安徽省滁州中学2023-2024学年高二上学期期末测试数学试题 Word版含解析.docx

《安徽省滁州中学2023-2024学年高二上学期期末测试数学试题 Word版含解析.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

安徽省滁州市滁州中学2023—2024学年高二上学期期末测试数学试卷考生注意：1.本试卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色，墨水签字笔将密封线内项目填写清楚.3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效.4.本卷命题范围：选择性必修一，选择性必修二.一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的.1.若直线经过、两点，则直线的倾斜角为（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】求出直线的斜率，结合直线倾斜角的取值范围可求得直线的倾斜角.【详解】由直线经过、两点，可得直线的斜率为，设直线的倾斜角为，有，又，所以.故选：C.2.在等比数列中，，，则公比（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】利用等比数列性质求解即可.【详解】由题知，解得.故选：A 3.已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数的值为（）A.3B.5C.6D.9【答案】B【解析】【分析】依题意，椭圆的焦点在轴上，由，即可求解.【详解】解：由已知可得椭圆的焦点在轴上，故，，，则，即.故选：B4.若函数在处有极值，则实数（）A.B.2C.1D.【答案】D【解析】【分析】由极值的定义得，即可求解，注意检验.【详解】解：因为，，在处有极值，所以，所以，解得.经检验当时，，当或时，；当时，，所以在，上单调递增，在上单调递减，函数在处有极大值，满足题意.故选：D5.已知，是平面的一个法向量，且是平面内一点，则点到平面的距离为（）A.B.C.D. 【答案】A【解析】【分析】利用空间向量法可求得点到平面的距离.【详解】由已知，是平面的一个法向量,则点到平面的距离为.故选：A.6.已知是函数的导函数，若函数的图象大致如图所示，则的极小值点为（）AB.C.D.【答案】D【解析】【分析】分析导数的符号变化，利用导数与函数极值点的关系可得出函数的极小值点.【详解】由的图象知，当时，，则，当时，，则，当时，，则，故的单调递增区间为、，单调递减区间为，故的极小值点为.故选：D.7.已知数列，，，且则数列的前项之和为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】 【分析】分析可知，数列的奇数项构成首项为，公差为的等差数列；数列的偶数项构成首项为，公差为的等差数列.利用等差数列的求和公式可求得数列的前项之和.【详解】当为奇数时，，，所以数列的奇数项构成首项为，公差为的等差数列；当为偶数时，，，所以数列的偶数项构成首项为，公差为的等差数列.所以，数列的前项和为：.故选：B.8.已知点，点是双曲线：左支上的动点，是圆：上的动点，则的最小值为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】利用圆的性质求出的最大值，由点与抛物线右支的位置求出的最小值，再利用双曲线定义求解即得.【详解】双曲线的半焦距，圆的圆心是双曲线的左焦点，令右焦点为，圆半径为，显然点在圆外，，当且仅当是的延长线与圆的交点时取等号，，当且仅当三点共线时取等号，由双曲线的定义，所以，即的最小值为.故选：D 【点睛】结论点睛：设为圆的圆心，半径为，圆外一点到圆上的距离的最小值为，最大值为.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知等比数列中，，公比，其前项和为，则下列说法中正确的是（）AB.C.D.【答案】ABD【解析】【分析】代入等比数列的通项公式和前项和公式，即可求解.【详解】，A正确；，故B正确；，故C错误；，故D正确.故选：ABD10.若直线与圆有公共点，则实数的取值可能是（）A.0B.2C.3D.4【答案】AB【解析】【分析】利用直线和圆的位置关系求解参数范围即可.【详解】直线恒过定点，圆的圆心为，半径为2，显然点在圆外，直线与圆有公共点，则圆心到直线的距离，解得. 故选：AB11.已知椭圆：的左、右焦点分别为，，直线与椭圆交于，两点，且点为线段的中点，则下列说法正确的是（）A.椭圆的离心率为B.的面积为1C.直线的方程为D.【答案】AC【解析】【分析】对A：根据椭圆方程求得，则离心率得解；对B：根据三角形面积公式以及点的坐标，则可求得结果；对C：利用点差法求得直线斜率，结合点坐标，即可求得直线方程；对D：联立直线与椭圆方程，利用弦长公式，借助韦达定理，即可求得.【详解】根据题意，作图如下：对A：由题知，，则，所以离心率为，A正确；对B：，B错误；对C:设，，则，，两式相减得，因为为线段的中点，所以，，所以，即直线的斜率为，所以直线的方程为，即，经检验符合题意，C正确； 对D：联立得，，；所以，D错误.故选：AC.12.已知函数为定义在上的奇函数，若当时，，且，则（）A.B.当时，C.D.不等式解集为【答案】ACD【解析】【分析】构造函数结合导数求出单调性，再结合奇偶性，分别判断各个选项即可.【详解】构造函数，其中，因为函数为定义在上的奇函数，则，所以，故函数偶函数，当时，，所以函数上单调递减，在上单调递增，因为，则，则.因为，所以，即，，故A正确；不妨取，则，，B错误；因为偶函数在上单调递增，则， 即，整理可得，C正确；当时，由可得，解得，当时，由可得，解得.