数学小课题研究教学案例以课时为单位的研究课

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数学小课题研究教学案例以课时为单位的研究课以课时为单位的研究课是与单元为单位的研究课相对而言的，因为我们在数学小课题研究中发现，必需将整个单元作为整体来考虑，才能提高研究的效率，更好地发挥数学小课题研究的优势。为了说明不同的课题，是如何采用小课题研究的方式来上的，我们以课时为单位选择了一部分教学案例。（14）简单的数据分析执教日照市实验学校邱冬梅评析日照市实验学校任仲恩一、课题的确定《简单的数据分析》这个课题来自于人教版教材三年级下册第三单元《统计》。本课主要是学习两种新的条形统计图，一种是横向条形统计图，另一种是起始格与其它格代表的单位不一致的条形统计图，并能在此基础上对统计数据进行简单分析，进一步体会统计在现实生活中的作用。

1由于学生在一二年级学习过一个格代表一至五个单位的条形统计图，积累了大量的统计知识，有一定的统计意识和统计能力，所以研究条形统计图对学生来说并不难。况且本课完成条形统计图的工作是比较繁琐的，如果按常规课的上法，学生一节课光完成条形统计图就得大半节课，而且还没有时间让学生细细去探索新的条形统计图的优势和使用范围。为此，让学生课下去研究条形统计图是一个非常好的办法，不但可以节约大量的时间，而且还能让学生在探索中对统计图不断进行完善，培养学生的创新意识和研究能力，可谓一举多得。横向条形统计图与纵向条形统计图在原理上是完全一致的，学生易于理解和接受，因此不需要花太多时间去研究，可以作为全班同学的研究任务。起始格与其它格代表的单位不一致的条形统计图是教学难点，也是常规课中需要花较多时间去探讨为什么要这样做的问题。因此我挑选了一部分学生组成两个研究小组进行这方面的研究。二、课题的布置与指导布置给全班同学共同研究的任务（可以独立完成，也可以与同学合作）是：完成课本38页统计图，想一想统计图的横轴和纵轴分别代表什么，这个统计图与前面学过的统计图有什么不同，为什么要设计成这种样子。

2由两个研究小组研究以下任务（每个小组五个成员，指定研究小组长）：测量小组成员的身高并称出各自的体重，分别制成统计表，再绘制出小组成员的身高统计图和体重统计图。两个研究小组的大多数同学制作的条形统计图都是让一个格代表十个单位，虽然能够表示出同学们的身高和体重，但由于几个数据之间相差得都很少，从图中很难直观区分出不同学生的身高相差几厘米或者体重相差几千克。我提出更深一点的问题：“怎样来解决这个问题？”有一个同学制作的身高统计图，让起始格代表100厘米，其它格仍代表10厘米，我鼓励学生想办法去改进。之后，两个研究小组都想出了让起始格表示大一点的单位、其它格表示小一点的单位这种办法。我再次抛出一个新的问题：“为什么要这样做？这样做好在哪里？”通过对比两个小组的身高统计图，发现第一小组的身高统计图的其它格代表1个单位，而第二小组的身高统计图的其它格代表2个单位，为什么会不一样呢？这又产生了一个新的研究问题。于是，我把这个问题抛给他们去研究。书上例题呈现的正好是其它格代表几个单位的两种情况，跟研究小组新发现的问题是一致的。既然两个小组在身高统计图中能展示这两种情况，为了让汇报更简洁一点，于是让他们只汇报身高统计图的情况，体重统计图的情况则不再汇报。三、课堂教学实录

3（一）认识横向条形统计图师：下面请同学们把书翻到第38页，昨天布置了一些研究任务给同学们，都完成了吗？生：完成了。师：那好，老师准备了几个问题让你们回答。首先，这是一个关于什么的统计图？生1：这是一个关于销售矿泉水的统计图。生2：它统计的是一周以来矿泉水的销售情况。师：哪位同学愿意把你完成的统计图展示给大家看？（大屏幕显示）【评析：由于这一问题全班都参与了研究，老师就可以开门见山，直接提出问题，让学生一上课就进入紧张的学习状态，激发了学生参与活动的积极性和主动性，从而有效地开展教学活动。】师：这个统计图和我们原来学过的统计图有什么不一样？生：原来我们学过的统计图是竖着涂色的，这个是横向涂色的。师：这种统计图的横轴表示什么？纵轴呢？生：横轴表示矿泉水的数量，纵轴表示矿泉水的品牌。师：它的一格表示多少个单位？你是怎么知道的？生：它的一格表示5个单位，因为横轴上写着0、5、10

