浙江省杭十四中学2023-2024学年高二上学期期末数学试题 Word版含解析.docx

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2023-2024学年浙江省杭州十四中高二（上）期末数学试卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.每小题只有一个选项符合题意.1.已知集合，，则（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用二次不等式的解法解出集合，然后计算集合的交集.【详解】由，，所以，故选：D.2.若，则（）A.5B.C.D.3【答案】B【解析】【分析】由题意求，进而可求其模长.【详解】∵，则，则.故选：B.3.已知，则（　　）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用二倍角的余弦公式和诱导公式即可. 【详解】.故选：D.4.在中，是的中点，是的中点，若，则（）A.1B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据是的中点，，为的中点，得到，然后结合，求出的值.【详解】解：∵是的中点，，为的中点，∴，∵，∴，，∴，故选：D.5.中国明代商人程大位对文学和数学颇感兴趣，他于60 岁时完成杰作《直指算法统宗》．这是一本风行东亚的数学名著，该书第五卷有问题云：“今有白米一百八十石，令三人从上及和减率分之，只云甲多丙米三十六石，问：各该若干？”翻译成现代文为：今有白米一百八十石，甲、乙、丙三个人来分，他们分得的米数构成等差数列，只知道甲比丙多分三十六石，那么三人各分得多少石米？请你计算甲应该分得（）A.76石B.77石C.78石D.79石【答案】C【解析】【分析】设出未知数，列出方程组，求出答案.【详解】设甲、乙、丙分得的米数为x+d，x，x-d，则，解得：d=18，，解得：x=60，所以x+d=60+18=78（石）故选：C6.设函数在区间恰有三个极值点，则的取值范围为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由的取值范围得到的取值范围，再结合正弦定理的性质得到不等式组，解得即可.【详解】依题意可得，因为，所以，要使函数在区间恰有三个极值点，根据，图象：可得：，解得：，即.故选：B7.所有的顶点都在两个平行平面内的多面体叫做拟柱体，其中平行的两个面叫底面，其它面叫侧面，两底面之间的距离叫高，经过高的中点且平行于两个底面的截面叫中截面．似柱体的体积公式为，这里、为两个底面面积，为中截面面积，为高．如图，已知多面体中，是边长为的正方形，且，均为正三角形，，，则该多面体的体积为（　　） A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】依据割补法去求该多面体的体积即可解决.【详解】如图，分别过点，作的垂线，垂足分别为点，，连接，，容易求得，.取的中点，连接，易得，则，所以多面体体积.故选：B8.已知，分别为双曲线：的左，右焦点，点P为双曲线渐近线上一点，若，，则双曲线的离心率为（）A.B.C.D.2【答案】B【解析】【分析】由题可得，然后利用二倍角公式结合条件可得，然后根据离心率公式即得. 【详解】因为，为的中点，所以，，所以，又，，所以，所以.故选：B.二、多选题：本趣共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9.某市2022年经过招商引资后，经济收入较前一年增加了一倍，实现翻番，为更好地了解该市的经济收入的变化情况，统计了该市招商引资前后的年经济收入构成比例，得到如下扇形图：则下列结论中正确的是（）A.招商引资后，工资净收入较前一年增加B.招商引资后，转移净收入是前一年的1.25倍 C.招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和超过了该年经济收入的D.招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍【答案】AD【解析】【分析】根据已知条件及扇形图的特点即可求解.【详解】设招商引资前经济收入为，而招商引资后经济收入为，则对于A，招商引资前工资性收入为，而招商引资后的工资性收入为，所以工资净收入增加了，故A正确；对于B，招商引资前转移净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，转移净收入是前一年的倍，故B错误；对于C，招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和为，所以招商引资后，转移净收入与财产净收入的总和低于该年经济收入的，故C错误；对于D，招商引资前经营净收入为，招商引资后转移净收入为，所以招商引资后，经营净收入较前一年增加了一倍，故D正确.