩形、正方形、直角梯形、等边三角形、等腰三角形或直角三角形时，则可建立平面直角坐标系求出未知向量的坐标，从而把问题转化为已知向量的坐标求参数的问题，注意方程思想和等价转化思想的运用.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【例5】（2024·江西·高三校联考期末）已知向量，，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因为，所以，即，所以，所以.故选：C.【变式5-1】（2022·全国·高三专题练习）若为非零向量，满足，且，则（）A．B．1C．D．【答案】B【解析】，，即，又,为非零向量，,又，所以，故选：B【变式5-2】（2024·浙江·校联考一模）已知平面向量满足：与的夹角为，若，则（）A．0B．1C．D．【答案】D【解析】由题意，得，由，得，即，∴，解得.故选：D【变式5-3】（2024·安徽·高三校联考阶段练习）已知非零向量，满足，设甲：，乙：，则（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．甲是乙的充要条件B．甲是乙的充分条件但不是必要条件C．甲是乙的必要条件但不是充分条件D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件【答案】A【解析】乙:等价于，即，因为，所以，所以乙等价于，即，所以甲、乙互为充要条件.故选：A【变式5-4】（2024·湖南常德·高三统考期末）已知向量，，若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】已知向量，，若，则，即，则的值为．故选：D．【题型6数量积的综合应用】满分技巧综合问题的求解方法：（1）坐标法：把几何图形放在适当的坐标系中，则有关点与向量就可以用坐标表示，这样就能进行相应的代数运算和向量运算，从而使问题得到解决；（2）基向量法：适当选取一组基底，沟通向量之间的联系，利用向量间的关系构造关于未知量的方程来进行求解。【例6】（2024·北京西城·高三北京师大附中校考开学考试）如图，圆为的外接圆，，为边的中点，则（）A．10B．13C．18D．26【答案】B学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】是边的中点，可得，是的外接圆的圆心，，同理可得，．故选：B．【变式6-1】（2023·上海普陀·高三曹杨二中校考期末）在中，，则下列说法一定正确的是（）A．若，则是锐角三角形B．若，则是钝角三角形C．若，则是锐角三角形D．若，则是钝角三角形【答案】D【解析】因为，即,又时，三角形一定不是直角三角形，则有，，若，则，为锐角，但是不能判断的大小，故A,B错误；当时，则，中必有一个钝角，故此时是钝角三角形，C错误，D正确，故选：D.【变式6-2】（2024·全国·校联考一模）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一．在2022年虎年新春来临之际，许多地区人们为了达到装点环境、渲染气氛，寄托辞旧迎新、接福纳祥的愿望，设计了一种由外围四个大小相等的半圆和中间正方形所构成的剪纸窗花（如左图）．已知正方形的边长为，中心为，四个半圆的圆心均在正方形各边的中点（如右图）．若点在四个半圆的圆弧上运动，则的取值范围是.【答案】学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】以原点，为轴正方向建立平面直角坐标系，如图所示.因为正方形的边长为，所以，则、，则，设的中点为，则，，所以，，因为是半圆上的动点，设点，则，其中，则，所以，，由对称性可知，当点在第三象限的半圆弧上运动时（包含点、），，当点在第一象限的半圆弧上运动时（包含点、），的中点为，半圆的半径为，可设点，其中，则，，则，同理可知，当点在第四象限内的半圆弧上运动时（包含点、），.综上可知，的取值范围是.【变式6-3】（2024·天津河西·高三统考期末）在中，，，，，，且，则；的值为.【答案】；【解析】因为，，，所以,学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 又，在中，，，所以，,即，解得或（舍去），故的值为：.又,,，故的值为：.【变式6-4】（2023·全国·模拟预测）已知中，，且为的外心．若在上的投影向量为，且，则的取值范围为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，则，所以，即B，O，C三点共线．因为为的外心，即有，所以为直角三角形，因此，为斜边的中点．因为，所以为锐角．如图，过点作，垂足为．因为在上的投影向量为，所以，所以在上的投影向量为．又因为，所以．因为，所以，故的取值范围为．故选：A．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （建议用时：60分钟）1．（2024·宁夏石嘴山·高三平罗中学校考期末）已知向量，满足，，且，则（）A．B．0C．1D．2【答案】C【解析】得，即所以，所以.故选：C2．（2024·浙江嘉兴·高三统考期末）已知单位向量，的夹角为，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意可知：，，，所以.故选：B.3．