4等等，每两个数之间相差5，所以一格表示5箱。师：为什么它的一格要表示5个单位呢？生：因为每种品牌矿泉水的销售量都正好是5的倍数。生：这样涂色时也比较方便，每种矿泉水都正好涂满格。师：我们从这个统计图中可以获得什么信息？生：B种矿泉水的销售量最多，D种矿泉水的销售量最少。师：大家想一想，为什么B种矿泉水的销售量最多？D种矿泉水的销售量最少？生：可能是B种矿泉水好喝。生：可能是B种矿泉水的质量好，D种矿泉水的质量不好。生：可能是B种矿泉水在搞促销。生：可能是B种矿泉水的质量好还便宜。师：用四个字就是“物美价廉”喽。师：那如果你是商场的销售经理，你认为下周应多进哪种矿泉水？生：当然是B种啦。师：为什么？生：因为它的销售量最好。师：看来统计还有这个作用啊。

5师：同学们想想看，为什么这种统计图要制成这种横向的？生：可能是因为它竖起来太长了，不方便吧。师：对，有时就为了纸张版面设计的需要，就把统计图设计成横向的。【评析：教师尊重学生的学习基础，把这一问题大胆交给全体学生课前去研究。通过师生的一问一答可以看出，学生课前对横向条形统计图的研究是非常到位的。虽然横向条形统计图对学生来说是新知识，但学生很容易从竖向条形统计图迁移过来，它正好把竖向条形统计图侧过来了。至于为什么要侧过来，学生认为因为“竖起来太长了”，为了版面设计的需要才设计成横向的。整个过程短短几分钟就把该解决的几个问题全部顺利解决了，不拖泥带水。如果没有课前充分的研究是做不到这点的。】（二）认识起始格和其它格代表的单位量不一致的统计图（出示例2）师：同学们见过这种统计图吗？它和我们以前学过的统计图有什么不一样？生：它的起始格这个地方是用折线来表示的。

6师：对。这个地方为什么要画成折线呢？关于这个问题，我们班有两个研究小组经过课下的认真研究，有了一定的成果。下面让我们以热烈的掌声欢迎第一研究小组上台给大家汇报他们的研究成果。【评析：直接出示新的条形统计图，学生充满疑惑，急切想知道为什么条形统计图要画成这样，为接下来的倾听作好了准备。】1、第一研究小组汇报研究成员一：大家好！下面我给大家汇报一下我们组的研究成果。这是我们组五个人身高统计表，我们一起来看一看。姓名张一鸣卜文淇初钰龄王青燕印怡玫身高/厘米142139141140147这是我们组画的统计图。（出示他们画的起始格与其它格代表单位不一致的统计图）我们为什么要把统计图画成这种样子呢？这是因为开始我们画统计图的时候，想让一个格代表1厘米，但这样的话我们就要画一百多个格子，画的条形太长了，也浪费纸张。于是我们就想让一个格子代表10厘米，但这样又出现了新的问题，就是这样不能很好表示身高。比如我的身高是141厘米，在这个统计图里不好表示出来，其中的1厘米要把一个格子平均分成10份，很不好分。还有，从这个图上看不出来我们几个人的具体身高是多少，想要比较两个人的身高相差多少也不好比较。于是我们就想了这个办法，把

70——137厘米压缩成一个格，用折线表示，代表137厘米，再往上的其它格表示1厘米。这样就解决了刚才的条形太长和不好比较的问题。我的汇报完毕。大家听明白了吗？对我的汇报有什么疑问？【评析：研究小组在研究过程中发现了条形统计图按原来的办法会出现矛盾，即“条形太长”和“不好比较”，从而想出了让起始格代表大一点的单位、其它格代表小一点的单位这种办法。研究小组的同学将研究结果解释得非常清楚，口头表达能力也特别强。三年级的学生能做到这一点，让人震撼，对其他同学来说也起到一定的激励作用。】生：哦，原来是这样来的。师：同学们听明白了吗？谁再来给大家解释一下这样制作的原因？生：因为他们的身高都在100多厘米以上，如果一个格表示1厘米的话，条形会画得很长很长，如果一个格表示10厘米的话又不容易看出每个人的具体身高，所以他们就用一个格来表示137厘米，其它的格表示1厘米，这样就很好看了。师：解释得不错，大家都明白了吧？（学生都点点头。）