综上所述，不等式解集为，D正确.故选：ACD.【点睛】方法点睛：构造函数，根据导函数判断函数的单调性，结合函数的奇偶性判断不等关系三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.已知为函数的导函数，则______.【答案】##【解析】【分析】求出导数后代入求值即可.【详解】由函数可得，故.故答案为：14.已知为等差数列，且，，则______.【答案】##1.5【解析】【分析】利用等差中项的性质求解即可.【详解】由等差中项性质得，解得.故答案为：15.已知双曲线的左、右焦点分别是、，离心率为，为双曲线上一点， （为坐标原点），则的面积为______.【答案】【解析】【分析】由双曲线的离心率可求得的值，可求得的值，推导出为直角，利用勾股定理结合双曲线的定义可求出的值，再利用三角形的面积公式可求得的面积.【详解】如图所示：因为双曲线的离心率，所以，，设点在双曲线的右支上，由，可得，，所以，，由双曲线定义可得，由勾股定理可得，所以，可得，因此的面积为.故答案为：.16.已知正四面体的棱长为4，空间内动点满足，则的最大值为______.【答案】【解析】【分析】利用空间向量的线性运算得到轨迹，再把目标式表示为函数，利用三角函数有界性求解即可. 【详解】设的中点为，因为动点满足，所以，即点在以为球心，以为半径的球面上.因为，所以.因为正四面体的棱长为4，所以，在三角形中，，.取的中点为，，所以在上的投影向量的模为，所以.设，夹角为，所以.因为，所以，即的最大值为.故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知等差数列的前项和为，，.（1）求数列的通项公式；（2）记，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）利用已知求解等差数列的基本量即可； （2）利用裂项相消法求和即可.【小问1详解】设等差数列的公差为，由，，得解得，，所以.【小问2详解】由（1）得，所以，所以.18.已知函数.（1）若函数在区间上单调递减，求实数的取值范围；（2）当，时，恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析可知，对任意的，，利用参变量分离法可知，对任意的恒成立，即可求得实数的取值范围；（2）由题意可知，当且时，，利用函数的单调性求出函数在 上的最大值，即可求得实数的取值范围.【小问1详解】解：因为在区间上单调递减，所以，对任意的，，所以，令，只需，所以实数的取值范围为.【小问2详解】解：由（1）知，时，，在上单调递减，则，对任意的，恒成立，则，则，故实数的取值范围为.19.已知数列的前项和为，，且.（1）求数列的通项公式；（2）若，求数列的前项和.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）分析题意，先利用定义判定等比数列，再求通项公式即可；（2）利用错位相减法求和即可.【小问1详解】由题意得，又，所以，所以是首项为3，公比为3的等比数列， 故.【小问2详解】由（1）知，则，①，②①与②两式相减得，故20.如图，在四棱锥中，平面，底面为直角梯形，，，，，点为中点，点为棱上靠近点的三等分点.（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）利用线面平行判定定理证明即可.（2）建立空间直角坐标系，利用线面角的向量求法求解即可.【小问1详解】在上取点，使得，连接，. 因为，，所以，所以，所以，因为，所以，因为，所以四边形为平行四边形，所以，又因为平面，平面，所以直线平面.【小问2详解】如图以为坐标原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，，，，，，，设平面的一个法向量为，则，令，则，，即，设与平面所成角，即，所以直线与平面所成角的正弦值为.21.设抛物线：（）的焦点为，点是抛物线上位于第一象限的一点，且 .（1）求抛物线的方程；（2）如图，过点作两条直线，分别与抛物线交于异于的，两点，若直线，的斜率存在，且斜率之和为0，求证：直线的斜率为定值.【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）代入抛物线的焦半径公式求，即可求抛物线的标准方程；（2）首先根据（1）的结果求点的坐标，设直线和的直线方程与抛物线方程联立，求得点的坐标，并表示直线的坐标，即可证明.【小问1详解】由抛物线的定义知，解得，所以抛物线的方程为.【小问2详解】因为点的横坐标为2，即，解得，故点的坐标为，由题意可知，直线，不与轴平行，设，，设直线：，即，代入抛物线的方程得，即，则，故，所以， 即设直线：，即，同理可得，则，即直线的斜率，所以直线的斜率为定值.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用直线与的斜率互为相反数，与抛物线方程联立，利用两根之和公式求点的坐标.22.已知函数.（1）求曲线在原点处的切线方程；（2）讨论在上的零点个数.【答案】22.23.2【解析】【分析】(1)由导数的几何意义进行求解；(2)求出函数的导数，当时，在上单调递减，，0是的一个零点；当时，进行二次求导结合零点存在性定理进行判断.【小问1详解】解：由已知可得，，则，，所以曲线在原点处的切线方程为，即.【小问2详解】由（1）知，.①当时，有，， 所以恒成立，所以在上单调递减，，0是的一个零点；②当时，，设，则恒成立，所以，即在上单调递增.又，，所以根据零点存在定理可知，，使得.当时，，所以在上单调递减；当时，，所以在上单调递增.又，所以.因为，根据零点存在定理可知，，使得.综上所述，在上的零点个数为2.