热点3-1 同角三角函数基本关系诱导公式与三角恒等变换（8题型满分技巧限时检测）解析版.docx

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热点3-1同角三角函数基本关系、诱导公式与三角恒等变换基本关系式、诱导公式与三角恒等变换是三角函数化简求值的基础，是高考中的一个必考内容。一般以选择题、填空题的形式出现，难度中等或偏下；但在三角函数的解答题中有时也会涉及到合并化简。【题型1正、余弦齐次式的计算】满分技巧1、弦化切：把正弦、余弦化成切的结构形式，统一为“切”的表达式，进行求值．常见的结构有：（1）sinα，cosα的二次齐次式(如asin2α＋bsinαcosα＋ccos2α)的问题常采用“切”代换法求解；（2）sinα，cosα的齐次分式的问题常采用分式的基本性质进行变形．2、切化弦：利用公式tanα＝，把式子中的切化成弦．一般单独出现正切的时候，采用此技巧．【例1】（2024·四川攀枝花·统考二模）若角的终边经过点，则的值为（）A．B．C．D．【答案】A【解析】根据的终边经过点，则，则故选：A【变式1-1】（2023·陕西汉中·高三校联考阶段练习）若，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】.故选：B学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式1-2】（2023·四川成都·统考一模）已知，且，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由题设，所以，且，故，即，所以.故选：B【变式1-3】（2023·西藏林芝·高三统考期末）若，且，则．【答案】【解析】因为，，所以.【变式1-4】（2023·河北沧州·高三校联考阶段练习）已知，则．【答案】【解析】因为，所以，所以.【题型2sina±cosa与sina·cosa关系】满分技巧对于sinα＋cosα，sinα－cosα，sinαcosα这三个式子，知一可求二，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 若令sinα＋cosα＝t(t∈[－，])，则sinαcosα＝，sinα－cosα＝±(注意根据α的范围选取正、负号)，体现了方程思想的应用．【例2】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知是三角形的一个内角，满足，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，两边平方得，即，可得，因为是三角形的一个内角，且，所以，所以，得，又因为，，联立解得：，，故有：，从而有．故选：B．【变式2-1】（2023·云南·高三校联考阶段练习）已知，且，则下列结果正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以，故A错误；因为，又，所以，所以，故B正确；，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 又，所以所以，故C错误；联立解得，所以，故D错误；故选：B.【变式2-2】（2023·山东德州·高三德州市第一中学校考开学考试）已知，A为第四象限角，则等于（）A．B．C．D．【答案】C【解析】可得，..又  A为第四象限角，又，所以，，所以.故选：C.【变式2-3】（2023·江苏连云港·高三东海县第二中学校考阶段练习）函数y＝sinx＋cosx－sinxcosx的值域为．【答案】[－，1]【解析】，令，则，，因为函数在上单调递增，上单调递减，所以当时取得最大值，，当时取得最小值，，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以函数的值域为.【变式2-4】（2023·黑龙江哈尔滨·高三哈尔滨三中校考阶段练习）已知，是关于的一元二次方程的两根．（1）求的值；（2）若，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由已知得①，②，将①两边同时平方得，则，所以；（2）∵，，，∴，，∴，.【题型3诱导公式化简求值】满分技巧利用诱导公式化简求值的解题策略1、条件求值问题的策略（1）条件求值问题，首先要仔细观察条件与所求式之间的角、函数名称及有关运算之间的差异及联系．（2）将已知式进行变形向所求式转化，或将所求式进行变形向已知式转化．2、给值求角问题，先通过化简已给的式子得出某个角的某种三角函数值，再结合特殊角的三角函数值逆向求角．3、观察互余、互补关系：如－α与＋α，＋α与－α，－α与＋α等互余，＋θ与－θ，＋θ与－θ等互补，遇到此类问题，不妨考虑两个角的和，要善于利用角的变换来解决问题．【例3】（2023·宁夏银川·高三校联考阶段练习）在平面直角坐标系中，在在角终边上，则的值为（）A．B．C．D．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】B【解析】依题意，，所以.故选：B【变式3-1】（2023·重庆荣昌·高三重庆市荣昌中学校校考阶段练习）下列化简正确的是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】对于A，由诱导公式得，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选：B.【变式3-2】（2023·安徽·高三校联考期末）若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，得到，所以，故选：D.【变式3-3】（2024·全国·模拟预测）已知，则（）A．B．2C．D．【答案】A【解析】令，则，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 从而.故选：A.【变式3-4】（2023·上海闵行·高三文来中学校考期中）若，则．【答案】【解析】因为，所以.【题型4同角关系与诱导公式综合应用】【例4】（2023·重庆永川·高三永川北山中学校校考期中）已知，，则（）A．B．C．3D．【答案】B【解析】由，即，又，解得，.故选：B.【变式4-1】（2023·陕西西安·高三校考阶段练习）已知，则等于（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．1B．－C．D．－【答案】D【解析】因为，所以，又因为，故选:D.【变式4-2】（2023·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）若，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，则，所以，，联立，解得，因此，，故选：B.