8师：第一研究小组的同学开始研究的时候碰到很多困难，但他们没有放弃，而是百折不挠，画了很多统计图后才创造了这种形式的统计图。他们的研究精神值得我们学习。让我们以热烈的掌声对他们表示感谢！【评析：教师评价了研究小组的研究精神，指出了研究过程的艰辛，让同学们深受鼓舞。】师：第二小组的研究成员对这种统计图进行了更深入的研究。下面我们有请第二小组的同学给我们介绍。2、第二研究小组汇报研究成员一：大家好，下面我给大家介绍一下我们组的研究情况。（展示第二小组成员的身高统计表和统计图）姓名张瀚元张洪滔庞惠心乔悦马温馨身高/厘米142152140134128通过第一研究小组的汇报，同学们能看懂我们的统计图吗？比如我们的起始格代表多少厘米？生：代表126厘米。研究成员一：其它格呢？你是怎么知道的？生：其它格代表2厘米，因为126上面是128、130等等，每两个数相差2厘米。研究成员一：真棒！为什么我们要这样做，下面请张洪滔同学给大家汇报。

9研究成员二：大家好！下面由我来介绍一下我们组的统计图跟第一组统计图的有什么不同。首先，我们的起始格代表的是126厘米，而他们的起始格代表137厘米。这是为什么呢？因为我们组最矮的同学身高是128厘米，而他们组的最矮身高是139厘米。如果我们也按137厘米来作起始格的话，那么我们组的128厘米就不好表示了。所以我们定起始格的时候是按最矮的同学的身高来定的。大家听明白了吗？生：为什么你们的起始格要定成126厘米？就按最矮的同学128厘米来定不行吗？研究成员三：那样的话我们组的最矮身高就只能涂一个格了。生：那样不也行吗？研究成员三：那样就不太美观了，也太矮了吧！（继续汇报）研究成员二：我们再来看其它格，其它格每格代表2厘米，而第一小组统计图的其它格每格代表1厘米，这又是为什么呢？这是因为我们组的最高身高是152厘米，最矮身高是128厘米，相差24厘米。如果我们也按一个格代表1厘米的话，那就得再往上画24个格，那样的话就太长了，所以我们就让其它格代表2厘米，这样可以减少12个格。师：哦，同学们听明白了吗？他们的其它格代表2厘米有什么好处？生：可以减少格子。

10师：看来第二研究小组的同学真会动脑筋！【评析：研究小组的同学在研究过程中有了自己的成果，还不忘与别的研究小组的成果进行对比，发现不同之处，从而又得到一个宝贵的结论。非研究小组的同学对起始格代表多少单位进行质疑，认为起始格就定最矮的同学的身高也可以，研究小组的一句“不太美观”让非研究小组的同学心悦诚服。】研究成员一：下面我再来汇报一下我们研究中的一个发现，什么时候要把统计图画成这种样子的呢？当一组数据比较大而相差又比较小的时候，我们就可以让起始格代表的单位大一些，让其它格代表的单位小一些，这样就很好表示了。大家听明白了吗？师：谁再来给大解释一下？生：比如身高吧，都在一百多厘米以上，这个时候就可以用起始格代表一百多厘米，其它格代表一厘米或二厘米就可以了。师：说得不错，看来第二研究小组给我们带来了很有价值的研究成果，让我们知道了怎样来制作这种统计图。让我们用热烈的掌声对他们表示感谢！【评析：研究小组汇报了起始格是折线的条形统计图的适用范围，给研究小组的汇报画上了一个圆满的句号。

11由于是学生自己研究的成果，他们真正经历了数据的收集、整理、描述和分析的过程，才能在汇报中把研究成果完整地展现出来。经过课上的汇报，既提高了学生的语言表达能力和思辨能力，又有利于表象的形成，同时还激活了学生的主体意识和研究意识。】（三）完成书上的统计图，并对统计数据进行分析师：下面请同学们对照书上的统计表完成身高和体重的统计图。（学生填涂统计图）（展示学生的统计图）师：从身高统计图中你获得哪些信息？生：刘玉最高，王芳最矮，最高和最矮的同学相差5厘米。师：我们再来分析一下体重统计图，从中又能获得哪些信息呢？生：刘玉最胖，赵兰最瘦，最胖和最瘦的整整相差8千克。（出示中国10岁儿童身高、体重的正常值表）师：什么叫正常值？生：正常值就是指很正常的数。师：也就是指在正常的范围之内。看看哪些同学的身高比较接近正常值呢？生1：有李明、李琴。

12生2：还有赵兰和刘玉的也比较正常。师：王芳呢？生：王芳矮了一些。师：我们怎样才能比较方便地一眼就看出谁的身高比较正常呢？生：可以在统计图中用虚线标出正常值，这样就好看一些了。（指名让学生画一画）师：是啊，这样比较起来就方便多了。我们再来分析一下谁的体重比较接近正常值？生：先标出正常值的虚线。（指名标一标）生1：李明、赵兰、王芳的都比较接近正常值。生2：刘玉超过正常值很多，太胖了。师：那你对刘玉有什么建议？生：多锻炼身体，多运动。师：也就是让刘玉减肥啊。师：同学们对照一下自己的身高和体重，看是否接近正常值。感兴趣的同学可以课下调查一下自己的小组内同学的身高和体重，制成统计图。（四）联系生活，体会统计的作用

