三升四暑假奥数

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小学数学竞赛活动是小学生课外活动中最具吸引力的活动干一。组织小学生参加数学竞赛能够激发学生产生钻研数学的浓厚兴趣，形成勇于实践、敢于创新的良好品质，还能够拓宽学生的知识面，提高学生素质，发展学生个性特长。希望通过本・教材加以教师对例题解析和学生对应训练的形式，帮助小学生系统地掌握小学数学竞赛的基本内容。、很多家长误认为“我的孩子不需要参加竞赛，就没必要进行竞赛知识的学习和辅导”，其实不然。不参加竞赛，不代表就不需要对竞赛知识的掌握。掌握一定的竞赛知识，能使学生对平时基础知识的学习掌握起来更轻松，理解起来更容易。同时对解答平时的基础点上的强化题目有自己独立的思维和独到的见解，更能掌握一题多解的巧妙方法。本书精选了典型例题加以详细分析，强化了学习方法的指导，练习题与例题做到匹配一致，难易有序，既源于例题，又逐步提高，促使学生深刻理解，牢固掌握。

1金榜教育数学组

2目录第1讲数阵图3第2讲植树问题（一）6第3讲奇数和偶数9第4讲三阶幻方13第5讲错中求解15第6讲最佳安排18第7讲还原法解题21第8讲假设法解题23第9讲一题多解25第10讲和差应用题27第11讲和倍应用题30第12讲差倍应用题33

3第1讲数阵图知识要点在神奇的数学王国中，有一类非常有趣的数学问题，它变化多端，引人入胜，奇妙无穷。它就是数阵，一座真正的数字迷宫，它对喜欢探究数字规律的人有着极大的吸引力，以至有些人留连其中，用毕生的精力来研究它的变化，就连大数学家欧拉对它都有着浓厚的兴趣。那么，到底什么是数阵呢？我们先观察下面两个图：左上图中有3个大圆，每个圆周上都有四个数字，有意思的是，每个圆周上的四个数字之和都等于13。右上图就更有意思了，1〜9九个数字被排成三行三列，每行的三个数字之和与每列的三个数字之和，以及每条对角线上的三个数字之和都等于15,不信你就算算。上面两个图就是数阵图。准确地说，数阵图是将一些数按照一定要求排列而成的某种图形，有时简称数阵。要排出这样巧妙的数阵图，可不是一件容易的事情。我们还是先从几个简单的例子开始。■例题精讲例1、把1〜5这五个数分别填在左下图中的方格中，使得横行三数之和与竖列三数之和都等于9。同学们可能会觉得这道题太容易了，七拼八凑就写出了右上图的答案，可是却搞不清其中的道理。下面我们就一起来分析其中的道理，只有弄懂其中的道理，才可能解出复杂巧妙的数阵问题。分析与解：中间方格中的数很特殊，横行的三个数有它，竖列的三个数也有它，我们把它叫做“重叠数”。也就是说，横行的三个数之和加上竖列的三个数之和，只有重叠数被加了两次，即重叠了一次，其余各数均被加了一次。因为横行的三个数之和与竖列的三个数之和都等于9,所以(1+2+3+4+5)+重叠数=9+9,重叠数=(9+9)-(1+2+3+4+5)=3。

4重叠数求出来了，其余各数就好填了（见右上图）。966O-例2、把1〜5这五个数填入右图中的。里，使每条直线上的三个数之和相等。一O分析与解：例1是知道每条直线上的三数之和，不知道重叠数；例2是知道重叠数，不知道两条直线上的三个数之和；本例是这两样什么都不知道。但由例1、例2的分析知道，（1+2+3+4+5）+重叠数=每条直线匕三数之和X2,所以，每条直线上三数之和等于（15+重叠数）+2。因为每条直线上的三数之和是整数，所以重叠数只可能是1,3或5。若“重叠数”=1,则两条直线上三数之和为（15+1）+2=8。填法见下左图；若“重福数”=3,则两条直线上三数之和为（15+3）+2=9。填法见下中图；若“重叠数”=5,则两条直线上三数之和为（15+5）+2=10。填法见下右图。由以上几例看出，求出重叠数是解决数阵问题的关键。为了进•步学会掌握这种解题方法,我们再看两例。例3、将1〜7这七个自然数填入左下图的七个。内，使得每条边上的三个数之和都等于10.分析与解：与例1类似，知道每条边上的三数之和，但不知道重叠数。因为有3条边，所以中间的堂叠数重叠了两次。于是得到（1+2+…+7）+重叠数X2=10X3。