【变式4-3】（2024·山西运城·高三校考期末）已知角的终边经过点，则（）A．B．C．D．1【答案】C【解析】因为角的终边经过点，则，则，故选：C.【变式4-4】（2023·甘肃兰州·高三校考阶段练习）已知，且为第三象限角．（1）求的值；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （2）求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，且为第三象限角，结合可知.（2）由诱导公式可知，，，，因此由题意有.【题型5三角恒等变换之给角求值】满分技巧给角求值问题一般所给出的角都是非特殊角，从表面上看是很难的，但仔细观察非特殊角与特殊角之间总有一定的关系，解题时，要利用观察得到的关系，结合公式转化为特殊角并且消除特殊角三角函数而得解。【例5】（2022·江苏常州·高三校联考阶段练习）（多选）下列化简正确的是（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】对于选项A：，故A正确；对于选项B：，故B正确．对于选项C：，故C错误．对于选项D：，故D错误.故选：AB．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式5-1】（2024·湖北·校联考模拟预测）在中，已知，则（   ）A．3B．2C．D．1【答案】A【解析】因为，所以，又，所以，得到，整理得，所以，故选：A.【变式5-2】（2024·黑龙江牡丹江·高三牡丹江市第二高级中学校联考期末）（）A．1B．C．D．2【答案】C【解析】原式，故选：C.【变式5-3】（2023·重庆·统考模拟预测）式子化简的结果为（）A．B．C．D．【答案】B【解析】原式.故选：B.【变式5-4】（2024·安徽合肥·高三合肥一中校考期末）求值：（）A．B．C．1D．【答案】D【解析】学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，．故选：D．【题型6三角恒等变换之给值求值】满分技巧1、“给值求值”关键是找出已知式与待求式之间的联系及函数的差异.①一般可以适当变换已知式，求得另外函数式的值，以备应用;②变换待求式，便于将已求得的函数值代入，从而达到解题的目的.2、“凑配角”：用已知角和特殊角将所求角表示出来，例如：等.【例6】（2024下·福建·高三校联考开学考试）已知，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，有．故选：B．【变式6-1】（2022·安徽安庆·安庆一中校考三模）已知，，则（）A．B．C．D．【答案】B学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】由得，，而，故，故选：B【变式6-2】（2023·河北邯郸·高三校考阶段练习）已知，满足，，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因，则，又，则，得.因，则.又，则，结合，则，得，则.又注意到，则.故选：B【变式6-3】（2024·江苏扬州·高三统考期末）已知，则（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．0B．C．D．1【答案】A【解析】已知，则，，，，则，，则.故选：A.【变式6-4】（2023·广西·模拟预测）已知，，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，故，又，故，，.故选：D.【题型7三角恒等变换之给值求角】满分技巧“给值求角”实质就是转化为“给值求值”.解决此类题的关键是：（1）求值：求出所求角的某种三角函数值.（2）界定范围：根据题设（隐含条件）确定所求角的取值范围.（3）求角：由所得函数值结合函数的单调性及角的取值范围确定角的大小.【例7】（2023·贵州铜仁·高三思南中学校考阶段练习）已知，且和均为钝角，则的值为（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．或D．【答案】D【解析】∵和均为钝角，∴，．∴．由和均为钝角，得，∴．故选：D【变式7-1】（2024·山西太原·高三统考期末）已知，，且，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知，，∴．故选：C．【变式7-2】（2023·湖北武汉·高三武汉市第六中学校考阶段练习）已知、是方程的两个根，且，则等于（）A．B．C．或D．或【答案】B【解析】方程中，，则，于是，显然，又，则有，，所以.故选：B【变式7-3】（2022·山东青岛·高三青岛二中校考期中）已知，，，，则（）A．B．C．D．【答案】A学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】因为，则，因为，则，可得，因为，则，，所以，，，所以，，所以，.故选：A.【变式7-4】（2023·全国·模拟预测）已知，均为锐角，且，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】法一：因为，所以，所以，则，整理得，所以，又，均为锐角，所以，所以.法二：因为，所以，所以，所以，即，即，所以，又，均为锐角，所以，所以，故选：D．【题型8三角函数化简求值综合】学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 满分技巧三角函数式的化简遵循“三看”原则一看式中各角：通过把三角函数式中各角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，从而正确使用公式；二看函数名称：看函数名称之间的差异，从而确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征：分析结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“整式要因式分解”、“二次式配方”等。【例8】（2023·河南·高三阶段练习）已知．（1）求的值；（2）已知，求.【答案】（1）;（2）【解析】（1）原式，（2）由可知即；.【变式8-1】（2023·河南·信阳高中校联考模拟预测）已知函数.（1）若，求的值；（2）设，求函数的最小值.【答案】（1）；（2）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】（1）因为...（2）因为：，.所以：.设，则，且，所以：，当时，.所以的最小值为.【变式8-2】（2023·安徽·高三校联考阶段练习）已知函数．（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；（2）若，且，求的值．