13师：看来统计在我们生活中的作用可不小。下面有两个关于统计图的问题，我们一起来解决。1、（练习十第2题）师：这是光明小学图书馆上周借阅情况统计图。你从中得到了哪些信息？生：同学们借阅科普类的最多，有158人，借阅文学类的最少，有103人。师：现在图书室要购买一批新书，你认为应怎样购买？小组同学讨论一下。（学生讨论，老师与个别小组交流）师：好，哪个小组的同学给大家汇报一下。生1：我觉得科普类的应多买一些，文学类的要少买一些。生2：故事类的和历史类的买一样多。师：为什么呢？生3：因为科普类的同学们最喜欢看，而文学类的同学们喜欢看的最少，故事类和历史类的居中间。生4：老师，我还有不同意见。就是故事类的和历史类买的本数是科普类的一半。师：为什么？生4：因为故事类的和历史类的条形正好是科普类的一半。师：是这样吗？

14生5：老师，我反对，故事类的借阅了126本，而科普类的借阅了158本，126不是158的一半。师：哦，同学们看看是这样吗？生6：是的。因为这个统计图的起始格代表100本。师：是啊，我们要注意观察，它的起始格也是折线的。（学生恍然大悟）师：我们再来看另一个统计图。2、（练习十第4题）师：这是某县1999~2003年家庭电脑拥有量的统计图。请你仔细观察，根据收集的信息，估计一下到2004年这个县的家庭电脑拥有量是多少？到2005年呢？想好了可以在小组里交流一下。（学生交流）师：哪位同学来跟大家说说你的想法？生1：我估计到2004年这个县的家庭电脑拥有量是3000多台。师：哦？你是根据什么来估计的？生1：因为从图上看，2003年比2002年多了900台，所以我想2004年应该能增加1000多台，这样就大约是3000多台。师：哦？同学们同意她的观点吗？有什么疑问？生2：那你看从1999年到2000年才增加了250

15台，没增加那么多呀。生3：我同意这位同学的观点，因为现在生活越来越好了，农民伯伯越来越有钱了。师：很有道理。是啊，随着社会的发展，我们拥有电脑的家庭会越来越多。那到2005年呢？估计一下。生：大约有4000多台。师：如果你是生产电脑的厂家或者卖电脑的公司，你会采取什么措施呢？生1：多生产电脑。生2：多卖电脑。生3：买一赠一。师：搞促销活动啊。生4：我爸爸是开电脑公司的。师：那我们学的统计正好可以派上用场了，你可以课下也做一个调查研究，给你爸爸做一份这样的统计图，一定会有作用的。【评析：练习不再是单纯的练习，都是学生身边熟悉的事情，真正和学生的生活联系起来，引导学生应用所学知识解决实际问题。在题材的选择上尽量凸显趣味性、挑战性，让学生感受到数学的魅力和学习数学的乐趣。既巩固了新知，又发展了学生的思维能力，还培养了学生的创新意识和灵活解决问题的能力。】

16（五）提出下节课的研究任务师：老师这里还有一份这样的统计图。我们一起来看。（电脑出示统计表和统计图）第一组同学投球情况姓名陆怡杜晨张明胡晓李俊彭煌个数479574第二组同学投球情况姓名黄华杨昊周诚夏军谢薇个数85877【评析：在学生兴趣盎然的情况下提出新的研究任务学生更乐意去接受，也为下节课做好了准备。】师：你能根据统计图里的信息判断一下哪个组获胜吗？生1：1组获胜。生2：2组获胜。师：看来有支持一组获胜的，也有支持二组获胜的。课下请同学们以小组为单位，对这个问题进行研究，研究出成果的及时向老师汇报。四、课后研究及成果展示交流

17临下课时布置了新的研究任务，还没等我出教室门，就有一同学兴冲冲地问我是不是需要求平均数，让我惊讶不已。问他是怎么想的，他说人数不一样，没法比总数，只能比平均数。第二天就有不少同学把研究情况跟我进行了汇报，大部分同学都知道要用平均数进行比较。问及为什么这样，学生回答人数不一样，比总数不公平，就只能比平均数了。学生的知识面和研究能力超出了我的想象，原以为多数学生研究不出来的。后来我把他们的研究成果及这节课中研究小组的研究成果收集起来，展示在班里的公布栏里。五、教学反思本课学生的表现是非常不错的，无论研究成员还是非研究成员，都能积极参与到汇报交流中来。研究成员在课前，随着研究地步步深入，不断发现新的问题，又能通过不懈努力，不断解决新的问题。犹如一棵棵小树苗，不断汲取新的力量，快速成长。这个力量，一是来自于个体，当他们发现统计图不好制作时，没有气馁，画了一遍又一遍，表现出不服输的精神；另一个力量，则来自群体，当个体碰到困难时，小组里的成员在一起思考、交流，不断想出新的办法。而我只是在旁边适时点拨，让他们顺着问题，一步步找到答案。非研究成员呢？在听取研究小组的汇报中非常认真，并善于思考、质疑。如一位同学提出来起始格也可以就以最矮的同学身高为代表，说明这位同学认真倾听了并有自己的看法，但研究小组的成员随口回答出“这样就不太美观、也太矮了吧”，证明他们研究时肯定对此也进行过探讨。一个“不太美观”