5由此得出重叠数为［10><3-（1+2+…+7）］+2=1。剩F的六个数中，两两之和等于9的有2,7；3,6：4,5o可得右上图的填法。如果把例4中“每条边上的三个数之和都等于10”改为“每条边上的三个数之和都相等”，其他不变，那么仿照例3,重叠数可能等于几？怎样填？“习题精练1、将1〜7这七个数分别填入左下图中的。里，使每条直线上的三个数之和都等于12。如果每条直线上的三个数之和等于10,那么又该如何填？2、将1〜9这九个数分别填入右上图中的。里（其中9已填好），使每条直线上的三个数之和都相等。如果中心数是5,那么又该如何填？3、将1〜9这九个数分别填入下图的小方格里，使横行和竖列上五个数之和相等。（至少找出两种本质上不同的填法）

64、将3〜9这七个数分别填入左下图的O里，使每条直线上的三个数之和等于20。烂错题纠正家长签名：第2讲植树问题（一）得^知识要点绿化工程是造福子孙后代的大事。确定在一定条件下栽树、种花的棵数是最简单、最基本的“植树问题”。还有许多应用题可以化为“植树问题”来解，或借助解“植树问题”的思考方法来解。先介绍四类最简单、最基本的植树问题。为使其更直观，我们用图示法来说明。树用点来表示，植树的沿线用线来表示，这样就把植树问题转化为一条非封闭或封闭的线上的“点数”与相邻两点间的线的段数之间的关系问题。显然，只有下面四种情形：(1)非封闭线的两端都没有“点”时，“点数”=“段数”-1。

7(2)非封闭线只有一端有“点”时，“点数”=“段数”。(3)非封闭线的两端都有“点”时，“点数”=“段数”+1。(4)封闭线上，“点数”=“段数”。最简单、最基本的植树问题只有这四类情形。例如，一一条河堤长420米，从头到尾每隔3米栽一棵树，要栽多少棵树？这是第(1)种情形，所以要栽树420+3+1=141(棵)。又如，肖林家门口到公路边有一条小路，长40米。肖林要在小路一旁每隔2米栽一棵树，一共要栽多少棵树？山于门的一端不能栽树，公路边要栽树，所以，属于第(2)种情形，要栽树40+2=20(棵)。再如，两座楼房之间相距30米，每隔2米栽一棵树，一直行能栽多少棵树？因紧挨楼房的墙根不能栽树，所以，属于第(3)种情形,能栽树30+2-1=14(棵于再例如，一个圆形水池的围台圈长60米。如果在此台圈上每隔3米放一盆花，那么一共能放多少盆花？这属于第(4)种情形，共能放花60+3=20(盆)。许多应用题都可以借助或归结为上述植树问题求解。例题精讲例1、在一段路边每隔50米埋设一根路灯杆，包括这段路两端埋设的路灯杆，共埋设了10根。这段路长多少米？解：这是第(1)种情形，所以，"段数”=10-1=9。这段路长为50X(10-1)=450(米)。答：这段路长450米。例2、小明要到高层建筑的11层，他走到5层用了100秒，照此速度计算，他还需走多少秒？分析：因为1层不用走楼梯，走到5层走了4段楼梯，由此可求出走每段楼梯用100+（5-1）=25（秒）。走到11层要走10段楼梯，还要走6段楼梯，所以还需25X6=150（秒）。解：［1004-（5-1）］X（11-5）=

8150（秒）。答：还需150秒。例3、一次检阅，接受检阅的一列彩车车队共30辆，每辆车长4米，前后每辆车相隔5米.这列车队共排列了多长？如果车队每秒行驶2米，那么这列车队要通过535米长的检阅场地，需要多少时间？解：车队间隔共有30-1=29（个），每个间隔5米，所以，间隔的总长为（307）X5=145（米），而车身的总长为30X4=120（米），故这列车队的总长为（30-1）X5+30X4=265（米）。由于车队要行265+535=800（米），且每秒行2米，所以，车队通过检阅场地需要（265+535）+2=400（秒）=6分40秒。答：这列车队共长265米，通过检阅场地需要6分40秒。邑少习题精练1、学校有一条长60米的走道，计划在道路一旁栽树。每隔3米栽一棵。（1）、如果两端都各栽一棵树，那么共需多少棵树苗？（2）、如果两端都不栽树，那么共需多少棵树苗？（3）,如果只有一端栽树，那么共需多少棵树苗？2、一个长100米，宽20米的长方形游泳池，在离池边3米的外围圈（仍为长方形）上每隔2米种一棵树。共种了多少棵树?3、一根90厘米长的钢条，耍锯成9厘米长的小段，一共耍锯几次?4、测量人员测量一条路的长度。先立了一个标杆，然后每隔40米立一根标杆。当立杆10根时，第1根与第10根相距多少米？

