浙江省杭州四校联盟2022-2023学年高二上学期1月期末数学试题（原卷版）

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2022学年杭州周边四校高二年级第一学期期末联考数学试题选择题部分（共60分）一、选择题：（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合要求的．）1.已知集合，则（）A.B.C.D.2.若复数z满足，则复数z在复平面内对应的点位于（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限3.已知焦点在y轴上的椭圆的离心率是，则m的值是（）AB.C.D.或4.已知不同平面，不同直线和，则下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若，则D.若则5.已知，则（）A.B.C.D.6.关于函数，下列选项错误的是（）A.是偶函数B.在区间上单调递增C.的最大值为2D.为的一个周期7.已知，，，则a，b，c的大小关系为（）A.B.C.D.第6页/共6页学科网（北京）股份有限公司

18.已知函数，若存在唯一的整数x，使得成立，则所有满足条件的整数a的个数为（）A.4B.3C.2D.1二、选择题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）9.以下说法正确的有（）A.“且”是“”的充要条件B.若，则C.命题“，使得”的否定是“，使得”D.当时，的最小值为10.某校有甲、乙、丙三名学生是新冠阳性患者的密切接触者，已知密切接触者新冠病毒检测呈阳性的概率为，记事件A为“三名学生都是阴性”，事件B为“三名学生都是阳性”，事件C为“三名学生至少有一名是阳性”，事件D为“三名学生不都是阴性”，则（）AB.事件A与事件B互斥C.D.事件A与事件C对立11.已知圆，过点直线l与圆O交于P，Q两点．下列说法正确的是（）A.的最小值为B.C.的最大值为D.线段PQ中点的轨迹为圆12.在矩形中，，为的中点，将沿直线翻折至的位置，则（）A.翻折过程中，直线与所成角的余弦值最大为B.翻折过程中，存在某个位置，使得C.翻折过程中，四棱锥必存在外接球第6页/共6页学科网（北京）股份有限公司

2D.当四棱椎的体积最大时，以为直径的球面被平面截得交线长为非选择题部分（共90分）三、填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13.计算：________．14.阿基米德是伟大的古希腊数学家，他和高斯､牛顿并列为世界三大数学家，他一生最为满意的一个数学发现就是“圆柱容球”定理，即圆柱容器里放了一个球，该球顶天立地，四周碰边（即球与圆柱形容器的底面和侧面都相切），在该图形中，球的体积是圆柱体积的，并且球的表面积也是圆柱表面积的，则该圆柱的体积与它的外接球的体积之比为___________.15.已知正数x，y满足，则的最小值为________．16.已知、是双曲线的左、右焦点，点关于渐近线的对称点恰好落在以为圆心，为半径的圆上，则该双曲线的离心率为________．四、解答题：（本大题共6小题，共70分．）17.已知锐角的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且．（1）求角A的大小；（2）求的取值范围．18.已知圆C的方程为．（1）直线l过点，且与圆C交于A、B两点，若，求直线l的方程；（2）点为圆上任意一点，求的最大值和最小值．19.某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分100分（95分及以上为认知程度高），结果认知程度高的有人，按年龄分成5组，其中第一组：，第二组：，第三组：，第四组：，第五组：，得到如图所示的频率分布直方图，已知第一组有10人.第6页/共6页学科网（北京）股份有限公司

3（1）根据频率分布直方图，估计这人的平均年龄和第80百分位数；（2）现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取20人，担任本市的“中国梦”宣传使者.（i）若有甲（年龄38），乙（年龄40）两人已确定人选宣传使者，现计划从第四组和第五组被抽到的使者中，再随机抽取2名作为组长，求甲、乙两人至少有一人被选上的概率；（ii）若第四组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为37和，第五组宣传使者的年龄的平均数与方差分别为43和1，据此估计这人中35~45岁所有人的年龄的方差.20.如图，在三棱锥中，是正三角形，，，D是AB的中点．（1）证明：；（2）若二面角为，求直线BC与平面PAB所成角正弦值．21.设抛物线的焦点为F，C的准线与x轴的交点为E，点A是C上的动点．当是等腰直角三角形时，其面积为2．（1）求C的方程；（2）延长AF交C于点B，点M是C的准线上的一点，设直线MF，MA，MB的斜率分别是，，，若，求的值．22设函数，其中．（1）若，求在上的最大值；（2）已知满足对一切实数x均有，求函数的值域；第6页/共6页学科网（北京）股份有限公司

4（3）若，且，求实数的取值范围．第6页/共6页学科网（北京）股份有限公司

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