18，说明这样也是可以的，研究小组并没有轻易否决这个意见；同时也体现了研究小组的审美观。整堂课上，研究成员的汇报与非研究成员的质疑让课堂熠熠生辉，充满了生机和活力，一个个难点在精彩的交流中不断解决掉。这就是小课题研究的魅力，既培养了学生的研究能力和研究精神，又提升了学生的数学素养。【总评：数学小课题研究的最终目的是为了学生的发展。课前教师灵活的布置研究任务，使不同层次的学生都有所发展。纵观整堂课，有以下几点值得肯定：1.引导学生主动构建知识。课前引导学生深入研究，并及时了解各小组研究的进展情况，课中通过学生汇报交流，使大家理解起始格设计的合理性；新颖的练习使学生深入理解了知识，有效地构建起了新的知识网络。2.教师适时引导，学生的有效合作得到较好的体现。教师根据学生研究进程和研究内容进行了合适安排和指导。学生展示成果时语言表达清晰，层次分明，演示操作步骤完整，都能体现出小组合作的默契、和谐、有效。3.

19让学生在研究和学习中，展现知识的形成过程。知识不是简单灌输的，是应该不断经历的，应该将知识的形成过程完整地展现出来。例如起始格为什么大一些，不但要知道结果，而且还要知道为什么这么规定，这样规定的是否科学合理。多给了学生研究和思考的时间，多给了学生活动的余地，多给了学生表现的机会，就多给了学生获得成功和愉快体验的机会。4.凸显数学的应用价值。重视引导学生应用所学知识解决现实问题，体会数学的价值。如“学生身高统计图”和“家庭电脑拥有量统计图”两个练习的设计，不仅让学生了解统计图的作用，更重要的是让学生在解决问题的过程中，学会根据实际情况作出正确的分析，提高了学生解决问题的能力。】（15）三角形面积计算1执教日照港第一小学王艳评析日照市教学研究室李军一、课题的确定用小课题研究的方式教学“三角形面积计算”，既要面向全体学生，又要满足部分有一定研究能力学生的学习需要。本节课是在学生已掌握了长方形、正方形、平行四边形面积计算的基础上进行教学的。教学这部分内容对于培养学生识别图形的能力、解决简单实际问题的能力、初步的逻辑思维能力，发展学生空间观念都有重要意义，也为进一步学习几何知识打下良好的基础。二、课题的布置与指导

20给部分有研究能力的同学布置研究任务：根据已有知识研究三角形面积计算方法。几天以后，我到学生中了解到的研究成果是：有的同学将两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形或平行四边形；有的同学将两个完全一样的锐角三角形拼成一个长方形或平行四边形；有的同学沿着等腰三角形底边上的高，把它剪成两个完全一样的直角三角形，然后再拼成一个长方形；有的同学找了一个长方形画出一条对角线，沿着这条对角线把长方形分成了两个完全一样的直角三角形；有的同学把一个锐角三角形折成一个双层长方形。显然，这些研究成果并不完整，他们研究的都是特殊三角形的面积，但毕竟是他们自己通过努力得出的，他们自己认为很了不起的研究成果，这些“半成品”更有利于在课堂上引发再研究，在此基础上总结完善起来。没有参与研究的同学也不能只是听众，应该提出一定的任务，让他们在课堂上经历探索研究的过程。经过一段时间的思考，我认为应该先展示最简单的方法，按照从特殊到一般的原理，逐步展示出来，在此基础上引导全体学生去研究总结出三角形面积计算公式，然后将难度大、新颖独特的方法也展示出来，既满足这些学生的成功欲望，又使其他同学在欣赏的同时受到启发和激励。三、课堂教学实录（一）复习引入