9烂错题纠正家长签名:第3讲奇数和偶数1二二：知识要点趣味小故事：傍晚小明做作业的时候，本来拉一次开关，灯就应该亮的，但是他连拉了5次开关。请你们说说这时灯是亮的还是不亮的？拉6次呢？这一讲我们来学习奇数和偶数。像1、3、5、7、9…这样的数，我们把它称做奇数，也叫单数。像0、2、4、6、8…这样的数，我们把它称做偶数，也叫双数。区别的方法：直接看这个数的个位上的数，如果这个数个位上的数为1、3、5、7、9中的一个，那么这个数为奇数（或单数）；如果这个数的个位上的数为0、2、4、6、8中的一个，那么这个数为偶数（或双数）。奇数与偶数在加法和减法计算中的关系如下:①偶数+偶数=偶数如：2+4=6②偶数一偶数=偶数如：28-4=24③奇数+奇数=偶数如：13+27=40④奇数一奇数=偶数如：17-13=4⑤奇数+偶数=奇数如：19+28=47®奇数一偶数=奇数如：21-6=15⑦偶数一奇数=奇数如：34-13=21奇数与偶数在乘法计算中的关系如下：①偶数X偶数=偶数如：6X8=48②奇数X奇数=奇数如：5X7=35③奇数X偶数=偶数如：7X8=56奇数和偶数的分类，使得我们在使用数的时候产生了广泛的意义，也方便了人们对数学问题的分析，使得有些数学问题变得非常的简单。

10%例题精讲例1、根据奇数和偶数的相关知识解答下面问题：⑴21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40这20个数中，哪些是奇数？哪些是偶数？请分类写出。（2）10个自然数1、2、3、4、5、6、7、8、9、10的和是奇数还是偶数？分析：⑴（略）⑵第一•种是通常解题方法：把这10个数相加，看最后结果是奇数还是偶数即可。第二种是应用数的奇偶性来分析。①这10个数中2、4、6,8、10五个为偶数，形成了偶数+偶数+偶数+偶数+偶数=偶数（不管有多少个偶数相加，结果一定还是偶数）；②剩下的五个数全部为奇数。奇数+奇数+奇数+奇数+奇数=奇数（奇数个奇数相加的结果一定还是奇数；与此同时，偶数个奇数相加的结果一定是偶数）例2、一只鸭子在小河的两岸之间来回地游，从一岸游到另一岸就称做游1次。请回答下面的问题：⑴如果小鸭最初在右岸，来回游若干次之后，它又回到了右岸，那么这只小鸭游的次数是奇数还是偶数？⑵如果小鸭最初在右岸，来回共游101次，小鸭到了左岸还是右岸？分析：⑴一个“来回”即游两次，是个偶数，若干个“来回”，就是若干个偶数相加，所以游的次数一定是偶数。⑵游1次，3次，5次…游奇数次都是到左岸，101为奇数，所以最后小鸭到左岸。例3、11个苹果分给3个小朋友，不要求每个小朋友分得一样多，但分得的苹果个数要是偶数，想一想，能分吗？分析：3个小朋友都必须分得偶数个苹果，即3个偶数。偶数+偶数+偶数=偶数，而11为奇数，所以这是不能分的。第少习题精练1、有一筐苹果，2个2个地拿，最后还剩1个，问这筐苹果的个数是奇数还是偶数？2、21、22、23、24、25、26、27、28、29、30、31、32、33、34、35、36、37、38、39、40这20个数相加的和是奇数还是偶数？

113、三(2)班分本子，每人分2本，分到最后还剩1本，这堆本子的个数是偶数还是奇数？4、妈妈买了一些鸡蛋，两个两个地数，最后多一个；三个三个地数，最后也多一个。鸡蛋的总数不到10个，你知道妈妈买回来的鸡蛋的个数是奇数个还是偶数个？买回来鸡蛋共多少个？5、9个小朋友做运球游戏。第一个小朋友把球从操场东边运到西边，第二个小朋友接着把球从西边运回东边，第三个小朋友又接下去……最后球是在东边还是西边？如果是12个小朋友呢？55个呢？888个呢？6、放暑假了，小刚参加了学校组织的游泳集训队，他每天都要在游泳池里来回地练习游泳。如果规定从左边游到右边叫做游一次，那么：(1)如果小刚一开始在左边，来回游了几次之后，他又回到左边？这时，他游的次数是奇数还是偶数？(2)如果小刚一开始在左边，来回游了几次之后，他又回到右边？这时，他游的次数是奇数还是偶数？(3)如果小刚一开始在左边，来回游了50次之后，他到了左边还是右边?7、高年级同学做了18朵红花送给低年级6个班的“三好学生”，要求每班得到的朵数是奇数,能分吗？