【答案】（1），；（2）【解析】（1）由题意知．故函数的最小正周期．令．解得．所以的单调递增区间为，（2）因为．又．所以，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 所以，所以．【变式8-3】（2023·贵州贵阳·高三贵阳一中校考阶段练习）已知.（1）若，求的值；（2）若且，求的值.【答案】（1）；（2）【解析】（1）由题意可得：，由已知，得，所以.（2）由，可知，则.因为，则，且，可得，则，所以.【变式8-4】（2023·山西太原·高三统考期中）已知函数.（1）求的单调递增区间和对称中心；（2）当时，，求的值.【答案】（1）递增区间为（），对称中心为（）；（2）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】（1），由（）得，所以的单调递增区间为（）；由（）得，所以的对称中心为（）；（2）由（1）可得，所以，因为，所以，所以，所以.（建议用时：60分钟）1．（2024·湖北武汉·武汉市第六中学校联考二模）若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，.故选：A2．（2024·甘肃·高三统考阶段练习）已知，则（）A．B．C．D．【答案】B【解析】因为，所以.故选：B3．（2023·山西吕梁·高三校联考阶段练习）已知，则（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】B【解析】．故选：B4．（2023·福建漳州·高三漳州三中校考阶段练习）已知，，，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】已知，则，则，又，则，即，又，，则．故选：C．5．（2023·江苏·高三泰州中学校联考阶段练习）若，则（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因为，即，整理可得，解得，且有因此，.故选：A.6．（2023·山东泰安·高三新泰市第一中学校考阶段练习）（）A．B．1C．D．2【答案】B【解析】，故选：B.7．（2022·河南·高三专题练习）已知，且，则（）A．B．C．D．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】D【解析】由已知得，即，解得或（舍去），又，得，故．（另解：由已知得，解得或（舍去），又，则，故．）故选：D．8．（2024·河北·高三校联考期末）设，若，则（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由已知得，故，因为，所以，故，解得，故选：C．9．（2024·陕西咸阳·校考模拟预测）若，则（）A．B．C．D．【答案】D【解析】因为，所以，对于A：若，则，故A错误；对于B：因为，，故B错误；对于C：因为，故C错误；对于D：因为，故D正确.故选：D.10．（2024·全国·模拟预测）若，则的值为（）A．B．C．D．【答案】C学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【解析】由已知，得，．又，所以．所以．所以．故选：C．11．（2023·河北石家庄·高三校考阶段练习）（多选）已知，，则（）A．B．C．D．【答案】BC【解析】由得，，则，因为，，所以，所以，由，解得，对于A，，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，因为，所以，则，，即，解得或（舍去），故C正确；对于D，，故D错误，故选：BC．12．（2023·福建·高三福建师大附中校考阶段练习）（多选）下列化简正确的是（）学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 A．B．C．D．【答案】BCD【解析】对于A，因为，所以，所以，故A错误；对于B，因为，所以，故B正确；对于C，设，因为，所以，因为，所以，所以，故C正确；对于D，，故D正确，故选：BCD．13．（2023·辽宁·高三校联考阶段练习）（多选）已知，下列说法正确的是（）A．B．C．D．【答案】AC【解析】因为，所以，所以为第一象限角或第三象限角．当为第一象限角时，，；当为第三象限角时，，，所以，故A项正确；；故B项错误；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，故C项正确；，当为第一象限角时，原式；当为第三象限角时，原式，故D项错误．故选：AC14．（2023·安徽安庆·高三安庆市第九中学校考阶段练习）（多选）下列等式中正确的是（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】对于选项A：，故A正确；对于选项B：，故B正确；对于选项C：，故C错误；对于选项D：，故D错误；故选：AB.15．（2023·江西宜春·高三上高二中校考阶段练习）已知，则【答案】【解析】由诱导公式得，故，由两角正切的和差公式得16．（2022·全国·高三校联考阶段练习）已知，，，，则.【答案】【解析】解法一：因为，，所以，，得，因为，所以，得.解法二：因为，，所以，，学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ，得，得.17．（2023·福建莆田·高三莆田第十中学校考阶段练习）若，则.【答案】【解析】因为，所以，所以.18．（2023·四川泸州·统考一模）已知函数．（1）求函数的最小正周期；（2）将函数图象向右平移个单位长度得到的图象，若，，求的值．【答案】（1）；（2）【解析】（1）因为，所以的最小正周期.（2）将函数图象向右平移个单位长度得到，则，所以，因为，所以，所以，所以.19．（2023·天津·高三校联考期中）已知函数，图象的两条相邻对称轴之间的距离为．（1）求的单调递减区间；（2）若，且，求的值．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【答案】（1）；（2）【解析】（1）由，因为图象的两条相邻对称轴之间的距离为，可得，即，所以，可得，令，解得，所以函数的单调递增区间为.（2）由，可得，因为，可得，所以，所以.20．（2023·陕西·高三校联考阶段练习）已知是方程的根.（1）求的值；（2）若是第四象限角，，求的值.【答案】（1）或；（2）【解析】（1）因为是方程的根，所以或（舍），则原式，由，所以是第三象限或第四象限角，若是第三象限角，则，此时；若是第四象限角，则，此时.故所求式子的值为或.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （2）由（1）知，当是第四象限角时，，由，得，所以.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司