重难点4-2 奔驰定理及三角“四心”向量式（5题型+满分技巧+限时检测）（原卷版）.docx

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重难点4-2奔驰定理及三角形“四心”向量式平面向量是高考的必考考点，它可以和函数、三角函数、数列、几何等知识相结合考查。平面向量的“奔驰定理”，对于解决平面几何问题，尤其是解决与三角形面积和“四心”相关的问题，更加有效快捷，有着决定性的基石作用。常以选择题或填空题的形式出现，难度中等。【题型1三角形“重心”及应用】满分技巧常见重心向量式：设O是∆ABC的重心，P为平面内任意一点（1）（2）（3）若或，，则P一定经过三角形的重心（4）若或，λ∈[0,+∞)，则P一定经过三角形的重心【例1】（2023·全国·高三专题练习）已知是平面上一定点，是平面上不共线的三个点，动点满足，，则的轨迹一定通过的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【变式1-1】（2022·湖南长沙·高三校考阶段练习）已知，，是不在同一直线上的三个点，是平面内一动点，若，，则点的轨迹一定过的（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．外心B．重心C．垂心D．内心【变式1-2】（2023·全国·高三专题练习）在中，若，则点是的（）A．重心B．内心C．垂心D．外心【变式1-3】（2023·安徽安庆·高三怀宁县新安中学校考阶段练习）已知是三角形所在平面内一定点，动点满足，则点轨迹一定通过三角形的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心【变式1-4】（2023·河北·高三统考阶段练习）若是的垂心，，则的值为（）A．B．C．D．【题型2三角形“内心”及应用】满分技巧常见内心向量式：P是∆ABC的内心，（1）ABPC+BCPA+CAPB=0（或aPA+bPB+cPC=0）其中a，b，c分别是∆ABC的三边BC、AC、AB的长，（2）AP=λABAB+ACAC，λ[0,+∞)，则P一定经过三角形的内心。【例2】（2023·安徽淮南·统考一模）在中，，点D，E分别在线段，上，且D为中点，，若，则直线经过的（）.A．内心B．外心C．重心D．垂心【变式2-1】（2023·江苏·高三校联考阶段练习）已知点是所在平面上的一点，的三边为，若，则点是的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式2-2】（2022·贵州安顺·统考模拟预测）已知O是平面上的一个定点，A､B､C是平面上不共线的三点，动点P满足，则点P的轨迹一定经过的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【变式2-3】（2023·湖北·模拟预测）在中，，，，且，若为的内心，则．【变式2-4】（2022·辽宁沈阳·高三校考阶段练习）已知，是其内心，内角所对的边分别，则（）A．B．C．D．【题型3三角形“外心”及应用】满分技巧常用外心向量式：O是∆ABC的外心，（1）（2）OA+OB∙AB=OB+OC∙BC=OA+OC∙AC=0（3）动点P满足OP=OB+OC2+λABABcosB+ACACcosC，λ∈0,+∞，则动点P的轨迹一定通过∆ABC的外心.（4）若OA+OB∙AB=OB+OC∙BC=OC+OA∙CA=0，则O是∆ABC的外心.【例3】（2023·四川成都·高三四川省成都列五中学校考期中）在中，动点P满足，则P点轨迹一定通过的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【变式3-1】（2023·广东佛山·佛山一中校考一模）在中，设，那么动点的轨迹必通过的（）A．垂心B．内心C．重心D．外心【变式3-2】（2023·河南·高三校联考阶段练习）已知点O为所在平面内一点，在中，满足学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，，则点O为该三角形的（）A．内心B．外心C．垂心D．重心【变式3-3】（2023·江苏·高三统考期末）中，为边上的高且，动点满足，则点的轨迹一定过的（）A．外心B．内心C．垂心D．重心【变式3-4】（2023·全国·高三专题练习）已知点是的内心、外心、重心、垂心之一，且满足，则点一定是的（）A．内心B．外心C．重心D．垂心【题型4三角形“垂心”及应用】满分技巧常见垂心向量式：O是∆ABC的垂心，则有以下结论：（1）OA∙OB=OB∙OC=OC∙OA（2）OA2+BC2=OB2+CA2=OC2+AB2（3）动点P满足，λ∈0,+∞，则动点P的轨迹一定过∆ABC的垂心（4）奔驰定理推论：S∆BOC:S∆COA:S∆AOB=tanA:tanB:tanC，tanA∙OA+tanB∙OB+tanC∙OC=0.【例4】（2023·全国·高三专题练习）设为的外心，若，则点是的（）A．重心B．内心C．垂心D．外心【变式4-1】（2022·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）是所在平面上一点，若，则是的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心【变式4-2】（2023·全国·高三专题练习）若为所在平面内一点，且则点是的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式4-3】（2023·上海·高三行知中学校考期中）在四面体中，已知，若不是等边三角形，且点在平面上的投影位于内，则点是的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心【变式4-4】（2022·全国·高三专题练习）设H是的垂心，且，则．【题型5奔驰定理及应用】满分技巧奔驰定理及其推论1、奔驰定理：O是内的一点，且，则2、奔驰定理推论：，则①②，，.由于这个定理对应的图象和奔驰车的标志很相似，我们把它称为“奔驰定理”．3、对于三角形面积比例问题，常规的作法一般是通过向量线性运算转化出三角形之间的关系。但如果向量关系符合奔驰定理的形式，在选择填空题当中可以迅速的地得出正确答案。【例5】（2022·全国·高三专题练习）点为内一点，若，设，则实数和的值分别为（）A．，B．，C．，D．，【变式5-1】（2022·安徽·芜湖一中校联考三模）平面上有及其内一点O，构成如图所示图形，若将，，的面积分别记作，，，则有关系式．因图形和奔驰车的很相似，常把上述结论称为“奔驰定理”．