《探究A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx

《《探究A对y=Asin(ωx+φ)的图象的影响》示范公开课教案【高中数学必修第二册北师大】.docx》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

第一章三角函数1.6.3探究A对y=Asinωx+φ的图象的影响◆教学目标1．结合实例，理解参数A的意义；2．掌握参数A对y=Asinωx+φ图象的影响；3．会利用参数A对函数图象的影响解决相关的问题．◆教学重难点◆重点：参数A的变化对正弦函数图象的影响；由y=sinx通过图象变换得到y=Asinωx+φ的图象．难点：参数A的变化对y=Asinωx+φ图象的影响．◆教学过程一、新课导入问题1：回忆学习过的内容，说出ω和φ分别对函数y=sinωx+φ的图象的影响．　　答案：在函数y=sinωx+φ中，T＝2πω是函数y=sinωx的最小正周期．　　函数y=sinωx的图象是将函数y=sinx图象上所有点的横坐标缩短到原来的1ω（当ω>1时）或伸长（当0<ω<1时）到原来的1ω（纵坐标不变）得到的．函数y=sinωx+φ中φ决定了x=0时的函数值，称为初相，ωx+φ称为相位．二、新知探究问题２：在同一平面直角坐标系中，用“五点法”作出函数y=4sinx与y=12sinx的图象，从列表中变量的值以及画出的图象两方面进行观察分析，y=Asinx与y=sinx图象之间有什么关系？ 答案：五个关键点列表x0π2π3π22πy=sinx010-10y=4sinx0-4040y=12sinx0120-120根据表中数据在同一个坐标系中分别画出y=4sinx与y=12sinx的图象并与y=sinx图象比较，如图，由图可以看出y=4sinx图象是y=sinx图象纵坐标伸长为原来的4倍，横坐标不变得到．y=12sinx的图象是y=sinx图象纵坐标缩短为原来的12倍，横坐标不变得到．所以，y=AsinxA>0的图象是y=sinx图象纵坐标伸长A>1或缩短00的图象是将函数y=sinωx+φ的图象上的每个点的纵坐标伸长A>1或缩短00的最大值和最小值以及值域是什么呢？答案：函数y=Asinωx+φA>0的最大值和最小值分别为A和-A值域为-A,A．问题３：函数y=2sin2x+π6+1与函数y=sin2x+π6的图象有什么不同？答案：函数y=2sin2x+π6+1的图象可以看作是将函数y=sin2x+π6的图象所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变）而得到y=2sin2x+π6的图象，再把y=2sin2x+π6的图象上所有点向上平移1个单位长度即可得到函数y=2sin2x+π6+1的图象．问题４：通过对参数ω、φ和A这三个参数的讨论，你能总结出探究函数y=Asinωx+φA>0，ω>0，x∈R性质的一般步骤吗？答案：第1步，确定周期T=2πω；第2步，在y=sinx五个关键点(0，0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，-1)，(2π，0)的基础上确定该函数的五个关键点；第3步，用光滑曲线顺次连接五个关键点，即可画出y=Asinωx+φ 在一个周期上的图象，再利用周期性把图象延拓到R，就得到它在R上的图象．第4步，借助图象讨论性质．实际上这也是讨论周期函数的一般方法和步骤．追问：你能总结出函数y=Asinωx+φA>0，ω>0的性质吗？⑴定义域为R；⑵值域：-A，A．⑶奇偶性：当φ=kπ，k∈Z时，是奇函数；当φ=π2+kπ，k∈Z时，是偶函数；当φ≠kπ2,k∈Z时，是非奇非偶函数．⑷对称性：函数y=Asinωx+φA>0,ω>0的对称轴为直线x=kπ-φ+π2ωk∈Z，对称中心为kπ-φω,0k∈Z，并且函数y=Asinωx+φA>0,ω>0的图象在对称轴处取得最大值或最小值，即若直线x=x0是函数图象的一条对称轴，则应有ωx0+φ=kπ+π2k∈Z；若y=Asinωx+φA>0,ω>0的图象关于点(x0，0)成中心对称，则应有ωx0+φ=kπk∈Z．