故选：AD.10.如图所示，在边长1为的正六边形中，下列说法正确的是（　　）A.B.C.D.【答案】ABC【解析】【分析】根据正六边形的性质，结合平面向量性运算性质、数量积的运算性质逐一判断即可.【详解】A：因为，所以本选项说法正确；B：因为 所以本选项说法正确；C：在正六边形中，共顶点的边和对角线夹角为，因为，所以本选项说法正确；D：在正六边形中，每个内角为因为，，所以本选项说法不正确，故选：ABC11.甲箱中有3个白球和3个黑球，乙箱中有2个白球和4个黑球．先从甲箱中随机取出一球放入乙箱中，再从乙箱中随机取出一球.以分别表示从甲箱中取出的是白球和黑球的事件，以分别表示从乙箱中取出的球是白球和黑球的事件，则下列结论正确的是（）A.事件与事件互斥B.事件与事件相互独立C.D.【答案】AD【解析】【分析】根据互斥事件、相互独立事件的概念判断A、B，根据古典概型的概率公式判断C，根据全概率公式判断D；【详解】解：对于A，每次取出球，事件与事件是互斥事件且是对立事件，故A正确；对于B，从甲箱中取出黑球，放入乙箱中，则乙箱黑球变为个，则取出白球概率发生变化，事件与事件不相互独立，故B错误；对于C，若从甲箱取出个黑球放入乙箱，这时乙箱黑球变为个，白球还是个，则，故C错误；对于D：因为，，，所以，故D正确．故选：AD．12.存在定义域为的函数满足（　　） A.是增函数，也是增函数B.是减函数，也是减函数C.奇函数，但是偶函数D.对任意的，，但【答案】AD【解析】【分析】根据复合函数单调性的判断方法判断AB；由奇函数定义判断C；特殊函数判断D.【详解】对于A，根据复合函数的单调性可知，因为是增函数，所以也是增函数，A正确；对于B，根据复合函数的单调性可知，因为是减函数，所以是增函数，B错误；对于C，因为是奇函数，则，所以，所以是奇函数，C错误；对于D，令，其定义域为，满足，但是，故D正确.故选：AD三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.的展开式中的系数为_____．【答案】【解析】【分析】写出展开式第项通式即可求解.【详解】因为展开式第项通式为，所以当时的系数为.故答案为：.14.已知直线l同时与圆和圆相切，请写出两条直线l的方程_____和_____． 【答案】①.（答案不唯一）②.（答案不唯一）【解析】【分析】根据直线与圆相切的性质，结合点到直线距离公式进行求解即可.【详解】由，设圆心为，半径为，由，设圆心为，半径为1，设直线l不存在斜率，此时方程设为：，因为直线l同时与圆和圆相切，所以有，此时直线l的方程为，当直线l存在斜率，此时方程设为：，因为直线l同时与圆和圆相切，所以或，所以此时切线方程为，或，即，或，故答案为：；15.已知点在抛物线上，过作的准线的垂线，垂足为，点为的焦点．若，点的横坐标为1，则_____．【答案】【解析】【分析】根据题意，联立方程组求得，得到直线的倾斜角为，结合斜率公式，列出方程，即可求解.【详解】如图所示，不妨设点在第一象限，因为点的横坐标为， 联立方程组，解得，即，又由，可得轴，因为，可得，所以直线的倾斜角为，因为抛物线的焦点为，则，整理得且，解得，即，解得或（舍去）.故答案为：.16.设函数的图象既关于点对称，又关于直线轴对称．当时，，则的值为_____．【答案】##【解析】【分析】根据函数的对称性，结合对数的运算法则进行求解即可.【详解】设函数的图象为，对任意的，令，则在上，因为的图象既关于点对称，又关于直线轴对称．所以由在上，可得，，都在上，而， 所以取，此时，故答案为：【点睛】关键点睛：本题的关键是利用函数的对称性.四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知内角A，B，C的对边分别为a，b，c，，且.（1）求边b的值；（2）若D为边BC的中点，，求的面积.【答案】（1）4（2）【解析】【分析】（1）根据正弦定理，找到边关系求解.(2)根据余弦定理，求出，再根据面积公式求解.【小问1详解】因为，由正弦定理得：，且，所以.【小问2详解】延长AD至点E，满足，连接EB，EC，在中，由余弦定理得：，因为，，代入上式整理得：，所以所以 18.在长方体中，点，分别在，上，且，．（1）求证：平面；（2）当，，且平面与平面的夹角的余弦值为时，求的长．【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）由正方体的性质得到平面，即可得到，结合，得到平面，从而得到，同理可证，即可得证；（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得【小问1详解】因为，平面，平面，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因为，平面，平面， 所以，又，平面，所以平面，又平面，所以，因为，平面，所以平面.