已知的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若满足，则O为的（）A．外心B．内心C．重心D．垂心学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式5-2】（2024·江西新余·高三统考期末）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论．奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联．它的具体内容是：已知M是内一点，，，的面积分别为，，，且．以下命题正确的有（）A．若，则M为的重心B．若M为的内心，则C．若M为的垂心，，则D．若，，M为的外心，则【变式5-3】（2023·河北保定·高三校联考阶段练习）（多选）“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的标志很相似，所以形象地称其为“奔驰定理”．奔驰定理：已知是内一点，，，的面积分别为，，，则．设是内一点，的三个内角分别为，，，，，的面积分别为，，，若，则以下命题正确的有（）A．B．有可能是的重心C．若为的外心，则D．若为的内心，则为直角三角形【变式5-4】（2024·广东广州·执信中学校考模拟预测）（多选）“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.奔驰定理与三角形四心（重心、内心、外心、垂心）有着神秘的关联.它的具体内容是：已知是内一点，的面积分别为，且.以下命题正确的有（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．若，则为的重心B．若为的内心，则C．若，为的外心，则D．若为的垂心，，则（建议用时：60分钟）1．（2022·云南·云南民族大学附属中学校考模拟预测）已知是平面内一点，，，是平面内不共线的三点，若，一定是的（）A．外心B．重心C．垂心D．内心2．（2022·山西太原·高三统考期中）已知点在所在平面内，满，，则点依次是的（）A．重心，外心B．内心，外心C．重心，内心D．垂心，外心3．（2022·全国·高三专题练习）在△中，，，，O为△的内心，若，则（）A．B．C．D．4．（2023·江苏镇江·高三统考期中）已知中，点为所在平面内一点，则“”是“点为重心”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件5．（2024·全国·高三专题练习）已知为所在平面内一点，是的中点，动点满足，则点的轨迹一定过的（）A．内心B．垂心C．重心D．边的中点6．（2022·浙江·高三慈溪中学校联考期中）已知中，点为边中点，点为所在平面内一点，则“”为“点为重心”（）条件A．充分不必要B．必要不充分C．充要D．既不充分也不必要7．（2023·全国·高三专题练习）已知是平面上的一定点，是平面上不共线的三个点，动点学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 满足，，则动点的轨迹一定通过的（）A．重心B．外心C．内心D．垂心8．（2022·全国·高三专题练习）若在所在的平面内，且满足以下条件，则是的（）A．垂心B．重心C．内心D．外心9．（2023·辽宁抚顺·校考模拟预测）在锐角三角形ABC中，，，H为的垂心，，O为的外心，且，则（）A．9B．8C．7D．610．（2023·全国·高三专题练习）已知的三个内角分别为为平面内任意一点，动点满足则动点P的轨迹一定经过的（）A．重心B．垂心C．内心D．外心11．（2022·辽宁·高三辽宁实验中学校考期中）数学家欧拉于1765年在其著作《三角形中的几何学》首次指出：△ABC的外心O，重心G，垂心H，依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为欧拉线.若AB=4，AC=2，则下列各式不正确的是（）A．B．C．D．12．（2022·河北石家庄·石家庄二中校考模拟预测）数学家欧拉于年在他的著作《三角形的几何学》中首次提出定理：三角形的外心､重心､垂心依次位于同一条直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，该直线被称为三角形的欧拉线，设点分别为任意的外心､重心､垂心，则下列各式一定正确的是（）A．B．C．D．13．（2022·安徽蚌埠·统考模拟预测）已知点P是的重心，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．14．（2022·江西·高三校联考阶段练习）奔驰定理：已知点O是内的一点，若的面积分别记为，则．“奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿车的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”．如图，已知O是的垂心，且，则（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．15．（2023·湖北荆州·高三公安县车胤中学校考阶段练习）（多选）点O在所在的平面内，则以下说法正确的有（）A．若，则点O是的重心B．若，则点O是的内心C．若，则点O是的外心D．若，则点O是的垂心16．（2023·江苏南京·高三南京市第二十九中学校考阶段练习）（多选）已知为所在的平面内一点，则下列命题正确的是（）A．若为的垂心，，则B．若为锐角的外心，且，则C．若，则点的轨迹经过的重心D．若，则点的轨迹经过的内心17．（2023·辽宁·高三朝阳市第一高级中学校联考阶段练习）（多选）在所在的平面上存在一点，，则下列说法错误的是（）A．若，则点的轨迹不可能经过的外心B．若，则点的轨迹不可能经过的垂心C．若，则点的轨迹不可能经过的重心D．若，，则点的轨迹一定过的外心18．（2023·全国·高三专题练习）（多选）在所在平面内有三点，，，则下列说法正确的是（）A．满足，则点是的外心B．满足，则点是的重心C．满足，则点是的垂心学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 D．满足，且，则为等边三角形19．（2023·安徽·高三校联考阶段练习）若是的垂心，且，则的值为．20．（2023·全国·高三专题练习）在中，给出如下命题:①是所在平面内一定点，动点满足，，则动点的轨迹一定过的重心．②是所在平面内一定点，动点满足，，则动点的轨迹一定过的内心．③是所在平面内一定点，且，则．④若，且，则是等边三角形．其中正确的命题有个．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司