⑸单调性：函数y=Asinωx+φA>0,ω>0单调区间的确定，基本思想是将ωx+φ看作一个整体，由2kπ-π2≤ωx+φ≤2kπ+π2k∈Z，解出x的范围，所得区间即为函数的增区间，由2kπ+π2≤ωx+φ≤2kπ+3π2k∈Z，解出x的范围，所得区间即为函数的减区间．⑹周期性：最小正周期T=2πω．三、应用举例例1画出函数y=cos12x的图象并讨论其性质．解：方法1：直接运用y=Asinωx+φ的结果.先变形，y=cos12x=sinπ2-12x=sin-12x+π2，再用上面的一般方法来研究． 方法2：使用类似y=Asinωx+φ的研究方法.⑴周期因为y=cosx的周期是2π，所以cos12x=cos12x+π2=cos12x+π4，该函数的周期是4π．⑵图象刻画y=cosx在0，2π的五个关键点(0，1)，(π2，0)，(π，-1)，(3π2，0)，(2π，1)由此得到刻画y=cos12x在0，4π的图象基本形状的五个关键点(0，1)，(π，0)，(2π，-1)，(3π，0)，(4π，1)．用光滑曲线顺次连接五个关键点，即可画出y=cos12x在一个周期上0，4π的图象，再利用周期性把图象延拓到R，就得到它在R上的图象．如图⑶其他性质设u=12x，则函数y=cosu的单调增区间为2k-1π，2kπ，k∈Z.由2kπ-π≤12x≤2kπ，k∈Z，得4kπ-2π≤x≤4kπ，k∈Z，所以函数y=cos12x单调递增区间为4kπ-2π，4kπ，k∈Z．类似地，函数y=cos12x单调递减区间为4kπ，4kπ+2π，k∈Z．函数y=cosu，u∈R取得最大值时的u的集合是uu=2kπ，k∈Z由12x=2kπ，得x=4kπ，k∈Z所以当x∈xx=4kπ，k∈Z时函数y=cos12x，x∈R取得最大值1．类似地，当x∈xx=4kπ+2π，k∈Z时函数y=cos12x，x∈R取得最大值-1． 函数y=cos12x，，x∈R得值域为-1，1.四、课堂练习1.为了得到y=14sin2x-π3的图象只需要将y=13sin2x-π3的图象上的每个点（）A．横坐标伸长为原来的43倍，纵坐标不变B．横坐标缩短为原来的34倍，纵坐标不变C．纵坐标伸长为原来的43倍，横坐标不变D．纵坐标缩短为原来的34倍，横坐标不变2．函数y=cos2x-π4的图象上各点向右平移π2个单位，再把横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，求得到的函数解析式．3．求函数y=12cos3x+π3的单调区间．参考答案：1.解析：为了得到y=14sin2x-π3的图象只需要将y=13sin2x-π3的图象上的每个点纵坐标缩短为原来的34倍，横坐标不变，答案选D．2.解析：y=cos2x-π4的图象上各点向右平移π2个单位，再把横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标缩短为原来的一半，得到的函数解析式是y=-12cosx-π4．3.解析:函数y=12cos3x+π3单调递增区间为23kπ-4π9，23kπ-π9，k∈Z．函数y=12cos3x+π3单调递减区间为23kπ-π9，23kπ+2π9，k∈Z．设u=3x+π3，则函数y=cosu的单调增区间为2k-1π，2kπ，k∈Z.由2kπ-π≤3x+π3≤2kπ，k∈Z，得23kπ-4π9≤x≤23kπ-π9，k∈Z，所以函数y=12cos3x+π3单调递增区间为23kπ-4π9，23kπ-π9，k∈Z．类似地，函数y=12cos3x+π3单调递减区间为23kπ-π9，23kπ+2π9，k∈Z． 四、课堂小结1.函数y=Asinωx+φA>0的图象是将函数y=sinωx+φ的图象上的每个点的纵坐标伸长A>1或缩短00，ω>0，x∈R性质的一般步骤是：第1步，确定周期T=2πω；第2步，在y=sinx五个关键点(0，0)，(π2，1)，(π，0)，(3π2，-1)，(2π，0)的基础上确定该函数的五个关键点；第3步，用光滑曲线顺次连接五个关键点，即可画出y=Asinωx+φ在一个周期上的图象，再利用周期性把图象延拓到R，就得到它在R上的图象．第4步，借助图象讨论性质．五、布置作业教材第49页练习A组题．