12岸错题纠正家长签名：第4讲三阶幻方

13知识要点幻方实际上是一种填数游戏，它不仅有三阶，还有四阶、五阶……直到任意阶。一般地，在〃行〃列的方格里，既不重复也不遗漏地填上〃X〃个连续的自然数，每个数占一格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上〃个自然数的和相等，我们把这几个相等的和叫做幻和，〃叫做阶,这样排成的图形叫做〃阶幻方。三阶幻方：在三行三列的正方形方格中，既不重复也不遗漏地填上3X3个连续的自然数，每个数占一格，并使排在每一行、每一列以及每条对角线上3个自然数的和均相等。通常这样的图形叫做三阶幻方。三阶幻方的一些基本规律：幻和=九个数之和+3,中间数=幻和+3。九个连续的自然数中，第五个数是中间数，第二、四、六、八个数是四个角上的数。4例题精讲例1、在右面的方格中填上适当的数，使每行、每列和每条对角线上的三个数的和都等于24。分析：解决问题的突破口：找出每行、每列和每条对角线上的任意两个数，就可以根据幻和求出第三个数。例2、右面方格中，每个字母代表一个数。已知每行、每列、每条对角线上的三个数和都相等，若。=4,/=16,d=174=5。求b与/为多少?分析：根据幻和相等：a+e+l=c+e+g=b+e+h=d+e+f,这4个算式中都有中间数e,所以有：a+l=c+g=b+h=d+f.再代入a=4,/=16,d=17,/i=5即可两条对角线上的三个数的和都相等。例3、将1〜9这九个自然数填在下面图中的九个方格里,分析：先求幻和，再根据幻和求中间数，然后填其他数。

14例4、下图中，ag7个字母，各代表7个数字，要使三阶幻方成立，“a”所代表的数字是多少？分析：根据幻方的概念：每一行、每一列以及每条对角线上3个自然数的习题精练1、2、和均相等。可以得到：a+d+f+a+e+g=f+g+\2+d+e+\S,可求得：a=15。3、在下图的空格里填入不大于15且不相同的自然数，使每一行、每一列和每一条对角线上的三个数的和都等于30。r□r□—□4、在下图的方格中填上适合的数，使每行、每列、每条对角线的三个数的和都等于21。R二3r□□__□5、把4〜12九个数填入方格中，使每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等。

156、使下图每行、每列、每一条对角线的三个数的和都相等，且等于45。192016任错题纠正家长签名：…第5讲错中求解1二二：知识要点在进行加、减、乘、除运算时，要认真审题，不能抄错题目，不能漏掉数字。计算时要仔细小心，不能丝毫马虎，否则就会造成错误。解答这类题，往往要采用倒推的方法，从错误的结果入手，分析错误的原因，最后利用和差的变化求出加数或被减数、减数，利用积、商的变化求出因数或被除数、除数。例题精讲例1、一个小朋友在做一道加法算式时，把加5看成了加8,得到的和是18。正确的结果应是多少？

16例2、小马虎在做一道减法题时，把减数十位上的2看做了5,结果得到的差是342,正确的差是多少？例3、小马虎在计算一道题目时，把某数乘以3加20,误看成某数除以3减20,得数为72,某数是多少？正确的得数是多少？例4、小马虎在做两位数乘两位数的题时，把乘数的个位上的5看做2,乘得结果是550,实际应为625,这两个两位数各是几？习题精练1、小林在做•道数学题时，把减6看成了减9,得到的结果是5。正确的结果应是多少?2、小马虎在做一道减法题时，把被减数十位上的3错写成了了8,结果得到的差是284,正确的

17差是多少?3、小粗心在计算时，把一个数除以2减4,误看成乘以2加上4,得数是36,正确结果是多少？4、一位学生在做两位数乘法时，把乘数个位上的8错写成4,乘得的结果是210,实际应为270,这两个两位数分别为多少？5、小华在做一道两位数乘法时，把乘数个位上的3错写成了5,乘得结果是875,正确的结果是805,这两个两位数分别为几？任错题纠正家长签名：第6讲最佳安排