211、长方形、平行四边形的面积计算公式。2、电脑出示三个不同形状（锐角、直角、钝角）的三角形，先指出底和高，再猜一猜哪一个面积大。3、师：你想用什么方法研究三角形的面积？（指名说一说）出示课题。【评析：通过复习，使学生对长方形、平行四边形的面积计算公式进行回顾整理。为用转化的方法推导三角形面积计算公式作适当的铺垫和渗透。同时，通过提出问题，启动要研究的课题。】（二）研究小组的同学展示研究成果师：课前，老师布置研究小组的同学利用课余时间研究三角形面积计算公式，同学们想不想了解他们的研究结果？下面就请研究小组的同学上台展示他们的研究成果，同学们欢迎！生1：大家好，我研究的是直角三角形的面积。首先，我剪了一个直角三角形，画出它的高。它的底用a表示，高用h表示。我又剪了一个与它完全一样的直角三角形。这两个三角形可以拼成一个三角形、长方形或平行四边形。三角形的面积怎么计算，我们还没有学过，长方形的面积我们会计算。两个完全一样的直角三角形拼成一个长方形，长方形的长就是三角形的底a，宽就是三角形的高h。（边讲解边演示）因为长方形的面积等于长乘宽，也就是a×h

22，而其中一个三角形的面积正好是拼成的长方形面积的一半，也就是a×h÷2。因此，我的结论是：直角三角形的面积等于底×高÷2。大家对我的讲解还有疑问吗？hhaaa生2：你为什么不用平行四边形进行研究呢？生1：我也用平行四边形进行过研究，得出的结论是一样的。生3：我研究的是锐角三角形的面积。我用卡纸剪了一个锐角三角形，并画出了它的高。它的底用a表示，高用h表示。我又剪了一个和它完全一样的三角形。这两个三角形可以拼成不规则的多边形，也可以拼成平行四边形。但不规则的多边形的面积计算我们不会，平行四边形的面积我们会计算。拼成的平行四边形的底就是三角形的底a，高就是三角形的高h。因为平行四边形的面积等于底乘高，而一个三角形的面积等于平行四边形面积的一半。（边讲解边演示）所以我的结论是：锐角三角形的面积等于底×高÷2。

23ha【评析：研究小组的同学确实下了功夫，对三角形面积计算公式有了非常清楚的理解，这决不是通过灌输或引导所能产生的效果。同时，也看得出，研究小组的同学比较兴奋，很有成就感，解说得也比较明白，学生听学生自己讲解，效果更好。研究小组的同学研究的成果很多，在这里老师只选择了比较简单的两种，目的就是既要完成最基本的教学任务，使得全体学生能理解，并受到启发，然后进入下一步：全体学生研究钝角三角形面积计算。】（三）非研究小组的同学进行研究，得出结论师：下面请非研究小组的同学以小组为单位，拿出准备好的钝角三角形，研究一下它的面积应怎样计算？

24（研究完成后，让学生选一名代表上台展示研究结果。）（四）总结面积计算公式。师：通过同学们的研究和刚才的展示，谁能总结一下三角形的面积计算公式？生：三角形包括锐角三角形、直角三角形和钝角三角形这三种。所以，两个完全一样的三角形可以拼成一个平行四边形或长方形，这个平行四边形的底或长方形的长等于三角形的底，这个平行四边形的高或长方形的宽等于三角形的高。因为每个三角形的面积等于拼成的平行四边形或长方形的面积的一半。所以，三角形的面积等于底乘高除以2，用字母表示是：s=a×h÷2。【评析：到此，在研究小组和非研究小组的共同努力下，得出了三角形面积计算公式。既完成了最基本的教学任务又实现了不同人在数学上有不同的发展的目的。】（五）研究小组第二次展示师：研究小组还得出了很多精彩的研究成果，大家想不想分享一下？生1：我剪了一个等腰三角形，它的底用a表示，高用h表示。我沿着它的高把它剪成了两个一样的直角三角形，然后再拼成一个长方形，这个长方形的面积同原来等腰三角形的面积是相等的。长方形的长是三角形底a的一半，即：a÷2，宽等于三角形的高。长方形的面积=长×宽，即：a÷2×

25h。因为a÷2×h=a×h÷2。因此，我的结论是：三角形的面积=底×高÷2。hhaa生2：我研究的是直角三角形的面积。首先我剪了一个直角三角形，底和高分别用a和h表示。然后把角1沿着虚线向下折，使角1的顶点与三角形直角的顶点重合，再沿虚线剪开，拼成一个与三角形同样大小的长方形。这个长方形的长等于三角形的底，宽是三角形的高h的一半，即：h÷2，面积=a×（h÷2），即a×h÷2，由此可以推出：直角三角形的面积=底×高÷2。a1hha

