重难点3-2 解三角形的综合应用（8题型+满分技巧+限时检测）（原卷版）.docx

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重难点3-2解三角形的综合应用解三角形一直是高考数学中的热门考点，这类试题主要考查学生数形结合、等价转化、数学运算和逻辑推理的能力。一般为中等难度，但题目相对综合，涉及知识较多，可通过三角恒等变换、构造函数或构造基本不等式等方法加以解决。【题型1四边形中的解三角形问题】满分技巧四边形中的解三角形问题通常需将四边形分成多个三角形，观察各个三角形之间的关系，找出同角、共边的三角形，有时还需结合三角恒等变换。【例1】（2024·湖南娄底·高三统考期末）如图所示，在平面四边形中，角为钝角，且.（1）求钝角的大小；（2）若，求的大小.【变式1-1】（2024·云南昆明·统考一模）在中，，，.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （1）求的面积；（2）如图，，，求.【变式1-2】（2024·重庆·高三重庆八中校考开学考试）已知四边形的外接圆面积为，且为钝角，（1）求和；（2）若，求四边形的面积．【变式1-3】（2024·云南楚雄·楚雄彝族自治州民族中学模拟预测）如图，在四边形中，为的中点，，，，（1）求；（2）若，，求.【题型2解三角形中的中线应用】满分技巧1、中线长定理：在∆ABC中，AD是边BC上的中线，则AB2+AC2=2(BD2+AD2)【点睛】灵活运用同角的余弦定理，适用在解三角形的题型中2、向量法：AD2=14b2+c2+2bccosA【点睛】适用于已知中线求面积（已知BDCD的值也适用）.【例2】（2024·广东广州·广州六中校考三模）在中，角，，对应的边分别为，，且.（1）求角；（2），，点在上，，求的长.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【变式2-1】（2024·云南曲靖·高三校联考阶段练习）在中，内角所对应的边分别为，且满足．（1）求角；（2）若，且，求边的中线长．【变式2-2】（2024·浙江宁波·高三统考期末）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求；（2）若，BC边上的中线，求的面积．【变式2-3】（2024·重庆·统考一模）在梯形中，为钝角，，．（1）求；（2）设点为的中点，求的长．【变式2-4】（2024·全国·高三专题练习）在中，．（1）求的大小；（2）若，再从条件①、条件②、条件③这三个条件中选择一个作为已知，使存在，求边上中线的长．条件①：的面积为；条件②：；条件③：．【题型3解三角形中的垂线应用】满分技巧1、分别为边上的高，则2、求高一般采用等面积法，即求某边上的高，需要求出面积和底边长度高线两个作用：（1）产生直角三角形；（2）与三角形的面积相关。【例3】（2024·云南昆明·高三昆明一中校考阶段练习）在中，内角A，B，C满足学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 ．（1）求；（2）若边上的高等于，求．【变式3-1】（2024·福建·高三校联考开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求A；（2）过点A作的垂线与的延长线交于点D，，的面积为，求的周长．【变式3-2】（2024·江苏常州·高三统考期末）记的内角，，的对边分别为，，，边上的高为，已知．（1）若，求的值；（2）若，求的值．【变式3-3】（2024·江西赣州·高三统考期末）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，．（1）证明：；（2）记边AB和BC上的高分别为和，若，判断的形状．【变式3-4】（2024·全国·模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c且，过点A作，使得四边形ABCD满足，．（1）求角的大小；（2）若，求四边形的面积．【题型4解三角形中的角平分线应用】学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 满分技巧如图，在∆ABC中，AD平分∠BAC，角A、B，C所对的边分别问a，b，c1、利用角度的倍数关系：∠BAC=2∠BAD=2∠CAD2、内角平分线定理：AD为∆ABC的内角∠BAC的平分线，则ABAC=BDDC.说明：三角形内角平分线性质定理将分对边所成的线段比转化为对应的两边之比，再结合抓星结构，就可以转化为向量了，一般的，涉及到三角形中“定比”类问题，运用向量知识解决起来都较为简捷。3、等面积法：因为S∆ABD+S∆ACD=S∆ABC，所以12c∙ADsinA2+12b∙ADsinA2=12bcsinA，所以b+cAD=2bccosA2整理的：AD=2bccosA2b+c（角平分线长公式）【例4】（2024·河北沧州·高三泊头市第一中学校联考期末）在中，.（1）求；（2）若，点在边上，平分，求的长.【变式4-1】（2024·广东湛江·高三统考期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，.（1）求角A；（2）作角A的平分线与交于点，且，求.【变式4-2】（2024·山东济南·高三统考期末）记的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且，．（1）求B，（2）的平分线交边于点D，且，求b．【变式4-3】（2024·浙江宁波·高三余姚中学校联考期末）在中，已知.（1）求的长；学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （2）若的平分线交点，求的最大值.【变式4-4】（2023·安徽·高三校联考期末）如图,在中,的平分线交边于点,点在边上,,,.  （1）求的大小;（2）若,求的面积.【题型5解三角形中的等分点应用】满分技巧当所三角形问题不再是中线、角平分线、垂线这些特殊情况时，要注意结合补角的三角函数关系以及同角不同三角形，利用正余弦定理建立方程解出未知量。【例5】（2024·山西太原·高三统考期末）在中，，，分别为内角的对边，点在线段上，，，的面积为.（1）当，且时，求；（2）当，且时，求的周长.【变式5-1】（2024·江苏苏州·高三统考期末）在中，角的对边分别为，已知.（1）求证：；（2）若点在边上，且，求的面积.