18知识要点我们每天的生活、学习都离不开时间，但是你知道时间里有大学问吗？合理地安排时间，往往会达到事半功倍的效果。科学地安排时间的方法，就叫做最佳安排。小朋友在进行最佳安排时，要考虑以下几个问题：（1）要做哪几件事：（2）做每件事需要的时间；（3）要弄清所做事的程序，即先做什么，后做什么，哪些事可以同时做。在学习、生产和工作中，只有尽可能地节省时间、人力和物力，才能发挥出最大的效率。■例题精讲例1、小新早上起床，叠被用3分钟，刷牙洗脸用4分钟，烧开水用10分钟，吃早饭用7分钟，洗碗筷用1分钟，整理书包用2分钟，冲牛奶1分钟。请你安排一下，用尽可能短的时间做完全部事情。例2、赵、钱、孙三人同时去小餐馆吃饭，姓钱的吃水饺要等6分钟，姓赵的吃荷包蛋要等2分钟，姓孙的吃面条要等5分钟。怎样安排使得三人等待的时间总和最少？例3、贴烧饼的时候，第一面需要烘3分钟，第二面需要烘2分钟，而贴烧饼的架子上一次最多只能放2个烧饼，要贴3个烧饼至少需要几分钟？例4、在一条公路上每隔50千米有1个粮库，共4个粮库，甲粮库存有10吨粮食，乙粮库存有

1920吨粮食，丁粮库存有50吨粮食，还有一个粮库是空的，现在想把所存的粮食集中放在一个粮库中，如果每吨粮食运1千米要1元的运费，那么最少要花多少运费才行？同a同m10吨20吨50吨例5、小明骑在马背上赶马过河，共有甲、乙、丙、丁四匹马，甲马过河需2分钟，乙马过河需3分钟，丙马过河需6分钟，丁马过河要7分钟，每次只能赶两匹马过河，要把4匹马都赶到对岸去，最少要几分钟？Z户习题精练1、李清参加学校的乒乓球队，每次训练时，更换衣服需要用3分钟，更换鞋子要用2分钟，取球拍要用1分钟，准备活动4分钟，看黑板上的训练内容要2分。怎样安排，自己才能尽快投入训练？2、理发店同时进来三位顾客，甲理发，刮胡子，不吹头发，乙只刮胡子，不理发，丙理发，吹头发，还刮胡子。店里只有一位理发师，请你安排一个合理的先后顺序。3、小红妈妈要小红用平底锅烙饼，锅中每次最多放4个饼。烙一个饼一面要2分钟，另一面要1分钟，可小红烙6个饼只用了5分钟，她是怎么做的？4、三个顾客到同一个柜台去买东西，甲需要用4分钟，乙需要用6分钟，丙需要用2分钟，怎样安排他们的购买顺序，使他们所花的总时间最少？最少是多少？

205、一条公路有三所小学分别有A、B、C,在什么地方设一个汽车站，才能使三个学校的学生上学放学所行的总路程最少？ABC6、小强骑在牛背上过河，共有甲、乙、丙、丁、戊、己六头牛，甲牛过河要1分钟，乙牛过河要2分钟，丙牛过河要3分钟，丁牛过河要4分钟，戊牛过河要5分钟，己牛过河要6分钟，每次只能三头牛过河，要把6头牛都赶到对岸去，最少要几分钟？错题纠正

21知识要点“一个数加上3,乘以3,再减去3,最后除以3,结果还是3,这个数是几呢？”像这样已知一个数的变化过程和最后的结果，求原来的数，我们通常把它叫做“还原问题”。解答“还原问题”，一般采用倒推法，简单说，就是倒过来想。解答还原问题，我们可以根据题意，从结果出发，按它变化的相反方向一步步倒着推想，直到问题解决。同时，可利用线段图、表格帮助理解题意。例题精讲例1、一个数加上10,再减6,得29,求这个数。例2、甲、乙、丙三人各有一些图书。甲给乙1本，乙给丙2本，则三人各有5本。问原来甲、乙、丙三人各有多少本？例3、一个数减24加上15,再乘以8得432,求这个数。例4、甲、乙、丙三人各有一些连环画，甲给乙3本，乙给丙5本后，三个人书的本数同样多,乙原来比丙多多少本？例5、李奶奶卖鸡蛋，她卖出总数的一半多10个，下午又卖出剩下的一半多10个，最后还剩65

22个鸡蛋没有卖出。李奶奶原来有多少个鸡蛋?1、一个数乘以5,再减6,得24,求这个数。2、宁宁有一些零花钱，第一次花掉了其中的一半，第二次花掉了剩下的钱的一半，最后还剩下5元。宁宁原来有多少钱？3、甲、乙、丙三个小朋友各有年历卡若干张，如果甲给乙13张，乙给丙23张，丙给甲3张，那么他们每人各有30张。问原来三人各有年历卡多少张？4,妈妈买来了一些橘子，小明第一天吃了一半多2个，第二次吃了剩下一半少2个，还剩下5个，妈妈买了多少个橘子？