26师：刚才两位同学得出的结论与前面研究小组的结论都是：三角形面积=底×高÷2。这两个“2”一样吗？生：不一样，前面研究小组的三角形的面积是拼成的图形面积的一半，所以除以2。现在这两个同学研究的三角形面积与拼成的图形的面积相等，第一个同学研究的图形的长是三角形底的一半，第二同学研究的图形的宽是三角形高的一半，所以除以2。师：同学们同意他的观点吗？生3：我剪了一个锐角三角形，把角1沿着中位线向下折，角2和角3分别向中间折，这样就折成了两个一样大小的小长方形。一个长方形的面积是三角形面积的一半。长方形的长是三角形底的一半，即：底÷2，宽是三角形高的一半，即：高÷2。因为长方形的面积=长×宽=（底÷2）×（高÷2），所以三角形的面积=（底÷2）×（高÷2）×2。根据四则运算的算理可以推出：三角形的面积=（底÷2）×（高÷2）×2=底×高÷2。直角、钝角三角形我用同样的方法推出了它的面积计算方法。21331

2723师：刚才这位同学在展示中出现了“中位线”一词，连接三角形两条边的中点的线段叫做三角形的“中位线”，这一知识是中学才能学到的，他的这种勇于探究的精神是非常值得大家学习的。生4：我的方法是这样的，我先画了一个长方形，并画出一条对角线，这条对角线把长方形分成了两个完全一样的直角三角形。三角形的底=长方形的长，三角形的高=长方形的宽，三角形的面积是长方形的一半。由此可以推出：三角形的面积=底×高÷2。

28师：研究小组的展示真的是非常的精彩，就连老师也没有想到会有这么多的方法，同学们掌声鼓励。【评析：研究小组的同学研究出的这些成果确实令人感到无比欣喜。如果采用平常的上课办法，是不会出现这样的效果的。原因就是在平常的课堂上，时间有限，教师要照顾到所有的学生，对于优秀的学生来说只能浅尝辄止。教师也把主要精力用于是否所有的学生都掌握了这些数学知识上。不同的学生在数学上得到不同的发展只能成为一句空话。】（六）教学反馈，实践运用1、判断：（1）两个三角形可以拼成一个平行四边形。（2）三角形的面积是平行四边形面积的一半。2、指出下面三角形的底和高，并口算出它们的面积。（单位：厘米）4531.53.83

293、下图是一个平行四边形，看图填空：平行四边形的面积是18平方厘米，三角形ABC的面积是（）平方厘米。ADBC4、选择：下图中面积计算是3×4÷2的有（）。3344.54

3033（1）（2）（3）5、用两种方法计算三角形的面积。（单位：厘米）53.644.56、下图中哪个三角形的面积与涂色的三角形的面积相等？为什么？你能在图中再画一个与涂色的三角形面积相等的三角形吗？试试看。

31【评析：练习题的设计，形式灵活多样，既强调基础，突出本节课最主要的教学要求。强调了“两个完全一样”“等底等高”“底边上的高”等学生容易出错的地方，特别是“底边上的高”对小学生来说是个难点。王老师都进行了多方面多种形式的练习，又适度拓展，使学生进一步明确了“同底等高的情况下，三角形的面积相等”。巩固了基础，发展了能力。】（七）回顾概括、总结师：同学们研究出这么多的方法求三角形的面积，有的甚至超出课本内容，这种学习精神非常可贵。也许还会有更多、更好的方法，感兴趣的同学课下时间可以继续研究，会有更大的收获。四、课后研究及成果展示交流研究小组的成员课后自愿进行组合，对于自己感兴趣的其他小组的研究内容进行研究，研究结束后，将自己的研究成果与已有的研究结果进行对比，找出优势与不足。

32非研究小组的同学与研究小组的成员交流取经后，自愿组成兴趣小组进行研究，在研究过程中遇到困难，及时向研究小组的同学请教。把优秀研究报告及课堂上的精彩展示照片形成电子版并发到学校网站上。五、教学反思　这节课，我将知识目标定位为：使学生在探索活动中深刻体验和感悟三角形面积计算公式的推导过程。能力目标定位为：在动手操作的活动中，逐步培养学生归纳、推理和语言表达的能力。情感和意志目标定位为：通过学生课前自己的探究，激发学生学习数学的兴趣，学会学习数学的方法，并通过小组合作，培养学生的团队精神。通过学生的汇报和演示，进一步体验图形转化的过程。练习设计做到有层次、有坡度，难易适当。即从基本题入手过度到综合题，引申到思考题。其目的是让学生所学的知识在基础中得到巩固，在综合中得到沟通，在思考题中得到升华。如最后一题的设计，它留给学生更多的思考空间，学生可以在更大的范围内思考，充分发挥学生的主体作用，培养了学生的发散思维。【总评：本节课是较早的一节课内研究课，王老师进行了积极的尝试，并获得了成功，主要有以下特点：1

