重难点2-5 利用导数研究零点与隐零点（7题型+满分技巧+限时检测）（原卷版）.docx

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重难点2-5利用导数研究零点与隐零点导数综合问题中的零点问题在高考中常以解答压轴题的形式出现。主要包含函数零点个数判断与证明。主要考查：根据函数的零点个数或零点情况求参数的取值范围、与零点相关的不等式恒成立或证明问题等，在高考中难度偏大。【题型1判断函数零点的个数】满分技巧1、判断函数零点个数的常用方法（1）直接研究函数，求出极值以及最值，画出草图。函数零点的个数问题即是函数图象与轴交点的个数问题．（2）分离出参数，转化为，根据导数的知识求出函数在某区间的单调性，求出极值以及最值，画出草图．函数零点的个数问题即是直线与函数图象交点的个数问题．只需要用a与函数的极值和最值进行比较即可．2、处理函数与图像的交点问题的常用方法（1）数形结合，即分别作出两函数的图像，观察交点情况；（2）将函数交点问题转化为方程根的个数问题，也通过构造函数，把交点个数问题转化为利用导数研究函数的单调性及极值，并作出草图，根据草图确定根的情况.【例1】（2023·湖北荆门·高三荆门市龙泉中学校联考阶段练习）的零点的个数为（）A．0B．1C．2D．3【变式1-1】（2023·四川成都·高三成都列五中学校考期末）函数的图象与直线的交点个数为.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2024·云南德宏·高三统考期末）已知函数，则函数的零点个数为（）A．4B．5C．6D．7【变式1-3】（2023·四川攀枝花·统考一模）已知定义在上的奇函数恒有，当时，，已知，则函数在上的零点个数为（）A．4B．5C．3或4D．4或5【题型2讨论证明函数零点的个数】满分技巧证明函数零点个数的方法与判断零点个数的方法相似，多在解答题中进行考察。利用函数零点存在定理：先用该定理判定函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值（最值）及区间端点值的符号，进而判断函数在该区间上零点的个数。注意：单调性+零点存在=唯一零点【例2】（2023·黑龙江·高三校联考阶段练习）已知函数，，且函数的零点是函数的零点．（1）求实数a的值；（2）证明：有唯一零点．【变式2-1】（2023·全国·高三校联考开学考试）已知函数．（1）求曲线在处的切线；（2）若对任意，当时，证明函数存在两个零点．【变式2-2】（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知函数，其中．（1）若的极小值为，求单调增区间；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （2）讨论的零点个数．【变式2-3】（2023·全国·重庆市育才中学校联考模拟预测）已知函数．（1）若是的极值点，求；（2）讨论函数的零点个数．【题型3根据函数零点个数求参数】满分技巧1、分离参数后，将原问题转化为的值域（最值）问题或转化为直线与的图象的交点个数问题（优先分离、次选分类）求解；2、利用函数零点存在定理构造不等式求解；3、转化为两个熟悉的函数图象的位置关系问题，从而构建不等式求解。【例3】（2024·重庆·统考一模）（多选）已知函数，则在有两个不同零点的充分不必要条件可以是（）A．B．C．D．【变式3-1】（2024·甘肃·高三统考阶段练习）已知函数若函数有3个零点，则的取值范围为（）A．B．C．D．【变式3-2】（2023·宁夏石嘴山·高三石嘴山市第三中学校考期中）已知函数（1）求曲线在处的切线方程（2）若函数在区间上恰有两个不同的零点，求实数的取值范围学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式3-3】（2024·湖北武汉·高三统考期末）已知函数，.（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）若有且仅有1个零点，求的取值范围.【题型4max、min函数的零点问题】【例4】（2022·江苏徐州·高三期末）设，若函数有且只有三个零点，则实数的取值范围为（）A．B．C．D．【变式4-1】（2022·山西朔州·高三怀仁市第一中学校校考期末）已知函数.（1）若过点可作的两条切线，求的值.（2）用表示中的最小值，设函数，讨论零点的个数.【变式4-2】（2022·福建龙岩·高三福建省龙岩第一中学校考期中）已知函数，，其中.（1）讨论函数的单调性；（2）用表示m，n的最大值，记，讨论函数的零点个数【变式4-3】（2023·四川南充·统考三模）已知函数，其中为自然对数的底数.（1）当时，求函数的极值；（2）用表示，中的最大值，记函数，当时，讨论函数在上的零点个数.【题型5导数与三角函数的零点问题】学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 满分技巧有关三角函数的零点问题处理主要手段有：（1）分段处理；（2）讨论好单调性与端点（特殊点），注意高阶函数的应用，直接能清楚判断所讨论区间的单调性；（3）关注有关三角函数不等式放缩，有时候可优化解题，避免繁杂的找点过程：；；【例5】（2024·陕西·校联考一模）已知函数．