浙江省金华十校2023-2024学年高一上学期期末调研考试数学试题 Word版含解析.docx

《浙江省金华十校2023-2024学年高一上学期期末调研考试数学试题 Word版含解析.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

金华十校2023—2024学年高一第一学期调研考试数学试题本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分．考试时间120分钟．试卷总分为150分．请考生按规定用笔将所有试题的答案涂、写在答题纸上．选择题部分（共60分）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根据特殊角对应的三角函数值，可直接得出结果.【详解】.故选：C.2.已知集合，，若，则实数可以为（）A.1B.3C.4D.7【答案】D【解析】【分析】由集合的交集运算及集合元素的互异性讨论可得解.【详解】由，知，C不可能；由，知且，否则中有元素1或者3，矛盾，即AB不可能；当时，，符合题意，因此实数可以为7.故选：D3.若对于任意，不等式恒成立，则实数的取值范围是（） AB.C.D.【答案】A【解析】【分析】根据给定条件，求出函数在上的最大值即得.【详解】令函数，显然在上单调递减，，因为任意，不等式恒成立，于是，所以.故选：A4.哥哥和弟弟一起拎一重量为的重物（哥哥的手和弟弟的手放在一起），哥哥用力为，弟弟用力为，若，且的夹角为120°时，保持平衡状态，则此时与重物重力之间的夹角为（）A.60°B.90°C.120°D.150°【答案】C【解析】【分析】结合物理相关知识，利用三角形和向量夹角的知识即可解答.【详解】根据力的平衡，的合力为，如图所示：由于，且的夹角为，则为等边三角形，则，则与重物重力之间的夹角为.故选：C5.“”是“函数的定义域为”的（） A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件【答案】B【解析】【分析】根据函数的定义域为则恒成立求解的取值范围判断即可.【详解】函数的定义域为则恒成立，即，解得，故“”是“函数的定义域为”的必要不充分条件.故选：B6.已知函数，，是正实数．若存在唯一的实数，满足，则的最小值为（）A.46B.48C.52D.64【答案】B【解析】【分析】根据函数，是正数，且存在唯一的实数，满足，可得，利用，可得的最小值.【详解】根据函数，是正数，且存在唯一的实数，满足,可得，即，由，则，所以，故，故选：B7.某种废气需要经过严格的过滤程序，使污染物含量不超过20%后才能排放．过滤过程中废弃的污染物含量（单位：）与时间（单位：）之间的关系为，其中是原有废气的污染物含量（单位：），是正常数．若在前消除了20%的污染物，那么要达到排放标准至少经过（答案取整数）（） 参考数据：，，，A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】根据题意列出方程和不等式即可求解.【详解】由题有，设小时后污染物含量不超过，则，解得，即至少经过29小时能达到排放标准.故选：B.8.若实数，满足，则（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】构造函数，可得在上为增函数，且为偶函数，再根据结合偶函数性质判断即可.【详解】设，则为偶函数，设，则因为在上均为增函数，故，故，故在上为增函数，且为偶函数.又，则，即，当且仅当时取等号.故，故.故选：C 二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9.在中（）A.若，则B.若，则C.D.【答案】ACD【解析】【分析】对A，根据余弦函数的单调性判断；对B，举反例判断；对CD，根据三角形内角和为结合诱导公式判断.【详解】对A，在中，由余弦函数单调性可得，故A正确；对B，若为钝角，为锐角，则，故B错误；对C，，故C正确；对D，，故D正确.故选：ACD10.已知（）（）A.当时，的值域为B.