同角三角函数基本关系与诱导公式.doc

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1、讲义编号3.2同角三角函数基本关系与诱导公式考纲要求1.理解同角三角函数的基本关系式：sin2x＋cos2x＝1，＝tanx.2．能利用单位圆中的三角函数线推导出±α，π±α的正弦、余弦、正切的诱导公式，并能灵活运用．知识梳理一、同角三角函数的基本关系式1．平方关系：sin2α＋cos2α＝1(α∈R)2．商数关系:tanα＝(α≠kπ＋，k∈Z)二、六组诱导公式组数一二三四五六角2kπ＋α(k∈Z)π＋α－απ－α－α＋α正弦sinα－sinα－sinαsinαcosαcosα余弦cosα－cosαcosα－cosαsinα－sinα正切tan

2、αtanα－tanα－tanα不要求不要求对于角“±α”(k∈Z)的三角函数记忆口诀“奇变偶不变，符号看象限”，意思是说±α，k∈Z的三角函数值等于“当k为奇数时，正弦变余弦，余弦变正弦；当k为偶数时，函数名不变，然后α的三角函数值前面加上当α为锐角时，原函数值的符号．”究疑点有人说sin(kπ－α)＝sin(π－α)＝sinα(k∈Z)，你认为正确吗？提示：不正确．当k＝2n(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin(2nπ－α)＝sin(－α)＝－sinα；当k＝2n＋1(n∈Z)时，sin(kπ－α)＝sin[(2n＋1)·π－α]＝sin(

3、2nπ＋π－α＝sin(π－α)＝sinα.典型例题【考点一】同角三角函数关系式的应用★1．（20099）若，则.【答案】【解析】本题主要考查简单的三角函数的运算.属于基础知识、基本运算的考查.由已知，在第三象限，∴，∴应填.★★2.（20119）在中。若b=5，，tanA=2，则sinA=____________；a=_______________。【答案】★★★3．已知sinα－cosα＝，则sinα·cosα＝________.答案：★★★4．已知α是三角形的角，且sinα＋cosα＝.(1)求tanα的值；(2)把用tanα表示出来，并求

4、其值．解：(1)法一：联立方程由①得cosα＝－sinα，将其代入②，整理得25sin2α－5sinα－12＝0.∵α是三角形角，∴，∴tanα＝－法二：∵sinα＋cosα＝，∴(sinα＋cosα)2＝()2，即1＋2sinαcosα＝，∴2sinαcosα＝－，∴(sinα－cosα)2＝1－2sinαcosα＝1＋＝.∵sinαcosα＝－<0，且0<α<π，∴sinα>0，cosα<0，∴sinα－cosα>0，∴sinα－cosα＝，由，得，∴tanα＝－..(2)＝＝＝.∵tanα＝－，∴＝＝＝－.【变式之作】★★（2009卷）已知

5、，则（A）（B）（C）（D）【解析】＝＝【答案】D[归纳领悟]1．利用sin2α＋cos2α＝1可以实现角α的正弦、余弦的互化，利用＝tanα可以实现角α的弦切互化．2.应用公式时注意方程思想的应用：对于sinα＋cosα，sinαcosα，sinα－cosα这三个式子，利用(sinα±cosα)2＝1±2sinαcosα，可以知一求二．3．应用sin2α＋cos2α＝1求sinα或cosα时，特别注意角α的三角函数值的符号，符号规律：“一全正，二正弦，三正切，四余弦”．4．注意公式逆用及变形应用：1＝sin2α＋cos2α，sin2α＝1－co

6、s2α，cos2α＝1－sin2α.【考点二】诱导公式的应用★1．（2010全国卷1）(1)(A)(B)-(C)(D)1.C【命题意图】本小题主要考查诱导公式、特殊三角函数值等三角函数知识【解析】★2.（2009全国卷Ⅰ）的值为(A)(B)(C)(D)【解析】本小题考查诱导公式、特殊角的三角函数值，基础题。解：，故选择A。★★3．已知tanθ＝2，则＝(　　)A．2B．－2C．0D.解析：＝＝＝＝＝－2.答案：B★★★4．求值：sin(－1200°)·cos1290°＋cos(－1020°)·sin(－1050°)＋tan945°.解：原式＝－s

7、in1200°·cos1290°＋cos1020°·(－sin1050°)＋tan945°＝－sin120°·cos210°＋cos300°·(－sin330°)＋tan225°＝(－sin60°)·(－cos30°)＋cos60°·sin30°＋tan45°＝×＋×＋1＝2.★★★5．化简(1)＋；(2)，k∈Z.解：(1)原式＝＋＝＋＝.(2)当k为偶数时，记k＝2n(n∈Z)，原式＝＝＝＝－1；当k为奇数时，记k＝2n＋1(n∈Z)，原式＝＝＝＝－1.综上，原式＝－1.【变式之作】★★★已知cos(π＋α)＝－，且α是第四象限角，计算：(1

8、)sin(2π－α)；(2)(n∈Z)．解：∵cos(π＋α)＝－，∴－cosα＝－，cosα＝.又∵α是第四象限角，∴sinα＝－＝－