（2024·山东青岛·高三统考期末）在四边形中，四个顶点A，B，C，D的坐标分别是，，，，E，F分别为的中点，则（）A．10B．12C．14D．16【答案】A【解析】由题意，则，，.故选：A4．（2024·黑龙江·高三大庆实验中学校联考阶段练习）已知、为单位向量，且，则、的夹角为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设、的夹角为，则，由已知可得，，所以，，即，即，即，解得，故，故选：B.5．（2024·福建厦门·统考一模）已知，为单位向量，若，则与的夹角为（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】B【解析】由题意，则与的夹角为.故选：B6．（2024·北京丰台·高三统考期末）已知是两个不共线的单位向量，向量（）．“，且”是“”的（）A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件【答案】A【解析】当，且时，，充分性满足；当时，，当，时，是可以大于零的，即当时，可能有，，必要性不满足，故“，且”是“”的充分而不必要条件.故选：A.7．（2024·湖南邵阳·统考一模）已知向量.若与的夹角的余弦值为，则实数的值为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由题意：，，，所以.故选：D8．（2024·广东深圳·高三统考期末）已知为单位向量，且，则与的夹角为（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由题意可得，将两边平方可得；可得，可得；设与的夹角为，则，所以.故选：C9．（2024·全国·武钢三中校联考模拟预测）已知，，若，则在学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 上的投影向量为（）A．B．C．D．【答案】D【解析】.故选：D.10．（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）在平面直角坐标系中为原点，，，则向量在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题设，向量在向量上的投影向量为.故选：B11．（2024·河北·高三雄县第一高级中学校联考期末）已知向量，则向量在向量上的投影向量为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，又，所以在向量上的投影向量为.故选：A.12．（2024·河北·高三校联考期末）若，，则的最大值为（）A．3B．5C．D．【答案】A【解析】（法一）设与夹角为．因为，得，当时，最大值9，的最大值3，故选：A．（法二）因为，如图设，，由知点B在以A为圆心1为半径的圆上，当点B与O、A在一条直线，位于图中位置时，的最大值3.故选：A.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 13．（2024·辽宁辽阳·高三统考期末）在中，，D为AB的中点，，P为CD上一点，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为D为AB的中点，则，可得，即，解得，又因为P为CD上一点，设，则，可得，解得，即，则，可得，即.故选：D.14．（2024·江苏·高三统考期末）平面向量，，满足，，则的最小值是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】设，则，而，因为，所以.故选：B.15．（2024·天津河北·高三统考期末）如图，在平行四边形中，与交于点，是线段的中点，的延长线与交于点.若，则等于（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】C【解析】平行四边形，，，，，可得，是线段的中点，可得，；，则．故选：C16．（2022·河南·高三校联考专题练习）已知平面向量，，若，，（其中表示向量，的夹角），则.【答案】8【解析】依题意，，解得，则.17．（2022·河南·高三专题练习）已知平面向量，满足，，若，则向量，的夹角的余弦值为．【答案】【解析】依题意，两边平方得，而，，因此，解得，所以向量，的夹角的余弦值为.18．（2024·黑龙江鸡西·高三校考期末）如下图，在平行四边形中，，点在上，且，则=．【答案】18【解析】因为平行四边形中，，所以，，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，，故.19．（2023·全国·模拟预测）已知圆上有两个动点，满足，点是圆上的动点，则的取值范围是．【答案】【解析】由题意可知：圆的圆心，半径；圆的圆心，半径；连接，取的中点，连接，由得，因为，注意到与为相反向量，因此．又因为，，即，可得，所以．20．（2023·天津·高三天津市第七中学校考阶段练习）如图，在菱形中，，E、F分别为、上的点．，，点M在线段上，且满足，；若点N为线段上一动点，则的取值范围为．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】；,．【解析】由可得，所以,设，,，，所以，，所以，因为,，所以,.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司