【变式5-2】（2023·江苏扬州·高三统考阶段练习）如图，在中，角A，B，C所对的边分别为，，，且．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （1）求；（2）已知，为边上的一点，若，，求的长．【变式5-3】（2023·安徽·校联考模拟预测）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且.（1）求证：；（2）如图：点在线段上，且，求的值.【变式5-4】（2023·重庆沙坪坝·重庆八中校考模拟预测）已知，，分别为三个内角，，的对边，且．（1）求；（2）若，点在边上，，且，求．【题型6与三角值有关的最值范围】满分技巧三角形中的最值范围问题处理方法1、利用基本不等式求最值-化角为边余弦定理公式里有“平方和”和“积”这样的整体，一般可先由余弦定理得到等式，再由基本不等式求最值或范围，但是要注意“一正二定三相等”，尤其是取得最值的条件。2、转为三角函数求最值-化边为角学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 如果所求整体结构不对称，或者角度有更细致的要求，用余弦定理和基本不等式难以解决，这时候可以转化为角的关系，消元后使得式子里只有一个角，变为三角函数最值问题进行解决。要注意三角形隐含角的范围、三角形两边之和大于第三边。【例6】（2024·全国·模拟预测）记的内角所对边分别为，已知．（1）证明：；（2）求的最小值．【变式6-1】（2024·河北邢台·高三统考期末）在锐角中，内角，，的对边分别为，，，已知．（1）求；（2）求的取值范围．【变式6-2】（2024·山东枣庄·高三统考期末）在中，角所对的边分别为.若.（1）求；（2）若为锐角三角形，求的取值范围.【变式6-3】（2023·湖南永州·统考二模）记三个内角的对边分别为，已知为锐角，．（1）求；（2）求的最小值．【变式6-4】（2023·重庆永川·高三重庆市永川北山中学校校考阶段练习）在中，角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且.（1）求角的大小；（2）求的取值范围.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 【题型7与边或周长有关的最值范围】【例7】（2022·河南·高三专题练习）已知中，角所对的边分别为，若，且，则的最小值为（）A．B．C．D．【变式7-1】（2022·全国·高三专题练习）在中，内角，，所对的边分别为，，，若，，则的最大值为（    ）A．B．C．D．【变式7-2】（2024·广东汕头·金山中学校考模拟预测）在①，②，③三个条件中任选一个补充在下列问题中，并解决该问题.在中，角所对的边分别为，__________，且.求：（1）；（2）周长的取值范围.【变式7-3】（2024·青海西宁·高三统考期末）在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且.（1）求的值；（2）若，求的取值范围.【变式7-4】（2023·江苏盐城·高三盐城中学校联考阶段练习）已知的内角的对边分别为，且的面积为（1）求；（2）求周长的最小值.【题型8与面积有关的最值范围】【例8】（2024·陕西咸阳·统考模拟预测）在中，内角，，的对边分别为，，，已知该三角形的面积．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （1）求角的大小；（2）若时，求面积的最大值．【变式8-1】（2024·四川成都·高三成都七中校考开学考试）在锐角中，角所对应的边分别为，已知．（1）求的值；（2）若，求面积的取值范围．【变式8-2】（2024·上海普陀·高三校考期末）在中，已知分别为的对边，且，，（1）求满足的表达式（2）如果，求出此时面积的最大值.【变式8-3】（2024·江西·高三校联考期末）如图，在△ABC中，，D为△ABC外一点，，记，.（1）求的值；（2）若的面积为，的面积为，求的最大值.【变式8-4】（2023·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）的内角A，B，C所对边分别为a，b，c，点O为的内心，记，，的面积分别为，，，已知，.（1）在①；②；③中选一个作为条件，判断是否存在，若存在，求出的周长，若不存在，说明理由.（注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分.）（2）若为锐角三角形，求面积的取值范围.学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 （建议用时：60分钟）1．（2023·广东深圳·高三校考期末）在平面四边形中，，，对角线与交于点，是的中点，（1）若，求的长；（2）若，求2．（2024·浙江·校联考一模）在中，内角所对的边分别是，已知．（1）求角；（2）设边的中点为，若，且的面积为，求的长．3．（2023·湖南长沙·高三统考阶段练习）已知中，．（1）求；（2）的平分线交于，求的长．4．（2023·江苏·高三校联考阶段练习）在中，内角，，所对边分别为，，，．（1）求的值；（2）若，，点在内部，且，，求的面积．5．（2024·广东·高三广东实验中学校联考期末）在中，角所对的边分别为学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 边上的高设为，且.（1）若，求的值；（2）求的取值范围.6．（2024·浙江绍兴·高三统考期末）在中，已知．（1）若，求的值；（2）已知中线交于，角平分线交于，且，，求的面积．7．（2024·全国·武钢三中校联考模拟预测）已知中，角，，所对的边分别为.（1）求的值；（2）若为线段上一点且满足平分，求的面积的取值范围.8．（2024·山东威海·高三统考期末）在中，角所对的边分别为记的面积为，已知.（1）求角的大小；（2）若，求的最大值.9．（2024·湖北·校联考模拟预测）在中，已知，D为的中点.（1）求A；（2）当时，求的最大值.10．（2024·四川成都·成都七中校考模拟预测）记钝角的内角的对边分别为．若学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司 为锐角且．（1）证明：；（2）若，求周长的取值范围．学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司学科网（北京）股份有限公司