浙江省杭高三校2023-2024学年高一上学期期末数学试题 Word版含解析.docx

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杭高2023学年高一第一学期期末考试数学试卷1.本试卷分试题卷和答题卡两部分.本卷满分150分，考试时间120分钟.2.答题前务必将自己的学校、班级、姓名用黑色字迹的签字笔或钢笔填写在答题卡规定的地方.3.答题时，请按照答题卡上“注意事项”的要求，在答题卡相应的位置上规范答题，在本试题卷上答题一律无效.4.考试结束后，只需上交答题卡.第Ⅰ卷一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.若角终边上一点，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据三角函数的定义可求的值.【详解】因为，故，故，故选：C.2.已知，，，则的大小关系为（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】分别利用函数、和的单调性，对“，，”三个因式进行估值即可.【详解】因为函数是增函数，且，则，因为函数增函数，且，则，因为正弦函数在区间上是减函数，且， 所以，所以，故选：D.3.函数的单调递减区间是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】计算出函数定义域后结合复合函数的单调性计算即可得.【详解】由可得，，解得，故的定义域为，由为增函数，令，对称轴为，故其单调递减区间为，所以的单调递减区间为.故选：D.4.“且”是“”的（　　）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】A【解析】【分析】根据两者之间的推出关系可得条件关系.详解】若且，则，故成立，故“且”是“”的充分条件.若，则，故或， 故“且”不是“”的必要条件，故“且”是“”的充分不必要条件.故选：A.5.设函数.若，则等于（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】按照从内到外的原则，先计算的值，再代入，即可求出的值.【详解】由于函数，且，则，且，所以，即，得.故选：B.6.已知函数在上有且只有一个零点，则实数的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】D【解析】【分析】根据题意将零点问题转化为函数图象公共点问题进而求解答案即可.【详解】因为函数在上有且只有一个零点，所以，即在上有且只有一个实根，所以与的函数图象在时有一个公共点，由于在单调递减，所以，即. 故选：D7.已知在上单调递增，则的取值范围是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出取值范围，再由在上单调递增得，最后结合题意求出的取值范围即可.【详解】因，，所以，要使得在上单调递增，则，解得，又由题意可知，所以，故选：B8.中国早在八千多年前就有了玉器，古人视玉为宝，玉佩不再是简单的装饰，而有着表达身份、感情、风度以及语言交流的作用.不同形状.不同图案的玉佩又代表不同的寓意.如图1所示的扇形玉佩，其形状具体说来应该是扇形的一部分（如图2），经测量知，，，则该玉佩的面积为（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】取AD的中点为M，连接BM、CM，延长AB，CD交于点O ，利用平面几何知识得到扇形的圆心角，进而利用扇形面积公式和三角形的面积公式计算求得该玉佩的面积.【详解】如图，取AD的中点为M，连接BM，CM，延长AB，CD交于点O，由题意，△AOB为等腰三角形，又∵，∴AD//BC，又∵M为AD的中点，，∴AM与BC平行且相等，∴四边形ABCM为平行四边形，∴，同理，∴△ABM，△CDM都是等边三角形，∴△BOC是等边三角形，∴该玉佩的面积.故选：B.二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.9.已知函数的图象是连续不断的，且有如下对应值表：在下列区间中，函数必有零点的区间为（）A.B.C.D.【答案】BCD【解析】【分析】根据零点存在定理可判断零点所在区间.【详解】由所给的函数值表知，由零点存在定理可知：在区间内各至少有一个零点，故选：BCD. 10.设函数，若，函数是偶函数，则的值可以是（）A.B.C.D.【答案】BC【解析】【分析】由题意可得，结合偶函数的性质与计算即可得.【详解】，又其为偶函数，则图像关于轴对称，则，得，又，则或.故选：BC.11.已知函数.则下列说法正确的是（）A.B.函数的图象关于点对称C.对定义域内的任意两个不相等的实数，恒成立.D.若实数满足，则【答案】ABD【解析】【分析】选项A、B，先利用函数解析式得出结论：，由于，只需验证是否成立即可；选项B，需验证点和点关于点对称即可；选项C，利用复合函数单调性的“同增异减”的原则判断即可；选项D，将不等式转化为的形式，借助函数单调性判断即可. 