33、充分开发学生的研究潜能，形成研究型课堂。我们不难看出，研究小组的学生是经过认真琢磨、积极思考的，而且得出了超越我们教材的一些研究方法。这些方法，我们老师有时都想不完全，而我们的学生做到了。在学生们娓娓道来的叙述中，我们不能不感叹学生的潜能。给学生一个舞台，还学生一片天空，充分开发学生研究的潜能，是如何的势在必行。王老师的智慧在于，她调动起了学生的积极性，激发了学生的学习热情，为学生提供了一个展示的舞台，同时也创设了一个充满“研究味”的课堂氛围。在学生流利、充满自信的讲述中，在真诚、虚心的询问中，（每讲解一种方法，汇报的学生都会问：“大家还有什么问题吗？我的讲解大家满意吗？”）在积极、深入的参与中，都让我们体会到学生内心的快乐，获得知识的满足，这不正是我们所追求的吗。2、恰到好处的点拨，润物细无声的指导。我们可以看到，王老师在课堂上没说多少话，但每一句话都能画龙点睛，如：“刚才两位同学得出的结论与第一小组的结论都是：三角形面积=底×高÷2。这两个“2”一样吗？”这是容易混淆的地方，这样一问，使所有的学生由“注意”到“思考”到“明了”，寥寥数语就解决了关键问题。又如：“刚才这位同学在展示中出现了“中位线”一词，连接三角形两条边的中点的线段叫做三角形的“中位线”。这一知识是中学才能学到的，他的这种勇于探究的精神是非常值得大家学习的。”

34短短几句话既恰当的解释了学习新知时连带的新内容，又激发了学生对新知识的渴望，也显示了老师较高的数学素养。3、因材施教，共同发展。新课程标准指出：不同的人在数学上得到不同的发展。本节课充分体现了这一点，让有较高数学能力，思维活跃，富有探究精神的学生先进行研究，充分发挥他们的优势，再将研究成果汇报给全班同学，不仅让能力强的学生体会到成功的喜悦，让他们的能力最大限度地得到发展，也能激发其他同学的研究兴趣，积极参与其中，达到个体带动整体的目的。这节课在研究小组汇报完两个完全一样的直角三角形、锐角三角形能拼成长方形或平行四边形后，王老师让非研究小组的同学用两个完全一样的钝角三角形去研究如何去计算它的面积。让跃跃欲试的“心”有个展示的平台，有个展示的机会。最后达到共同进步，共同发展的目的。1、另外王老师练习题的设计也是很有特色的，既循序渐进又重点突出。从基础开始，不论判断还是计算，都注重对基础知识的把握，并且运用变式练习使学生辨别清楚容易混淆的数学概念。同时容量比较大，有利于提高学生的数学能力。】交流驿站6（日照港第一小学王艳）

35（12）这节课中，为什么在第一小组展示完成后就总结了三角形的面积计算公式，然后再让第二小组展示。而不是等研究小组的学生全部展示完毕后再总结呢？答：这节课是一节课内研究课，研究的是课本上的教学内容。我觉得不管采用什么样的教学方式，始终都不能脱离面向全体学生这一基本的教学要求。第一小组的展示是全体学生必须掌握的面积公式的推导。而第二小组的展示的内容，已经超出了基本的教学要求，部分学生理解起来有一定的困难，对于第二小组展示的内容，并不要求学习有一定困难的学生都能理解和掌握，但他们可以受到启发，也能获得学习数学的乐趣。（13）为什么先让研究小组课下研究，课堂上展示，而不是让全体学生在课堂上一起研究，再让好的学生展示呢？答：数学小课题研究课，既要面向全体，又要满足部分学生的研究欲望，开发他们的智力，展示他们的数学才能。因此，并不只是学生学会或是学好课本上的内容就行了。这就要求学生必须动一翻脑筋，需要一定的时间才能完成。课堂上有限的时间和空间也会限制学生的研究，也就不会出现那么多的连老师也想不到的研究成果。而且对于部分学习有困难的学生来说，他们的接受能力与研究能力也是有限的，甚至有的学生只有在一定的启发与引导下才能理解学习内容。（14）有的学生在展示完毕后会说：“

36请问同学们对我的展示还有什么疑问吗？”这句话有必要吗？答：学生展示完毕后说的这句话，一是对听课的学生的一种尊重，我们老师上课的时候不是也会经常问：同学们还有不明白的问题吗？二是对于听课的学生来讲，给他们一个提出问题的机会。毕竟不是教师在讲，学生肯定会有一定的顾虑，如果不给他们一个提出问题的机会，也许他们会带着问题结束这节课，这样就达不到理想的教学目的，也不是我们教师设计这种课内研究课的初衷。