【小问2详解】依题意，建立以为原点，以，，分别为，，轴的空直角坐标系，设，则，，，则，，，由（1）平面，所以平面的法向量为，设平面的法向量为，则，令，则，所以平面的法向量为，设平面与平面的夹角为，则，解得（负值舍去），所以平面与平面的夹角的余弦值为时. 19.为比较甲、乙两所学校学生的数学水平，采用简单随机抽样的方法抽取80名学生．通过测验得到了如表数据：学校数学成绩合计不优秀优秀甲校301040乙校202040合计503080（1）依据小概率值的独立性检验，分析两校学生中数学成绩优秀率之间是否存在差异；如果表中所有数据都扩大为原来的10倍．在相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论还一样吗？请你试着解释其中的原因．（2）据调查，丙校学生数学成绩的优秀率为30%，且将频率视为概率、现根据甲、乙、丙三所学校总人数比例依次抽取了24人，30人，30人进行调查访谈．如果已知从中抽到了一名优秀学生，求该名学生来自丙校的概率．附：临界值表：α0.10.050.010.0050.001xα2.7063.8416.6357.87910.828【答案】（1）答案见解析（2）【解析】 【分析】（1）由卡方公式进行求解即可；（2）利用全概率公式、条件概率公式进行求解即可.【小问1详解】因为，所以两校学生中数学成绩优秀率之间没有关系，所有数据都扩大10倍后：这时两校学生中数学成绩优秀率之间有关系，所以相同的检验标准下，再用独立性检验推断学校和数学成绩之间的关联性，结论不一样，主要是因为样本容量的不同，只有当样本容量越大时，用样本估计总体的准确性会越高.【小问2详解】抽取甲、乙、丙三所学校优秀学生人数分别为：，记分别为事件“抽到的学生来自甲、乙、丙学校”，为事件“抽到一名优秀学生”，则，，所以，所以从中抽到了一名优秀学生，该名学生来自丙校的概率为：.20.已知数列中，对任意的，都有.（1）若为等差数列，求的通项公式；（2）若，求数列的前n项和.【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）由为等差数列，设公差为d，又，可得，，于是可求得的值，即可得的通项公式；（2）根据，可得数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列；偶数项是首项为1公差为4的等差数列，再对项数分奇偶讨论，结合等差数列求和公式，即可数列的前n项和.小问1详解】解：因为为等差数列，设公差为d，又，可得：，，所以，解得：，，所以的通项公式为.【小问2详解】解：由条件，可得：，两式相减得：，因为，又，所以，所以数列的奇数项是首项为3，公差为4的等差数列；偶数项是首项为1公差为4的等差数列.所以当n为偶数时，；当n为奇数时，.综上：.21.已知椭圆过点，且离心率为 （1）求椭圆的方程；（2）、是椭圆上的两个动点，如果直线的斜率与的斜率互为相反数，证明直线的斜率为定值，并求出这个定值.【答案】（1）；（2）证明见解析，.【解析】【分析】（1）根据椭圆离心率的公式，结合代入法、椭圆中的关系进行求解即可；（2）设出直线方程与椭圆方程联立，求出、两点坐标，最后根据直线斜率的公式进行求解即可.【小问1详解】根据题意，，解得，椭圆的方程为：；【小问2详解】证明：设直线的方程为：，由，得显然是该方程的根，因此有，， 由题可知直线的方程为，同理可得，，直线的斜率为定值，且这个定值为.【点睛】关键点睛：利用一元二次方程根与系数关系求出两点坐标是解题的关键.22.设函数．（1）若，函数在的值域是，求函数的表达式；（2）令，若存在实数，使得|与|同时成立，求的取值范围【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）若，则，结合二次函数的图象和性质，求出，的表达式，进而可得函数的表达式；（2）由，结合二次函数的图象和性质分类讨论，最后综合讨论结果，可得答案.【小问1详解】若，则，且，，①当时，即，则，，所以；②当时，即，则，，所以； ③当时，即，，，所以;④当时，即，，，所以;所以函数的表达式为【小问2详解】由题可得，则的最小值为；①当时，，不满足题意；②当时，即时，由方程，即，由，得，，则当时，，而，故与必然不能同时满足在区间上，则不满足题意；③当，即时，由方程，即，由，得，，则当时，，而， 故必然存在与同时满足在区间上，则满足题意，即④当，即时，由方程，即，由，得，，由，得，,则当时，，而，有可能同时存在与满足条件，由于，则与若要同时满足条件，则必须满足，，故若同时存在与满足条件，则必须要求，而，解得，即；综上所述，.