【详解】对于A、B选项，对任意的，，所以函数定义域为，又因，由于，故A正确；由于函数满足，所以任意点和点关于点对称，故函数的图象关于点对称，故B正确；对于C选项，对于函数，，得该函数的定义域为，，即，所以函数为奇函数，当时，内层函数为增函数，外层函数为增函数，所以函数在上为增函数，故函数在上也为增函数，因为函数在上连续，故函数在上为增函数，又因为函数在上为增函数，故函数在上为增函数，故C不正确；对于D选项，由，得，因为实数a，b满足，所以，同时函数在上为增函数，可得，即，故D正确.故选：ABD.12.函数，有且，则下列选项成立的是（） A.B.C.D.【答案】ACD【解析】【分析】利用对数性质判断选项A；再利用零点存在定理判断得，从而判断选项B、C、D.【详解】因为有且所以，即，得所以，且所以A正确（因为），故即，令当时，当时，，而故在之间必有解，所以存在，使得所以C正确，所以B不正确，所以D正确故选：ACD 【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，20分.13.计算：____________.【答案】4【解析】【分析】根据题意，由换底公式代入计算，即可得到结果.【详解】××＝4.故答案为：14.写出一个同时满足以下三个条件①定义域不是R，值域是R；②奇函数；③周期函数的函数解析式___________.【答案】（答案不唯一）.【解析】【分析】联想正切函数可得结果.【详解】满足题意的函数为，（答案不唯一）.故答案为：，（答案不唯一）.15.已知为定义在R上的奇函数，且又是最小正周期为的周期函数，则的值为____________．【答案】##【解析】【分析】根据函数的周期和奇偶性得到，进而得到. 【详解】因为的最小正周期为，故，又为奇函数，故，故，即，解得，故.故答案为：16.对于任意实数，定义.设函数，，则函数的最大值是_______.【答案】【解析】【分析】画出和的图象，得到的图象，根据图象得到最大值.【详解】在同一坐标系中，作出函数的图象，依题意，的图象为如图所示的实线部分，令,则点为图象的最高点，因此的最大值为，故答案为：四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.17.已知.（1）求的值；（2）求的值. 【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据题意整理可得，进而可得结果；（2）根据齐次式问题分析求解，注意“1”的转化.【小问1详解】因为，整理得，所以；【小问2详解】因为，所以.18.已知集合，函数的定义域为集合．（1）求；（2）若，求时的取值范围．【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）解一次与二次不等式，结合具体函数定义域的求法化简集合，再利用交集的运算即可得解；（2）利用集合的并集结果即可得解.【小问1详解】集合，由，得或，则集合或，所以. 【小问2详解】因为，，则，故的取值范围是．19.已知，（1）求的最小正周期和对称轴方程；（2）求在闭区间上的最大值和最小值．【答案】（1）最小正周期为；对称轴方程为；（2），；【解析】【分析】（1）由正弦函数的性质计算可得；（2）由的取值范围，求出的取值范围，再由正弦函数的性质计算可得；【详解】解：（1）因为，所以最小正周期，令，解得，故函数的对称轴为（2）因为，所以，所以当，即时函数取得最大值，当，即时函数取得最小值20.已知函数为定义在上的偶函数，当时，.（1）求的解析式；（2）求方程的解集.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据偶函数的性质直接求解即可；（2）根据题意先求时符合题意的解，再结合偶函数对称性求出方程解集即可. 【小问1详解】因为函数为定义在上的偶函数，当时，，所以任取，则，此时，所以【小问2详解】当时，令，即，令，则，解得或，当时，，当时，，根据偶函数对称性可知，当时，符合题意的解为，，综上，原方程的解集为21.已知函数.（1）求的单调递增区间；（2）若，，求的值.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由降幂公式和辅助角公式化简函数解析式，整体代入法求单调递增区间；（2）由，代入函数解析式解出和，由两角和的正弦公式求解的值.【小问1详解】 ，令，解得，即，所以的单调递增区间为.【小问2详解】由得，所以，又因为，所以，所以.22.已知函数，.（1）求的最大值；（2）若对任意，，不等式恒成立，求实数的取值范围.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）根据分段函数性质讨论函数单调性与最值，结合指数函数和对数函数相关知识求解最值即可；（2）根据题意转化为对任意，恒成立，代入函数表达式进行化简，令，将不等式化为，结合二次函数相关知识分类讨论即可.【小问1详解】当时，，此时，，则；当时，单调递减，此时，综上所述，当时，取得的最大值； 【小问2详解】因为对任意，，不等式恒成立，且，所以对任意，恒成立，由题意得，，令，则不等式可化为，即对任意恒成立，令，则函数图象开口向上，对称轴，当，即时，，解得，符合题意；当时，即时，，即，不等式无解，该情况舍去；当时，即时，，解得，不符合题意，该情况舍去.综上所述，实数的取值范围为.【点睛】结论点睛：本题考查不等式的恒成立与有解问题，可按如下规则转化：一般地，已知函数，（1）若，，总有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，则的值域是值域的子集．