当时，C.当时，是偶函数D.当时，是奇函数【答案】BC【解析】【分析】根据幂函数的性质即可求解AB，结合函数奇偶性的定义即可判断CD.【详解】当时，，此时的值域为，故A错误，当时，在上单调递增，所以，B正确，当时，，，所以是偶函数，C正确，当时，，，则，，定义域不关于原点对称，故为非奇非偶函数，D错误，故选：BC 11.已知函数（）的最小正周期为，则（）A.B.函数在上为增函数C.是的一个对称中心D.函数的图像关于轴对称【答案】BD【解析】【分析】对A，根据辅助角公式，结合最小正周期公式求解即可；对B，根据判断即可；对C，根据判断即可；对D，化简判断即可.【详解】对A，，又最小正周期为，故，则，故A错误；对B，，当时，，为正弦函数的单调递增区间，故B正确；对C，，故不是的一个对称中心，故C错误；对D，为偶函数，图像关于轴对称，故D正确.故选：BD12.已知函数，则（）A.函数是周期函数B.函数有最大值和最小值 C.函数有对称轴D.对于，函数单调递增【答案】BC【解析】【分析】利用函数对称性的定义可判断C选项；判断函数在上的单调性，结合函数最值的定义可判断B选项；利用特殊值法可判断D选项；利用反证法结合B选项中的结论可判断A选项.【详解】因为，对于C选项，因为，所以，函数的图象关于直线对称，C对；对于D选项，因，，故函数在上不单调，D错；对于B选项，因为函数的图象关于直线对称，要求函数的最大值和最小值，只需求出函数在上的最大值和最小值即可，设，当时，，令，因为函数在上单调递增，函数在上单调递增，所以，函数在上单调递增，当时，，因为函数、在上均为增函数，所以，函数在上为增函数， 所以，函数在上为增函数，由对称性可知，函数在上为减函数，故函数在处取得最大值，且，故函数在处取得最小值，且最小值为，当时，则，则函数在上为减函数，对任意的、，且，则，，则，由不等式的基本性质可得，即，所以，函数在上单调递减，又因为当时，函数取得最大值，故函数仅在处取得最大值，对任意的，，，若，则，若，则，则，则，所以，. 综上所述，对任意的，，又因为函数在上单调递减，故当时，在处取得最小值，综上所述，函数既有最大值，也有最小值，C对；对于A选项，由C选项可知，函数仅在处取得最大值，若函数是以为周期的周期函数，则，与题意矛盾，故函数不可能是周期函数，A错.故选：BC.【点睛】方法点睛：函数单调性的判定方法与策略：（1）定义法：一般步骤：设元作差变形判断符号得出结论；（2）图象法：如果函数是以图象的形式给出或者函数的图象易作出，结合图象可得出函数的单调区间；（3）导数法：先求出函数的导数，利用导数值的正负确定函数的单调区间；（4）复合函数法：先将函数分解为内层函数和外层函数，再讨论这两个函数的单调性，然后根据复合函数法“同增异减”的规则进行判定.非选择题部分（共90分）三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13.______0（填＞或＜）．【答案】＞【解析】【分析】判断角所在象限，然后根据正弦函数在每个象限的符号分析即可.【详解】，故2对应的角度终边在第二象限，则；故答案为：.14.函数（为月份），近似表示某地每年各个月份从事旅游服务工作的人数，游客流量越大所需服务工作的人数越多，则可以推断，当______ 时，游客流量最大．【答案】8【解析】【分析】根据余弦函数性质求出函数的最大值及取最大值时的值，由此可得结论.【详解】因为，所以，所以当，即时，取最大值，所以时，取最大值，又游客流量越大所需服务工作的人数越多，所以时，游客流量最大．15.已知函数则方程的所有根之积为______．【答案】##【解析】【分析】解方程，可得出该方程的根，再将所有根全部相乘，即可得解.【详解】令，由可得，当时，由，即，则，即方程无解；当时，由，可得或.（1）当时，当时，由可得，解得，，当时，由可得，；（2）当时，当时，由可得，，方程无解， 当时，由可得，，因此，方程的所有根之积为.故答案为：.16.若函数的值域为，则实数的最小值为______．【答案】【解析】【分析】结合题意由值域为转化，结合基本不等式求出最值即可.