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）讨论在区间上的零点个数，【变式5-1】（2024·全国·模拟预测）已知函数．（1）若，求证：当时，（2）若，求证：在上有且仅有三个零点，，（），且．【变式5-2】（2023·甘肃兰州·高三兰化一中校考期末）已知函数（1）当时，求函数的单调区间;（2）当时，试判断函数零点的个数，并加以证明.【变式5-3】（2024·湖南邵阳·统考一模）已知函数.（1）讨论的单调性；（2）设，求证：当时，恰有两个零点.【题型6不含参函数的“隐零点”问题】满分技巧1、不含参函数的“隐零点”问题的解策略：已知不含参函数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有：①关系式成立；②注意确定的合适范围.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 2、“虚设零点”的具体操作方法：第一步：用零点存在性定理判定导函数零点的存在性，列出零点方程，并结合的单调性得到零点的范围；这里应注意，确定隐性零点范围的方式是多种多样的，可以由零点的存在性定理确定，也可以由函数的图象特征得到，甚至可以由题设直接得到，等等；至于隐性零点范围精确到多少，由所求解问题决定，因此必要时尽可能缩小其范围；第二步：以零点为分界点，说明导函数的正负，进而得到的最值表达式；这里应注意，进行代数式的替换过程中，尽可能将目标式变形为整式或分式，那么就需要尽可能将指、对数函数式用有理式替换，这是能否继续深入的关键；第三步：将零点方程适当变形，整体代入最值式子进行化简证明；有时候第一步中的零点范围还可以适当缩小．导函数零点虽然隐形，但只要抓住特征(零点方程)，判断其范围(用零点存在性定理)，最后整体代入即可．（即注意零点的范围和性质特征）【例6】（2024·浙江宁波·高三统考期末）已知函数，其中．（1）当时，求曲线在处的切线方程；（2）记为的导函数，若对，都有，求的取值范围．【变式6-1】（2024·河北邢台·高三统考期末）已知函数．（1）求曲线在点处的切线方程；（2）证明：．【变式6-2】（2024·陕西安康·安康中学校联考模拟预测）已知函数．（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）当时，不等式恒成立，求整数的最大值．【变式6-3】（2024·四川成都·高三树德中学校考期末）已知函数，.（1）若函数只有一个零点，求实数的取值所构成的集合；（2）已知，若，函数的最小值为，求的值域.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【题型7含参函数的“隐零点”问题】满分技巧含参函数的“隐零点”问题解题策略：已知含参函数，其中为参数，导函数方程的根存在，却无法求出，设方程的根为，则有①有关系式成立，该关系式给出了的关系；②注意确定的合适范围，往往和的范围有关.【例7】（2024·吉林长春·东北师大附中校联考模拟预测）已知（其中为自然对数的底数）.（1）当时，求曲线在点处的切线方程，（2）当时，判断是否存在极值，并说明理由；（3），求实数的取值范围.【变式7-1】（2024·江苏·徐州市第一中学校联考模拟预测）已知函数，其中．（1）若，证明；（2）讨论的极值点的个数．【变式7-2】（2024·河南焦作·高三统考期末）（1）求函数的极值；（2）若，证明：当时，．【变式7-3】（2024·全国·高三专题练习）函数（1）当时，讨论函数的单调性；（2）当时，证明：.（建议用时：60分钟）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 1．（2022·河南·高三校联考期末）若函数恰好有两个零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．2．（2022·全国·模拟预测）已知函数恰有2个不同的零点，则实数a的取值范围为（）A．B．C．D．3．（2024·广西·模拟预测）若函数在上有两个不同的零点，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．4．（2023·广东中山·高三校考阶段练习）设函数，，.（1）求函数的单调区间；（2）当时，讨论与图象的交点个数．5．（2023·四川绵阳·统考模拟预测）函数．（1）若为奇函数，求实数的值；（2）已知仅有两个零点，证明：函数仅有一个零点．6．（2023·湖北黄冈·黄冈中学校考三模）已知函数．（1）当时，求函数在上的极值；（2）用表示中的最大值，记函数，讨论函数在上的零点个数．7．（2023·全国·高三专题练习）已知函数.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （1）若，证明：当时，；（2）若在有一个零点，求.8．（2023·安徽蚌埠·高三固镇县第二中学校考阶段练习）已知函数.（1）当时，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数有两个不同的零点，求实数的取值范围.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司