23任错题纠正知识要点“假设”是数学中思考问题的一种常见的方法，有些应用题乍看很难求出答案，但是如果我们合理地进行“假设”，往往会使问题得到解决。所谓“假设法”就是依照己知条件进行推算，根据数量上出现的矛盾，作适当调整，从而找到正确答案。我国古代趣题“鸡兔同笼”就是运用“假设法”解决问题的一个范例。解答“鸡兔同笼”问题的基本关系式是：兔数=（总脚数一每只鸡脚数X鸡兔总数）米（每只兔子脚数一每只鸡脚数）鸡数=鸡兔总数一兔数用假设法解答类似“鸡兔同笼”的问题时，可以根据题意假设几个量相同，然后进行推算，所得结果与题中对应的数量不符时，耍能够正确地运用别的量加以调整，从而找到正确的答案。—例题精讲例1、青蛙和小鸭共有三只在岸边觅食，共有10只脚。青蛙和小鸭各有多少只？例2、鸡兔共30只，共有脚84只，鸡、兔各有多少只？例3、鸡兔同笼，鸡比兔多30只，一共有脚168只，鸡、兔各多少只？

24例4、某学校举行数学竞赛，每做对一题得9分，做错一题倒扣3分，共有12道题，王刚得了84分，王刚做错了几题？

25习题精练1、一只小兔和几只乌龟、几只小鹅共6只在一起赛跑，已知共有脚18只。乌龟、小鹅各有多少只？2、在小平的某次测试卷中，选择题做对一题得3分，判断题做对一题得2分。最后小平这两大题共得25分，选择题得分比判断题多得5分。问，小平选择题、判断题各得多分？3、鸡兔共有脚48只，如果将鸡的只数与兔的只数互换则共有脚42只，鸡兔各几只？4、某车间生产一批服装共250件，生产一件可得25元，如果有一件不符合要求，则倒扣20元,生产后得到费用5350元，几件不符合耍求？任错题纠正家长签名：

26第9讲一题多解知识要点一题多解是指从不同角度，运用不同的思维方式来解答同一道题的思考方法，经常进行一题多解的训练，可以锻炼我们的思维，使头脑灵活。在进行一题多解的练习时，要根据题目的具体情况，首先确定思维的起点，然后沿着不同的思考方向，就能找到不同的解题方法。在寻求一题多解时，还应该特别选择解决问题的简便方法和最佳途径。■例题精讲例1、有一堆棋子，第一次取走20粒，第二次取走30粒，这时还剩下50粒。这堆棋子原来共有多少粒？例2、有一个正方形池塘，四周植树，每边种8棵，每个顶点种一棵，每棵树之间的距离相等,四周一共种了多少棵树？例3、一瓶花生油连瓶一共重800克，吃掉一半油，连瓶一起称，还剩550克，瓶里原来有油多少克？空瓶重多少克？例4、甲班有42人，乙班有35人，开学时来了25位新同学，怎样分才能使两班学生人数相等?习题精练1、有一堆棋子，第一次取走27粒，第二次比第一次多取走16粒，这时还剩下4粒。这堆棋子原来共有多少粒?

272、图书角有100本课外书，上午借走了26本，下午比上午多借走了24本，书架上还有多少本课外书？3、少先队员表演节目，围成一个正方形，每个顶点站1人，已知每边站6人，一共站了多少人？4、有甲、乙两筐苹果，甲筐有苹果25千克，乙筐有苹果18千克，又买来了13千克苹果，怎样分才能使两筐苹果一样多？（用两种方法解答）5、有两块木板，一块长70厘米，另一块长80厘米，如果把两块木板重叠后钉成一块木板，全长130厘米，求重置部分多少厘米？（用两种方法解答）

28烂错题纠正家长签名：第10讲和差应用题-a公埠少知识要点已知大小两个数的和及它们的差，求这两个数各是多少，这类问题我们称为“和差问题”。掌握了和差问题的特征和规律，我们解答起来就很方便了。解答和差问题通常用假设法，同时结合线段图进行分析。可以假设小数增加到与大数同样多,先求大数，再求小数；也可以假设大数减少到与小数同样多，先求小数，再求大数。用数量关系式表示：（和+差）+2=大数（和一差）+2=小数例题精讲例1、幼儿园大班共有14名小朋友，男孩比女孩多2名。则男孩女孩各有多少名？