【详解】根据题意，函数定义域为，因为的值域为，所以在上恒成立，当时，则，则，此时必有，变形可得，当时，则，则，此时必有，变形可得，综合可得：在上恒成立，设，，则，因为，所以且，由基本不等式可得， 即，所以，因为在上恒成立，所以，解得，故实数的最小值为.故答案为：.【点睛】关键点点睛：本题的关键是利用参变分离得到，再运用函数及基本不等式的思想研究不等式.四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17.计算下列各式的值：（1）；（2）．【答案】（1）3（2）4【解析】【分析】（1）根据对数的运算法则可得答案；（2）由指数幂的运算法则及平方和，立方差等公式计算可得答案.【小问1详解】结合题意可得：;【小问2详解】结合题意可得：.18.已知向量，．（1）若，求的坐标； （2）若，求与的夹角．【答案】（1）或（2）．【解析】【分析】（1）设，结合向量的模长公式求解即可；（2）根据垂直向量数量积为0，结合向量的夹角公式求解即可.【小问1详解】由题意，设．，，，或．小问2详解】，，，即，．设与的夹角为，则．又，，与的夹角为．19.已知函数．（1）求函数的最小正周期与对称轴方程；（2）当且时，求的值．【答案】（1）最小正周期为，对称轴方程为（2）【解析】【分析】（1）利用三角恒等化简函数的解析式，利用正弦型函数的周期公式可得出函数的最小正周期，利用正弦型函数的对称性可得出函数的对称轴方程； （2）由已知条件可求出的值，利用同角三角函数的基本关系求出的值，再利用两角和的正弦公式可求得的值.【小问1详解】解：由题设有，所以，函数的最小正周期是，由，可得，所以，函数的对称轴方程为.【小问2详解】解：由得，即，因为，所以．若，则与，矛盾则．从而．于是．20.如图，在扇形中，半径，圆心角，是扇形弧上的动点，过作的平行线交于．记． （1）求的长（用表示）；（2）求面积的最大值，并求此时角的大小．【答案】（1）（2）时，面积的最大值为．【解析】【分析】（1）过，作的垂线，垂足分别为，，由求解；（2）由求解．【小问1详解】解：过，作的垂线，垂足分别为，，则，，，．【小问2详解】，． ，，，即时，，因此，当时，面积最大值为．21.已知函数．（1）当时，讨论的单调性（不必给出证明）；（2）当时，求的值域；（3）若存在，，使得，求的取值范围．【答案】（1）在上单调递减（2）（3）【解析】【分析】（1）根据函数之差的单调性判断即可；（2）根据基本不等式求解即可（3）令，再根据二次函数的零点存在性问题列式可得，再根据韦达定理求解即可.【小问1详解】当时，，因为为减函数，为增函数，故在上单调递减；【小问2详解】当时，，当且仅当时取等号；所以的值域为．【小问3详解】令，则问题等价于存在，，使得令，因为在有两个零点， 故，即解得．由韦达定理和根的定义可知：，．又因为，故的取值范围为．【点睛】关键点点睛：本题第三问的关键是采用换元法，设，将指数方程转化为一元二次方程，最后利用二次函数根的分布从而得到范围.22.二次函数的最大值为，且满足，，函数．（1）求函数的解析式；（2）若存在，使得，且的所有零点构成的集合为，证明：．【答案】（1）（2）证明见解析【解析】【分析】（1）分析可知函数为偶函数，根据题意设，其中，由可求出的值，即可得出函数的解析式；（2）由可得，令，分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可；在第二种情况下，直接利用零点存在定理可证得结论成立，综合可得出结论.【小问1详解】解：令，由可得，所以，函数为偶函数， 又因为二次函数的最大值为，可设，其中，则，解得，所以，.【小问2详解】解：因为，即，所以，其中．由，化简可得即．令，由判别式，可知在上有解，①当时，，此时；②当时，，此时；③当时，的对称轴是，因为，，，由零点存在定理可知，函数在区间、上各有一个零点，不妨设函数在区间、内的零点分别为、，此时．综合①②③，成立． 【点睛】关键点点睛：考察二次函数的零点，一般需要考虑以下几个要素：（1）二次项系数的符号；（2）判别式；（3）对称轴的位置；（4）区间端点函数值的符号.