29例2、哥哥和弟弟两人共有10颗草莓，若哥哥给弟弟1颗草莓，则两人的草莓数量相等。哥哥和弟弟原来各有多少颗？例3、哥弟俩共有邮票70张，如果哥哥给弟弟4张邮票后还比弟弟多2张，哥哥和弟弟原来各有邮票多少张？2Z习题精练1、小英和小林共有15个果冻布丁，其中小林的个数比小英少3个。小英和小林各有多少个果冻布丁？2、一条马路旁安装黄色路灯和白色路灯共18盏，因需降低能源消耗，拆走4盏黄色路灯，这时黄色路灯和白色路灯的数量相等。黄色路灯和白色路灯各有多少盏？3、三（1）班和三（2）班共有学生124人，如果从三（2）班调2人到三（1）班，两班学生同样多，三（1）班、三（2）班原来各有学生多少人？4、两笼兔子共16只，若甲笼再放入4只，乙笼取出2只，这时两笼兔子只数就同样多，求甲、乙两笼原来各有多少只？

305、小明期终考试的语文、数学和英语的平均分数是95分，数学比语文多6分，英语比语文多9分，求小明三门功课各多少分？烂错题纠正家长签名:第11讲和倍应用题和倍应用题的基本“数学格式”是：已知大、小二数的“和”，又知大数是小数的几倍，求大、小二数各是多少。上面的问题中有“和"，有“倍数”，所以叫做和倍应用题。为了清楚地表示和倍问题中大、小二数的数量关系，画出线段图如下：大数I11[dJ/（S从线段图知，“和”是小数的（倍数+1）倍，所以，小数=和+（倍数+1）。上式称为和倍公式。由此得到大数=和-小数，

31或大数=小数x倍数。例如，大、小二数的和是265,大数是小数的4倍，则小数=265+（4+1）=53,大数=265-53=212或53X4=212。r*例题精讲例1、甲、乙两仓库共存粮264吨，甲仓库存粮是乙仓库存粮的10倍。甲、乙两仓库各存粮多少吨？分析：把甲仓库存粮数看成“大数”，乙仓库存粮数看成“小数”，此例则是典型的和倍应用题。根据和倍公式即可求解。解：乙仓库存粮264+（10+1）=24（吨），甲仓库存粮264-24=240（吨），或24X10=240（吨）。答：乙仓库存粮24吨，甲仓库存粮240吨。例2、甲、乙两辆汽车在相距360千米的两地同时出发，相向而行，2时后两车相遇。已知甲车的速度是乙车速度的2倍。甲、乙两辆汽车每小时各行多少千米？分析：已知甲车速度是乙车速度的2倍，所以“1倍”数是乙车的速度。现只需知道甲、乙汽车的速度和，就可用“和倍公式”了。由题意知两辆车2时共行360千米，故1时共行360・2=180（千米），这就是两辆车的速度和。解：乙车的速度为（3604-2）4-（2+1）=60（千米/时），甲车的速度为60X2=20（千米/时），或180-60=120（千米/时）。答：甲车每时行120千米，乙车每时行60千米。从上面两道例题看出，用“和倍公式”的关键是确定“1倍”数（即小数）是谁，“和”是谁。例1、例2的“1倍”数与“和”极为明显，其中例2中虽未直接给出“和”，但也很容易求出.下面我们讲几个“1倍”数不太明显的例子.例3、甲队有45人，乙队有75人。甲队要调入乙队多少人，乙队人数才是甲队人数的3倍？分析：容易求得“二数之和”为45+75=120（人）。如果从“乙队人数才是甲队人数的3倍”推出“1

32倍”数（即小数）是“甲队人数”那就错了，从75不是45的3倍也知是错的。这个“1倍”数是谁？根据题意，应是调动后甲队的剩余人数。倍数关系也是调动后的人数关系，即“调入人后的乙队人数”是“调走人后甲队剩余的人数”的3倍。由此画出线段图如下：从图中看出，把甲队中“？”人调入乙队后，（45+75）就是甲队剩下人数的3+1=4（倍）。从而，甲队调走人后剩下的人数就是“1倍”数。由和倍公式可以求解。解：甲队调动后剩下的人数为（45+75）4-（3+1）=30（人），故甲队调入乙队的人数为45-30=15（人）。答：甲队要调15人到乙队。例4、大白兔和小灰兔共采摘了蘑菇160个。后来大白兔把它的蘑菇给了其它白兔20个，而小灰兔自己又采了10个。这时，大白兔的蘑菇是小灰兔的5倍。问：原来大白兔和小灰兔各采了多少个蘑菇？分析与解：这道题仍是和倍应用题，因为有“和”、有“倍数”。但这里的“和”不是160,而是160-20+10=150,“1倍”数却是“小灰兔又自己采了10个后的蘑菇数”。线段图如下：10个小家兔=F倍j,.20个大灰兔《，5倍根据和倍公式，小灰兔现有蘑菇（即“1倍”数）（160-20+10）4-（5+1）=25（个），故小灰兔原有蘑菇25-10=15（个），大白兔原有蘑菇160-15=145（个）。答：原来大白兔采蘑菇145个，小灰兔采15个。三少习题精练1、小敏与爸爸的年龄之和是64岁，爸爸的年龄是小敏的3倍。小敏和她爸爸的年龄各是多少岁？

332、甲、乙两桶汽油共84千克。如果把乙桶中的油倒入甲桶15千克，那么这时甲桶中的汽油等于乙桶中的汽油的3倍。甲、乙两桶原有汽油各多少千克？3、甲、乙两人共生产零件100个，其中甲有2个零件、乙有5个零件不合格。已知乙生产的合格零件是甲生产的合格零件的2倍。甲、乙各生产了多少个零件？4、红星小学图书馆内，科技书是故事书的3倍，连环画书又是科技书的2倍。已知这三种书共有1600本，那么每种书各有多少本？任错题纠正家长签名：第12讲差倍应用题*少T二二：知识要点与和倍应用题相似的是差倍应用题。它的“基本数学格式”是：已知大、小二数之“差”，又知大数是小数的几倍，求大、小二数各是多少。上面的问题中，有“差”、有“倍数”，所以叫做差倍应用题。差倍问题中大、小二数的数量关系可以用下面的线段图表示：

34器差I；・二；从线段图知，“差”是小数（即“1倍”数）的（倍数T）倍，所以，小数=差+（倍数-1）。上式称为差倍公式。由此得到大数=小数+差，或大数=小数X倍数。例如，大、小数之差是152,大数是小数的5倍，则小数=152+（5-1）=38,大数=38+152=190或38X5=190。二例题精讲例1、王师傅一天生产的零件比他的徒弟一天生产的零件多128个，且是徒弟的3倍。师徒二人一天各生产多少个零件？分析：师徒二人一天生产的零件的“差”是128个。小数（即“1倍”数）是徒弟一天生产的零件数，“倍数”为3。由差倍公式可以求解。解：徒弟一天生产零件128+（3-1）=64（个），师傅一天生产零件128+64=192（个）或64X3=192（个）»答：徒弟、师傅一天分别生产零件64个和192个。例2、两根电线的长相差30米，长的那根的长是短的那根的长的4倍。这两根电线各长多少米？解：“差”=30,倍数=4,由差倍公式得短的电线长30+（4-1）=10（米）,长的电线长10+30=40（米）或10X4=40（米）。答：短的电线长10米，长的电线长40米。解差倍应用题的关键是确定“1倍”数是谁，“差”是什么,上两例中，T倍”

35数及“差”都极明显地直接给出.下面讲两个稍有变化，不直接给出“差”和T倍”数的例子.例3、甲、乙二工程队，甲队有56人，乙队有34人。两队调走同样多人后，甲队人数是乙队人数的3倍。问：调动后两队各还有多少人？分析：画线段图如下：乙队L_洞走人用甲队i■——■3fg由上图可知，“1倍”数是乙队调动后剩下的人数。因甲、乙队调走的人数相同（不影响他们二队人数之差），所以，甲、乙两队人数之差仍是56-34=22（人）。解：由差倍公式得调动后乙队有（56-34）+（3-1）=11（人）。调动后甲队有11X3=33（人）或11+（56-34）=33（人）。答：调动后甲队有33人，乙队有11人。例4、甲、乙两桶油重量相等。甲桶取走26千克油，乙桶加入14千克油，这时，乙桶油的重量是甲桶油的重量的3倍。两桶油原来各有多少千克？分析与解：画线段图如下：3倍从上图知，当甲桶取走26千克、乙桶加入14千克后，乙桶里的油就是甲桶里的油的3倍，所以，“1倍”数是甲桶里剩下的油。“差”是什么呢？从图中可知，“1倍”与“3倍”之间的差26+14=40（千克）就是我们要找的“差"o所以，由差倍公式知，“1倍”数=（26+14）+（3-1）=20（千克）。故甲、乙桶原来各有油20+26=46（千克），或20X3-14=46（千克）。答：原来各有46千克。

36习题精练1、大仓库存粮比小仓库存粮多254吨。又知大仓库存粮是小仓库存粮的3倍。大、小仓库各存粮多少吨？2、小林今年9岁，他爸爸今年35岁。小林多少岁时，他爸爸的年龄正好是他的3倍？3、一车间男工26人，女工14人。调走男、女工同样多的人后，男工人数是女工人数的3倍。剩卜的男、女工各多少人？4、甲、乙二数相等。甲数加上50,乙数减去34后，甲数就是乙数的4倍。原来甲、乙两数等于几?5、大、小二数之差是504。大数个位数是0,去掉这个0,正好是小数。大、小数各是多少?

37任错题纠正家长签名：